专题13 平行四边形的性质和判定的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题13 平行四边形的性质和判定的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 类型二、利用平行四边形的性质求面积 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 类型五、利用平行四边形的性质证明 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 压轴专练 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 方法总结 1. 性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角线互相平分）。 2. 构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。 解题技巧 1. 标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。 2. 性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互相平分”。 例1．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式1-1】（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】设，由平行四边形的性质得，可得，，由得,，得出，根据列方程求得即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级·上海·假期作业）在中，是边上的高，，则的度数为 ____ ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：点在上或点在的延长线上．根据是边上的高，可得，结合，利用直角三角形和等腰三角形的性质求解． 【详解】①当点在上时，如图： ∵是边上的高， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ②当点在的延长线上时，如图： ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式1-3】（2026八年级下·江苏南通·专题练习）如图，平行四边形中，点E在边上，若点A关于的对称点落在上，的周长为5，的周长为17，则的长为____． 【答案】6 【分析】运用翻折的性质可得，，，结合已知条件的周长为5，的周长为17，求得平行四边形的周长，从而得到，最后结合的周长为17，求得的长． 【详解】解：由折叠可得，，． ∵的周长为5，的周长为17， ∴， ∴，． ∴平行四边形的周长， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴． 类型二、利用平行四边形的性质求面积 方法总结 1. 公式应用：平行四边形面积 = 底 × 对应高，需确保底和高互相垂直对应。 2. 割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。 解题技巧 1. 确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。 2. 等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。 例2．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，，， ， ， 阴影部分的面积等于． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点E是内任意一点．若的面积是6，则涂色部分的面积是 ．    【答案】3 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式=底×高．过E作，交BC于M，交于N，的面积+的面积平行四边形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：过E作，交BC于M，交于N，如图所示：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴ 平行四边形的面积 ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：3． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，点E、F是平行四边形的边上两点，点G是边上一点，若平行四边形的面积是，则与以及的面积之和为 ． 【答案】/10平方厘米 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等高三角形，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质得出、、、、是等高三角形，设等高三角形的高为，进而推出阴影部分面积和空白部分面积相等，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 、、、、是等高三角形， 设等高三角形的高为， 则，， ， 四边形的面积是， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，根据平行四边形的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：16． 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 方法总结 1. 分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。 2. 性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。 解题技巧 1. 参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。 2. 排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为 时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：当点在线段上，点在线段上时，如图①． 四边形为平行四边形， ，． 是等边三角形， 和是等边三角形， ， ， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图②． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图③． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ． 当停止运动时，，且， （不合题意，舍去）． 综上所述，当的值为或时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 故答案为：或． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点，连接交直线于点H，连接交直线于点，连接，由轴对称的性质可知当点M与重合时，的值最小，即为的长．再结合平行四边形的性质，含的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点H，连接交直线于点，连接， ∴，，， ∴当点M与重合时，的值最小，即为的长． ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∴在中，， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【变式3-2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【变式3-3】（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 方法总结 1. 逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。 2. 反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。 解题技巧 1. 性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。 2. 图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。 例4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出、，进而得到是等边三角形，又根据，证得，易证得是的中位线，进而得到；利用得到，进而得到；根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 、， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， 是的中位线， 、， ， 故①正确； ， ， 故②正确； 、， ， ， ， 故③正确； 在中，，由勾股定理得， ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：A． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【变式4-2】（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．①连接交于点，证出由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明与全等，则可得出结论；④证明，得出，根据得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ①正六边形， ， 和是等边三角形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②，， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③，，， 与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故④符合题意， 则符合题意得有3个， 故选：C． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ∴， ，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，， ， ∴平分的周长，故④正确； 如图，过点E作，并延长交于点N， ∵， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 综上，正确的有4个． 故选；C． 类型五、利用平行四边形的性质证明 方法总结 1. 性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线性质。 2. 逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。 解题技巧 1. 标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。 2. 灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺路。 例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出． （2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到． (3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又， ， ． （2）解：，， ，即． 四边形是平行四边形，， ，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ， ， ， ， . 故答案为：. 【变式5-3】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 方法总结 1. 先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。 2. 再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。 解题技巧 1. 判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。 2. 性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上一点，，连接，，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合等腰三角形性质和勾股定理计算边长是解题的关键． （1）利用三角形中位线定理得与的关系，结合，证明与平行且相等，判定平行四边形 （2）结合平行四边形性质和角度条件推导出，再由得到与的数量关系，在直角三角形中用勾股定理求，进而得的长． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ，，即． ， ． ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形，， ，． ， ． ， ， ， ． 在中，，， ， （负值已舍去）， ． 【变式6-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形的对角线交于O，，连接． (1)求证四边形是平行四边形； (2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． （2）利用平行四边形的性质求面积即可． 本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的面积，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：为平行四边形， ，． ， ． ∴四边形是平行四边形． （2）解：当E为中点时，的面积的面积． ， 的面积的面积． ， 的面积的面积， 的面积的面积． ∴四边形的面积． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，． 【详解】（1）证明： ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【分析】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 方法总结 1. 依性质作图：利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，作平行线或截取等长线段。 2. 依判定构图：以满足平行四边形判定条件（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等）为目标设计步骤。 解题技巧 1. 先定一组对边：通常先作出一条边，再作其平行且相等的对边。 2. 对角线中点法：利用对角线互相平分，先定对角线中点，再确定顶点。 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，为的中点，连接． (1)请用无刻度直尺作中与平行的中位线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，掌握平行四边形对角线互相平分和三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． （1）利用平行四边形对角线互相平分的性质找到中点，结合为中点，作中位线； （2）由三角形中位线定理得的长度，再利用平行四边形对边相等求的长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：为的中位线，， ， 在中，． 【变式7-1】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图（1），过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； (2)如图（2）， 若，过点作的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质与全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键。 （1）连接、，交于，作射线交于，交于点，则射线即为所求； （2）连接、，交于，连接交于，作直线交于点，连接，则线段即为所求。 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴（）， ∴， ∴， ∴，即过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； （2）解：如图，线段即为所求。 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是的中线． 【变式7-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（）以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，则四边形即为所求； （）由平行四边形的性质得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点．设的面积为4，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中，画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中，画一个面积为1的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】利用平行四边形性质以及中点性质，来构造符合题意的平行四边形. 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，即为所求． 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 方法总结 1. 判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。 2. 性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。 解题技巧 1. 判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。 2. 数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。 例7．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题． （1）利用三角形中位线定理，分别证明和都平行且等于的一半，从而得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，结合是中点的条件，即可推导出； （3）将四边形的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和的面积，把两部分面积合并得证． 【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，且； 又∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，且； ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵是的中点， ∴， ∴； （3）解：猜想，证明如下： 由（1），， ∴，， ∴． ∵与同高， ∴， 同理可得：． 又，， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析  （2），证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分； （2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段与的数量关系． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，． （2）如图所示，过点作交于点，连接，， ． ，， ，即， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 为的中点， ，，三点在一条直线上， ． 在和中， ， ， ． 【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，可求出，由平行四边形的性质可得出，，由得出，进一步可得出结论； （2）在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，， ，证明，再证明为等腰直角三角形，得，从而可得出结论； （3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，分别求出、的长，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接，； ， ，即． ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即 设， ∴， ∴， 在中，， ∵， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，灵活运用平行四边形对角相等的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等得到，进而结合求出的度数． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 故选：． 2．（2026·河南信阳·一模）如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 3．（25-26九年级下·辽宁沈阳·月考）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，则的长为（　　） A．15 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图得出平分，根据平行四边形的性质以及等角对等边得出相等的线段，最后利用勾股定理及其逆定理进行求解． 【详解】解：由尺规作图可知，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得． 4．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 【答案】A 【分析】由是的中点，是上的动点，可知与不一定垂直，可判断A错误；由平行四边形的性质及，分别是，的中点，推导出，，而，即可根据“”证明，得，可判断B正确；由等角的补角相等推导出，则，因为，所以四边形是平行四边形，可判断C正确，证明四边形是平行四边形得出，根据即可判断D正确． 【详解】解：是的中点，是上的动点， 与不一定垂直，故A错误； 四边形是平行四边形，，分别是，的中点， ，，且，， ，， 在和中， ， ， ，故B正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故C正确； ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ∴，故D正确． 5．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 6．（2026九年级下·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先从函数图象获取直线平移距离与平行四边形顶点的关系，得出的长度；当直线经过点D时，设直线交于点E，交x轴于点N，交y轴于点M，作于点F，再利用直线的性质，结合此时截得的线段长度，利用勾股定理求出平行四边形的高，最后根据平行四边形面积公式计算面积． 【详解】解：由图象可知，直线经过点A时移动的距离为3，经过点D时移动的距离为7，经过点B时移动的距离为8， ∴， 如图，当直线经过点D时，设直线交于点E，交x轴于点N，交y轴于点M，作于点F， 则此时直线的表达式为， 令，则；令，则， ∴，，即， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由图2可知， ∴， ∴． 二、填空题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，，．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】 【分析】利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，结合已知边长求解的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴． 8．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，然后利用平行四边形对边平行的性质求出，从而求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 【答案】 【详解】解：的对角线、相交于点，其周长为， ，，，， ①； 的周长比的周长大， ， ②， ①②得：， ， ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点在上，点在上，四边形的周长为，且平分的面积，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接、，与交于点，通过证明，得出，根据四边形的周长为，得出，即可得答案． 【详解】解：如图，连接、，与交于点， ∵平分的面积， ∴过与的交点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∵，， ∴． 【点睛】由平分的面积得出过与的交点是解本题关键． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角形为直角三角形． 根据平行四边形对角线互相平分可知，，，又，根据勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，面积为，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的部分，由此可求出平行四边形的面积． 【详解】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理； （1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是平行四边形．请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中作一条线段，将的面积平均分成两份． (2)在图②中过点作一条线段，将的面积平均分成两份． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点是对称中心，过对称中心的直线可将平行四边形面积平分．因此，作平行四边形的两条对角线，过交点的线段即可； （2）先找到平行四边形的对称中心（即对角线交点），再作过点与该对称中心的直线，此直线即可平分平行四边形面积． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求． （2）解：如图②，线段即为所求． 【点睛】本题考查了平行四边形的中心对称性，解题关键是利用“过平行四边形对称中心的直线必平分其面积”这一性质，结合无刻度直尺的作图规则完成操作。 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理： （1）证明，利用可证明； （2）根据勾股定理求出，可得到，再根据解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ∴， ， ． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【答案】(1)．证明见解析 (2)14 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 18．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，三角形全等的判定和性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 19．（25-26九年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及角度计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出，即可得到答案； （2）利用等腰直角三角形以及平行四边形的性质求出，根据求出，再根据算出，最后由算出答案即可； （3）延长交的延长线于点P，根据得到，证明，根据全等三角形的性质证明，证明，得到，再根据即可得到结论； 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 20．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是根据平行四边形的性质与全等三角形的性质找边、角之间的关系． （1）因为四边形是平行四边形，所以，可得内错角相等；由折叠的性质得，得到，推出，因为点E是中点，所以，又由翻折知，所以；利用全等三角形的判定定理即可证明； （2）①因为，所以是等腰三角形，由翻折可得；因为平分，所以；再结合平行四边形的性质，可得角的关系，进而推出；②由（1）的全等可得相关线段相等，结合平行四边形的性质得到线段间的关系；再结合①中，利用勾股定理建立线段的等式，通过等量代换推导得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴，即， ∵点E是中点， ∴， 由翻折知， ∴； ∵， ∴； （2）①证明：如图， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 由翻折可得，，即， ∵平分， ∴； ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13平行四边形的性质和判定的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 类型二、利用平行四边形的性质求面积 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题) 类型五、利用平行四边形的性质证明 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 压轴专练 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 方法总结 1.性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角线 互相平分)。 2.构建方程：根据选定的性质，将己知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。 解题技巧 1.标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。 2.性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互相 平分”。 例1.(25-26八年级上福建福州期末)如图，在口ABCD中，DE平分∠ADC,AD=7,BE=2,则CD的 长是 【变式1-1】(25-26八年级下·重庆开学考试)如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上， AD=AE=BE,∠D=102°，则∠ACB的度数是 1/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式1-2】(25-26八年级上海·假期作业)在ABCD中，AD=BD,BE是边AD上的高，∠EBD=40°， 则∠A的度数为 【变式1-3】(2026八年级下·江苏南通.专题练习)如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，若点A 关于BE的对称点A落在CD上，△DEA'的周长为5，△CBA'的周长为17，则A'C的长为， 类型二、利用平行四边形的性质求面积 方法总结 1.公式应用：平行四边形面积=底×对应高，需确保底和高互相垂直对应。 2.割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。 解题技巧 1.确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。 2.等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。 例2.(24-25八年级下·湖南娄底·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，若平行四边形ABCD的面积是 12,则阴影部分的面积= 【变式2-1】(24-25八年级下江苏盐城期中)如图，点E是口ABCD内任意一点，若ABCD的面积是6， 则涂色部分的面积是」 A D B 【变式2-2】(24-25八年级下·江苏扬州·月考)如图，点E、F是平行四边形ABCD的边BC上两点，点G 是边AD上一点，若平行四边形ABCD的面积是20cm2,则△ABE与△GEF以及△DFC的面积之和为 2/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 【变式2-3】(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)如图，口ABCD的面积是32，点E,G在AD上，点F,H在 BC上，且EF∥AB,GH∥DC,点M,N在EF上，点P在GH上，则阴影部分的面积是一， D 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 方法总结 1.分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图： 2. 性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。 解题技巧 1.参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。 2.排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。 例3.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，等边三角形ABC的边长为10cm,动点M从点B出发，沿 B→A→C→B的路径以4cm/s的速度运动；动点N从点C出发，沿C→A→B→C的路径以3cm/s的 速度运动.若动点M,N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动.设运动时间为s,则当 t的值为时，点A,M,N以及ABC的边上一点D恰好能构成一个平行四边形， M 【变式3-1】(24-25八年级下.湖南岳阳·期中)如图，在口ABCD中，AB=3,AD=4,∠ABC=30°，点M 为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为一 3/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】(24-25八年级下.四川绵阳期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°， AD=16cm,BC=21cm,CD=13cm.动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动.动点Q同时 从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动.设 点P的运动时间为t秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为」 B 【变式3-3】(2024江西南昌模拟预测)在口ABCD中，AB=3,∠A=120°，AD=6,点P为平行四边形 ABCD边上的动点，且满足△PBC是直角三角形，则BP的长度是 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 方法总结 1.逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。 2.反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。 解题技巧 1.性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。 2.图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。 例4.(25-26八年级上山东泰安期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交 于点E,且∠4DC=60°，AB=BC=1,连接OE,下列结论：①0E⊥4C:②S瓶5=ABX @0E-9C:@D=万.成立的个数有（) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式4-1】(25-26八年级上山东日照期末)两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知 ∠ABC=∠DEC=90°，∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°，点F是边AC中点，则下列结论：①△BCE是 4/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 等边三角形，②AB=CF,③BE=√AF,④四边形BEDF是平行四边形，其中正确结论的个数是() B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式4-2】(2025河北唐山二模)如图，在正六边形ABCDEF中，M,N是对角线BE上的两点.添加下 列条件中的一个：①BM=EN;②LFAN=LCDM;③AM=DN;④LAMB=∠DNE.能使四边形 AMDN是平行四边形的条件的个数是() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式4-3】(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考)如图，AC是口ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交 AD于点G,垂足为E,过点D作DH⊥AC交BC于点H,垂足为F,连接GH、EH,则下列结论：① BE=DF;②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC=∠DHC;④GH平分ABCD的周长；⑤ S△4BE=S△EHc,其中正确的个数是() G A.2 B.3 C.4 D.5 类型五、利用平行四边形的性质证明 方法总结 1. 性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线性 质。 2. 逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。 5/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题技巧 1.标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。 2.灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺路。 例5.(25-26九年级上·江苏盐城期末)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC,AF1DC，,垂足分别为E ,F,且BE=DF B (I)求证：△ABE≌△ADF; (2)求证：AB=BC. 【变式5-1】(25-26八年级上·重庆期末)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，过点A作 AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于点F. D (I)求证：AE=CF; (2)若AB⊥AC,AC=6,BD=10,求BE的长度. 【变式5-2】(25-26八年级下·全国课后作业)如下图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0，点E在 AD上，点F在BC上，连接EF,使EF恰好经过点O, B (I)求证：ED=FB. (2)若AC⊥BD,ED+CF=5,AC=6，求BD的长， (3)记四边形ABFE的面积为S,口ABCD的面积为S2,用等式表示S,和S2的关系为_， 【变式5-3】(2026八年级下·全国.专题练习)(1)如图①，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0，直线 EF过点O,与AD,BC分别交于点E,F.求证：AE=CF. 6/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 B F 图① (2)如图②，将口ABCD沿过对角线交点O的直线EF折叠，使点A落在点A处，点B落在点B处，FB,交 CD于点G,AB与CD,DE分别交于点H,I.求证：EI=FG. G 图② 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 方法总结 1.先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形： 2.再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。 解题技巧 1.判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。 2.性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。 例6.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边AC上一点， CD=2AD,连接BD,E,F分别是BC,BD的中点，连接AF,EF,DE. A B (I)求证：四边形ADEF是平行四边形. (2)若BD=2AF,∠CED=∠BEF,AB=3V10,求EF的长， 【变式6-1】(2025贵州遵义一模)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O,BE=DF,连接 AE、EC、CF、FA. 7/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证四边形AECF是平行四边形； (2)若点E是OB的中点，△ABE的面积为2，求四边形AECF的面积. 【变式6-2】(24-25八年级下，安微期末)如图，在△ABF中，E是AB的中点，延长BF至D,使得 DF=BF,连接AD,延长EF至点C,使得CF=AD,连接CD. D E (I)求证：四边形AFCD为平行四边形； (2)连接AC交DB于点O,若CE⊥DB,EF=1,AE=V10,求DO的长. 【变式6-3】(25-26八年级下.全国·课后作业)如图，在ABC中，AB=AC,点D在边BC所在的直线上， 过点D作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F. 图① 图② 图③ (I)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC (②)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③.请分别写出图②、 图③中DE,DF,AC之间的数量关系，不需要证明. (3)若AC=6,DE=4,求DF的长. 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 方法总结 1. 依性质作图：利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，作平行线或截取等长线段。 2.依判定构图：以满足平行四边形判定条件（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等）为目标设计 步骤。 解题技巧 1.先定一组对边：通常先作出一条边，再作其平行且相等的对边。 2.对角线中点法：利用对角线互相平分，先定对角线中点，再确定顶点。 例7.(25-26八年级下·全国·课后作业)如下图，在口ABCD中，E为AB的中点，连接BD 8/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)请用无刻度直尺作△ABD中与AD平行的中位线EF(保留作图痕迹，不写作法). (2)在(1)的条件下，若EF=4,求BC的长。 【变式7-1】(25-26九年级上江西鹰潭·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC的延长线上，请 仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）. C C 图1) 图(2) (I)如图(1)，过点E作射线EF把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分； (②)如图(2)，若EC=CD,过点C作aBEC的中线CH. 【变式7-2】(25-26九年级上山西晋中期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为边BC上一点， 连接AE. E B (I)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边AD上找一点F,连接CF,使得四边形AECF是平行四边形.（要 求：保留作图痕迹，不写作法) (②)在(1)的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由 【变式7-3】(25-26八年级下，全国课后作业)如图，在口ABCD中，E是边BC的中点.设口ABCD的面积 为4，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）. B B 图① 图② 9/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)在图①中，画一个面积为2的平行四边形 (2)在图②中，画一个面积为1的平行四边形. 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 方法总结 1.判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。 2.性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。 解题技巧 1.判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。 2. 数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。 例7.(25-26八年级上山东泰安·期末)如图，在ABC中，BD,CE分别是边AB,AC上的中线，BD与 CE相交于点O,点M,N分别是OB,OC的中点. (I)求证：四边形DEMN是平行四边形； (2)求证：0B=20D; (3)试猜想S四边形DEww与S。ABc的数量关系并给予证明 【变式8-1】(25-26八年级下·全国·周测)【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四 边形的性质：平行四边形的对角线互相平分， 图① 图② (1)如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,求证：OA=OC,OB=OD. 【知识应用】 (2)如图②，在ABC中，P为BC的中点.延长AB到点D,使得BD=AC,延长AC到点E,使得 CE=AB,连接AP,BE,DE,若LBAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你的结 10/17