13.1.1.1 勾股定理（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，以2002年国际数学家大会会标（赵爽弦图）导入，通过方格纸面积计算（割补法）引导学生从等腰直角三角形到一般直角三角形，观察归纳三边关系，构建“观察-猜想-验证”的学习支架。 其亮点在于融合数学史与探究活动，通过赵爽弦图等多种证明方法培养推理意识，结合分层练习（基础题、拓展题、考点专练）发展应用意识。学生能经历数学发现过程，教师可依托系统设计提升教学效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 13.1.1.1 勾股定理 第13章 勾股定理 13.1.1 勾股定理 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册13.1.1勾股定理知识点，紧扣直角三角形三边关系、勾股定理公式、基础边长计算等核心考点。重点掌握勾股定理的内容、适用条件，区分直角边与斜边，熟练进行已知两边求第三边的计算，规避“非直角三角形乱用定理、斜边直角边混淆、开方漏解”等高频易错点。题型梯度由浅入深，覆盖概念填空、正误辨析、基础计算、能力提升，夯实几何计算基础。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 在直角三角形中，________的平方和等于________的平方，这就是勾股定理。 2. 若直角三角形的两条直角边为$$a、b$$，斜边为$$c$$，则勾股定理公式为________。 3. 勾股定理只适用于________三角形。 4. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则c=________。 5. 直角三角形两直角边长为5、12，则斜边长为________。 6. 在Rt△ABC中，斜边c=13，一条直角边a=5，则另一条直角边b=________。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 勾股定理适用的三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 2. Rt△ABC中，∠C=90°，关于三边关系正确的是（） A. $$a^2+b^2=c^2$$ B. $$a^2+c^2=b^2$$ C. $$b^2+c^2=a^2$$ D. $$a+b=c$$ 3. 直角三角形两直角边为6、8，则斜边为（） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 4. 已知直角三角形斜边为5，一条直角边为3，则另一条直角边为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 下列说法正确的是（） A. 任意三角形三边都满足勾股定理 B. 直角三角形斜边最短 C. 直角三角形斜边最长 D. 勾股定理与直角无关 三、解答题（共50分） 1. 基础计算题（每题6分，共24分）：在Rt△ABC中，∠C=90°，求未知边长。 （1）a=9，b=12，求c （2）a=5，c=13，求b （3）b=8，c=10，求a （4）a=7，b=24，求c 2. 基础应用题（12分）：已知直角三角形两直角边长为12cm、16cm，求斜边长度和三角形周长。 3. 能力提升题（14分）：已知直角三角形三边长为连续整数，求该三角形的三边长。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. 两直角边、斜边 2. $$a^2+b^2=c^2$$ 3. 直角 4. 5 5. 13 6. 12 选择题答案：1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 解答题解析：1.（1）$$c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$$；（2）$$b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$；（3）$$a=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$；（4）$$c=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$$。 2. 解：斜边$$c=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20(\text{cm})$$，周长$$=12+16+20=48(\text{cm})$$。 3. 解：设三边长为$$n-1、n、n+1$$（n为正整数），斜边为$$n+1$$。由勾股定理得：$$(n-1)^2+n^2=(n+1)^2$$，化简得$$n^2-4n=0$$，解得$$n=4$$（舍去0）。三边长为3、4、5。 核心考点总结：勾股定理口诀：直角三角形中，直角边平方和=斜边平方；只对直角三角形生效，斜边一定是最长边；计算牢记已知两边求第三边，分清斜边、直角边，避免公式套用错误；3、4、5；5、12、13；7、24、25为常用勾股数，可直接记忆提速。 学习目标 1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究 方法．（重点） 2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳 3.猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想．（难点） 学习目标 新课导入 你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)吗？在这次大会上，可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标. 会徽的原型即是1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图. 小优去朋友家做客，看到她朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 观察右边地面的图形，猜想小优发现了什么？ A B C 直角三角形三边的关系 1 1. 观察正方形瓷砖铺成的地面，如果每一个小方格表示 1 cm2，那么可以得到： (1) 正方形 P 的面积是 cm2； (2) 正方形 Q 的面积是 cm2； (3) 正方形 R 的面积是 cm2. 1 2 1 R Q P A C B SP + SQ = SR 2.上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 合作探究 AC 2 + BC 2 = AB 2 3.等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？ Sp = AC2 SQ = BC2 SR = AB2 R Q P A C B 总结：在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 思考 那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ Q P R Q P R 把 R 看作是四个直角三角形的面积 + 小正方形面积. 这两幅图中 Q，P 的面积都好求，该怎样求 R 的面积呢？ 方法一：割 Q P R Q P R 把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积. S正方形R = 72 - 4× ×3×4 = 25 方法二：补 P 的面积(单位长度) Q 的面积(单位长度) R 的面积(单位长度) 图 2 图 3 P、Q、R 面积关系 直角三角形三边关系 Q P R Q P R A B C A B C 9 16 25 9 4 13 SP + SQ = SR BC2 + AC2 = AB2 BC2 + AC2 = AB2 图 2 图 3 做一做 分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 13 5 12 A B C ∵ S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴ S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图证明勾股定理 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. a b c b-a 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理. a a a a b b b b c c c c 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . (a + b)2 即 a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 = c2. 证明 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有 a2 + b2 = c2 . 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c 文字描述： 知识要点 几何语言： ∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）. 勾股定理： a b c 公式变形： a，b，c 为正数 典例精析 例1 在Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6，BC = 8. 求 AC 的长. 解 根据勾股定理，可得 AB² + BC² = AC². 所以 AC = = 10. 总结：应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长. 勾股定理的应用 2 例2 如图，Rt△ABC 的斜边 AC 比直角边 AB 长 2 cm，另一条直角边 BC 的长为 6 cm. 求 AC 的长. 解：由已知 AB = AC－2，BC = 6 cm， 根据勾股定理，可得 AB² + BC² = (AC－2)² + 6² = AC²， 解得 AC = 10 (cm). A B C A B C 128 m 160 m 例3 如图，为了求出位于湖两岸的点 A、B 之间的距离，一名观测者在点 C 处设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到 AC 的长为 160 m，BC 的长为 128 m. 问：从点 A 穿过湖到点 B 有多远？ 解 如图，在Rt△ABC 中， AC = 160 m，BC = 128 m， 根据勾股定理，可得 答：从点 A 穿过湖到点 B 有 96 m. AB = = 96 (m). 练 习 1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C=90°. (1)若a=6，c=10，求b； (2)若a=24，c=25，求b. 解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，由勾股定理，得 . (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=24，c=25，根据勾股定理，得 . 随堂练习 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3cm和4cm，那么这个三角形的周长是多少厘米？（精确到0.1cm） 解：分两种情况.①若这两边是直角边，则斜边长是 =5，周长是3+4+5=12(cm)；②若这两边中较长的边是斜边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为 (cm)，周长是 (cm)，所以此三角形的周长是12cm或9.6cm. 随堂练习 如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长. 解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED. ∴AE=C′E， ∴C′E=AD−ED=8−ED. 又在△EC′D中，ED2=C′E2+C′D2. ∴ED2=(8−ED)2+42，解得ED=5. 拓展延伸 随堂练习 返回 1．下列说法中正确的是(　　) A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2 C 考试考法 21 返回 A 考试考法 22 返回 3. 若在直角三角形中，有两边长分别是5和12，则第三边长为__________． 考试考法 23 返回 4．如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为O，∠BFD＝∠C.若AF＝4，BF＝3，则点F到直线AB的距离为________． 考试考法 24 返回 5．直角三角形两条直角边长之和为3.5，面积为1.5，则斜边长为________． 2.5 考试考法 25 返回 6．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，则下列选项中不能用来证明勾股定理的是(　　) A 考试考法 26 7．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连结BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°. (1)证明：DF⊥AB. 考试考法 27 返回 (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的验证．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，证明：a2＋b2＝c2. 考试考法 28 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c ，那么 a2 + b2 = c2 利用勾股定理进行计算 课堂小结 2.象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是(　　) A．5 B. C. D. 13或 【点拨】∵∠BFD＝∠C，∴BF∥CE.∴∠AFB＝∠COF.∵AF⊥CE，即∠COF＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AB＝＝5.设点F到直线AB的距离为h，∴S△AFB＝AF·FB＝AB·h，∴×4×3＝×5×h，∴h＝. 【点拨】设直角三角形中一条直角边长为a，另一条直角边长为b，斜边长为c.由题意可得a＋b＝3.5，ab＝1.5，∴ab＝3，∴c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(3.5)2－2×3＝6.25.∵c＞0，∴c＝2.5. 【证明】(1)∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴易得△ACD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.∴AC＝DC.在Rt△ABC和Rt△DEC中，∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．∴∠BAC＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF＋∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB. 【证明】∵△ABC≌△DEC，∴BC＝CE.又∵BC＝a，∴CE＝a.∵S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，DE＝AB＝c，CD＝AC＝b，∴a2＋b2＝·c·DF－·c·EF＝·c·(DF－EF)＝·c·DE＝c2，∴a2＋b2＝c2. $