专题03 正方形（专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题03 正方形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正方形的性质应用——求解边 1 题型二、正方形的性质应用——求解角 2 题型三、正方形的性质应用——证明 2 题型四、添加条件成为正方形 3 题型五、正方形的判定 4 题型六、正方形的性质与判定 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正方形的性质应用——求解边 1．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，若，设正方形的边长为，则 ． 2．如图，在Rt中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．36 3．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形均为正方形．若正方形的面积分别为45、9，则 ． 题型二、正方形的性质应用——求解角 4．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为 ． 5．如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为 ． 6．如图，已知正方形是正方形内一点，若，将绕点B顺时针旋转至处，此时点三点在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长． 题型三、正方形的性质应用——证明 7．如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，求的长． 8．如图，四边形为正方形，分别延长、至点、，连接、，．求证：． 9．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 题型四、添加条件成为正方形 10．如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 12．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ． 题型五、正方形的判定 13．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 14．已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 15．如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 题型六、正方形的性质与判定 16．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为 ． 17．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为 ． 18．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为 1．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 3．你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． (1)尺规作图：画出折痕； (2)设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 4．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 5．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 6．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 7．问题解决：如图1在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 8．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为 s时，四边形为正方形． 9．已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知和是等腰直角三角形，． (1)如图1，若，在的内部，连接，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，连接，，若是的中点，求证：； (3)若，将绕点转动，射线与射线相交于点，过点作于点，在和都是锐角的情况下，探究线段，，之间的数量关系． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正方形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正方形的性质应用——求解边 1 题型二、正方形的性质应用——求解角 3 题型三、正方形的性质应用——证明 5 题型四、添加条件成为正方形 8 题型五、正方形的判定 10 题型六、正方形的性质与判定 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正方形的性质应用——求解边 1．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，若，设正方形的边长为，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 则，，，，根据全等三角形的性质得到，，根据即可求解． 【详解】解∶ 四边形为正方形， ． ，，． ，． ，． ， ． ， ， 解得． 故答案为：1． 2．如图，在Rt中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．36 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，先求，再根据直角三角形斜边中线的性质得，然后由勾股定理求出即可得出的面积，理解正方形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 是直角三角形，， 是的斜边的中线， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 3．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形均为正方形．若正方形的面积分别为45、9，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积分别为45、9， ∴，，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 题型二、正方形的性质应用——求解角 4．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为 ． 【答案】64 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得出结果． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：64 6．如图，已知正方形是正方形内一点，若，将绕点B顺时针旋转至处，此时点三点在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，旋转角为，则，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）先根据旋转的性质可得，，再求出，，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点顺时针旋转至处， ∴，旋转角为， ∴， ∴， ∵点三点在同一直线上， ∴． （2）解：由（1）已得：，，，， ∴，，， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 题型三、正方形的性质应用——证明 7．如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理． 由正方形的性质可知，，，．由题意可得出，即得出，从而可证明，得出，进而得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴在中，． 8．如图，四边形为正方形，分别延长、至点、，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确得出全等三角形是解题关键． 利用正方形的性质得，再根据证明，结合全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 9．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，所以，再通过线段的和与差即可求证； （）由四边形是正方形，得，，通过勾股定理，所以，则有，最后再由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 题型四、添加条件成为正方形 10．如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形． A、当时，矩形是正方形，故A选项不符合题意； B、当时，矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、当时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意； D、当时，则，，，矩形是正方形，故D选项不符合题意． 故选：C． 11．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定定理，掌握正方形的判定条件是解题关键． 结合矩形的角和角平分线，先推导四边形的基础形状，再根据正方形的判定条件逐一分析选项． 【详解】解：已知四边形为矩形，且平分，平分． 故，， 可得，，是等腰直角三角形． 选项：由两边平行可得四边形为平行四边形， 再由可得四边形为菱形， 再由可得四边形为正方形，故选项正确； 选项：，，仅可得到，无法证明四边形为正方形，故选项错误； 选项：根据题意可知，故，无法判定正方形，故选项错误； 选项：，，仅能判断是等腰三角形，不能证明，无法判定正方形，故选项错误． 故选：． 12．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 题型五、正方形的判定 13．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 14．已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 15．如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形； （2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 题型六、正方形的性质与判定 16．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 17．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 18．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 1．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 2．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 3．你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． (1)尺规作图：画出折痕； (2)设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 【答案】(1)图见解析 (2)点为的三等分点，证明见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂直平分线，正方形与折叠，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据折叠的性质，得到垂直平分，连接，作的中垂线即为直线； （2）设正方形的边长为1，作，连接，设，则，在，勾股定理求出的值，设，则，，在和中，勾股定理表示出，，再在中，利用勾股定理求出的值，即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：点为的三等分点，证明如下： 设正方形的边长为1，作，连接，则四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，； 在中，， 在中，， ∴，解得； ∴， 即点为的三等分点． 4．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 5．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 6．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 7．问题解决：如图1在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查矩形，正方形，菱形，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识的判定和性质是关键． （1）根据矩形的性质，证明，得，结合正方形的判定方法“一组邻边相等的矩形是正方形”即可求证； （2）证明，结合（1）即可求证； （3）如图所示，延长到点H，使得，连接，证明，可得是等边三角形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）解：是等腰三角形，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得到， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图所示，延长到点H，使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 8．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为 s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】本题考查了“菱形的性质”“正方形的判定”，找到运动路程与正方形的判定条件之间的关系是解题关键． 由菱形的性质，可知，，因此，当时，即可判定四边形为正方形，此时的时间即为所求． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，． 设运动时间为t，则． ∴四边形是菱形． ∴当时，四边形是正方形． ∵是边长为4 cm的等边三角形， ∴． ∴． 故答案为：4． 9．已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；无法证明②正确，综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据四边形内角和为得到， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 无法证明；故②错误， 综上所述，①③正确， 故选：B． 【点睛】本题综合性强、难度较大，考查较为综合，涉及旋转性质、矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线定义、动点最值问题等，熟练掌握相关知识点，熟记相关判定与性质是解决问题的关键． 10．已知和是等腰直角三角形，． (1)如图1，若，在的内部，连接，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，连接，，若是的中点，求证：； (3)若，将绕点转动，射线与射线相交于点，过点作于点，在和都是锐角的情况下，探究线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由全等得到，利用角的差可得到，即可证明； （2）延长至点，使，连接，先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，即可证明；（3），根据题意作出图形，过点作于点，先证明和，得到，，，再证明四边形是正方形，推出，最后根据，，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：如图所示，延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，根据题意作图，过点作于点， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的性质，平行四边形和正方形的判定和性质，准确的构造辅助线和作图是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $