第13章 勾股定理 习题课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理的概念、直角三角形三边关系、逆定理及应用，通过基础提优题与综合应用题的梯度设计，将定理验证、边长计算、折叠动态等知识点串联，帮助学生构建完整的勾股定理知识网络。 其亮点在于融入生活情境与逻辑推理，如“马走日”距离计算培养数学眼光，折叠问题与面积法验证勾股定理发展推理能力，分层设计的基础与综合题满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用与问题解决能力。

第13章　勾股定理 13．1 勾股定理及其逆定理 3 反证法 1 返回 1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设(　　) A．没有一个角是钝角或直角 B．至多有一个钝角或直角 C．没有一个角是锐角 D．没有一个角是钝角 A 1 基础提优题 2 返回 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连结PA，PB，PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设(　　) A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠PBC≠∠PCB B 1 基础提优题 3 返回 3．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与(　　)矛盾． A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D．垂直的定义 B 1 基础提优题 4 返回 4．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 【解】已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截． 求证：∠1＋∠2＝180°. 证明：假设∠1＋∠2≠180°. ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠3. ∵∠1＋∠2≠180°， ∴∠3＋∠2≠180°，这和平角为180°矛盾， ∴假设∠1＋∠2≠180°不成立，即∠1＋∠2＝180°. 1 基础提优题 5 返回 5．已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立．∴∠B＜90°；③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是(　　) A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② D 2 综合应用题 6 返回 6．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设______________________． a，b都不能被5整除 2 综合应用题 7 返回 7. 阅读下列内容，回答问题． 题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC.因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B. 所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC. 上面的证明过程有没有错误？若没有错误，指出证明的方法；若有错误，请改正． 【解】有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B. 又因为∠C＝90°，所以∠B＝∠A＝45°， 这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC. 2 综合应用题 8 8. 如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法证明点M与点D不重合． 【证明】假设点M与点D重合．延长AM到N，使AM＝MN，连结BN. ∵AM是BC边上的中线， ∴CM＝BM.又∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN， ∴△AMC≌△NMB.∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC. ∵AM(AD)是∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC， ∴∠MNB＝∠BAM，∴BN＝AB，∴AC＝AB，这与AB＞AC相矛盾． ∴点M与点D重合是错误的．∴点M与点D不重合． 返回 2 综合应用题 9 $第13章　勾股定理 13．2 勾股定理的应用 第1课时 勾股定理的实际应用 1 返回 1．如图，一个三棱柱盒子底面的三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，盒子的高为9 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒子的侧面爬行一周到盒顶的点B处，蚂蚁要爬行的最短路程是________cm. 15 1 基础提优题 2 返回 2. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了________米． 9 1 基础提优题 3 返回 3．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船的速度是______海里/时． 40 1 基础提优题 4 返回 4. 如图，在笔直的铁路上有两点A，B，相距20 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝8 km，CB＝14 km，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则AE＝________km. 13.3 1 基础提优题 5 5. 机械厂车间里的师傅利用剩余钢板边角料加工机器零件．如图，△ABC是一块直角三角形钢板边角料，∠C＝90°，AB边长为10分米，BC边长为6分米． (1)求该钢板的面积为多少平方分米． 1 基础提优题 6 (2)现要利用这块边角料截取一个以AB为底边，且面积最大的等腰三角形ABD. ①请用尺规作图法确定点D的位置(不写作法，不用证明，保留作图痕迹)； 【解】①如图，点D即为所求． 1 基础提优题 7 返回 (2)现要利用这块边角料截取一个以AB为底边，且面积最大的等腰三角形ABD. ②求出AD的长． 【解】如图，由作图可知DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB. 在Rt△CDB中，根据勾股定理，得CD2＋BC2＝BD2，∴(8－AD)2＋62＝AD2，解得AD＝6.25分米． 1 基础提优题 8 返回 6. 我国古代有这样一道数学题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？大意：如图，把枯木看作一个圆柱，圆柱的高为20尺(一丈是十尺)，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． 25 【点拨】如图，将圆柱的侧面展开，则AF＝3尺，DF＝20÷5＝4(尺)， ∴AD2＝AF2＋DF2＝32＋42＝52， ∴AD＝5尺，∴葛藤的最短长度是5×5＝25(尺)． 2 综合应用题 9 返回 7. 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm.在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为________cm. 100 2 综合应用题 10 8. 跷跷板是一种常见的儿童玩具．跷跷板一端着地时如图①，支柱OM⊥地面MN，OA＝OB，PC为握把，且PC⊥AB于点C，AC＝40 cm，OM＝70 cm.跷跷板可以绕点O转动，如图②是跷跷板水平时，即EF∥MN，此时点A，C，D，B的对应点分别为点E，G，H，F，恰有AE＝AG，则跷跷板AB的长为________cm. 265 2 综合应用题 11 返回 2 综合应用题 9. 如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD＝2米，AD＝15米． (1)小明猜想立柱AB的长为8米，请判断小明的猜想是否正确，如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱AB的正确长度； 2 综合应用题 13 【解】小明的猜想错误． 由题意可知AB＋BC＝27米，AG＝EF＝CD＝2米，AD＝GC＝15米， ∴BG＋BC＝25米． 在Rt△BGC中，由勾股定理，得BG2＋CG2＝BC2， 即BG2＋152＝(25－BG)2， 解得BG＝8米， ∴AB＝BG＋AG＝8＋2＝10(米)． 2 综合应用题 9. 如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD＝2米，AD＝15米． (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长． 2 综合应用题 15 返回 2 综合应用题 3.2 10. 如图，它是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB. (1)如图甲，当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝________米； 3 创新拓展题 17 2 综合应用题 (2)如图乙，当他在乙房间时，若MA＝1.6米，NB＝1.2米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB； 3 创新拓展题 19 (3)如图丙，当他在丙房间时，若MA＝3.3米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°，求丙房间的宽AB. 3 创新拓展题 20 返回 3 创新拓展题 【点拨】该三棱柱的侧面展开图如图所示，连结AB.∵AA′＝3＋4＋5＝12(cm)，A′B＝9 cm，∠AA′B＝90°，∴AB＝＝＝15(cm)． 【点拨】∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15(米)．∵CD＝10米，∴AD＝＝＝6(米)， ∴BD＝AB－AD＝15－6＝9(米)，∴船向岸边移动了9米． 【点拨】如图，∵甲船的速度是30海里/时，航行了2小时，∴AC＝60海里．∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°，∴∠CAB＝90°.∵BC＝100海里，∴AB＝＝＝80(海里)，∴乙船的速度是 80÷2＝40(海里/时)． 【解】∵∠C＝90°，AB＝10分米，BC＝6分米，∴AC＝＝＝8(分米)．∴S△ABC＝×AC·BC＝×8×6＝24(平方分米)． ∴该钢板的面积为24平方分米． 【点拨】由题意得，EG＝AC＝40 cm，OE＝OA，过点A作AK⊥EG于点K.∵AE＝AG，∴KE＝KG＝EG＝20 cm.∵EF∥MN，∴易知AK＝OM＝70 cm.在Rt△AKO中，AK2＋KO2＝AO2，∴702＋(AO－20)2＝AO2，∴AO＝cm.又∵OA＝OB，∴AB＝2OA＝265 cm. 由题意可知DE＝CF＝3米， ∴GF＝CG＋CF＝15＋3＝18(米)， 在Rt△BGF中，由勾股定理，得BG2＋FG2＝BF2， 即BF2＝82＋182＝388，∴BF＝米． 【点拨】在Rt△AMP中，∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，∴PM＝＝2米．∵PB＝PM，∴PB＝2米，∴AB＝AP＋PB＝3.2米． 【解】∵∠MPN＝90°，∴∠APM＋∠BPN＝90°. ∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠AMP＝∠BPN. 在△AMP与△BPN中，∴△AMP≌△BPN，∴MA＝PB＝1.6米，AP＝BN＝1.2米，∴AB＝AP＋PB＝1.2＋1.6＝2.8(米)． 如图，过点N作MA的垂线，垂足为点D，连结NM，则DN∥AB. ∵∠NPB＝45°，DN∥AB， ∴∠DNP＝45°. ∵PM＝PN，∠MPN＝180°－75°－45°＝60°， ∴△PNM为等边三角形，∴∠MNP＝60°，NM＝PM，∴∠MND＝15°. ∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°， ∴∠DNM＝∠AMP.在△AMP和△DNM中， ∴△AMP≌△DNM(AAS)， ∴AM＝DN， ∴AB＝DN＝AM＝3.3米． $第13章　勾股定理 13．1 勾股定理及其逆定理 1 直角三角形三边的关系 第1课时 勾股定理 1 返回 1．下列说法中正确的是(　　) A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2 C 1 基础提优题 2 返回 A 1 基础提优题 3 返回 3. 若在直角三角形中，有两边长分别是5和12，则第三边长为__________． 1 基础提优题 4 返回 4．如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为O，∠BFD＝∠C.若AF＝4，BF＝3，则点F到直线AB的距离为________． 1 基础提优题 5 返回 5．直角三角形两条直角边长之和为3.5，面积为1.5，则斜边长为________． 2.5 1 基础提优题 6 返回 6．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，则下列选项中不能用来证明勾股定理的是(　　) A 1 基础提优题 7 7．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连结BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°. (1)证明：DF⊥AB. 1 基础提优题 8 返回 (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的验证．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，证明：a2＋b2＝c2. 1 基础提优题 9 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝7时，阴影部分的面积为(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 C 返回 1 基础提优题 10 返回 9. 如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________． 10 1 基础提优题 11 返回 10. 如图，将腰长为2的等腰直角三角形ABC放置于数轴上，直角边AB与数轴重合，直角顶点A与－1重合，D为AB的中点，以D为圆心，DC长为半径画弧，交数轴于点E(在D点右侧)，则点E表示的数为________． 1 基础提优题 12 返回 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B′落在AC的延长线上，则CD＝________. 3 【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝102.∴AB＝10.由折叠得，BD＝B′D，AB′＝AB＝10，∴B′C＝AB′－AC＝10－6＝4.设CD＝x，则B′D＝BD＝8－x.易知∠DCB′＝90°.在Rt△DB′C中，CD2＋CB′2＝DB′2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴CD＝3. 1 基础提优题 13 12. 一个直角三角形三边的长a，b，c都是整数，且满足a<b<c，a＋c＝49，则这个直角三角形的面积为________． 210 返回 1 基础提优题 14 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，AC＝6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动的时间为t s. (1)当点P运动到BC的中点时，t的值是________； (2)连结AP，4 s内，若BP＝AP，则BP的长是________； (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值． 2 2 综合应用题 15 返回 2 综合应用题 2 综合应用题 17 2 综合应用题 18 【拓展延伸】 (2)如图③，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离AD＝12，点B在直线l上，且AB＝15，若点C在直线l上，且AC＝13，求△ABC的边BC的“中偏度值”． 2 综合应用题 19 2 综合应用题 20 返回 2 综合应用题 21 2.象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是(　　) A．5 B. C. D. 13或 【点拨】∵∠BFD＝∠C，∴BF∥CE.∴∠AFB＝∠COF.∵AF⊥CE，即∠COF＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AB＝＝5.设点F到直线AB的距离为h，∴S△AFB＝AF·FB＝AB·h，∴×4×3＝×5×h，∴h＝. 【点拨】设直角三角形中一条直角边长为a，另一条直角边长为b，斜边长为c.由题意可得a＋b＝3.5，ab＝1.5，∴ab＝3，∴c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(3.5)2－2×3＝6.25.∵c＞0，∴c＝2.5. 【证明】(1)∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴易得△ACD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.∴AC＝DC.在Rt△ABC和Rt△DEC中，∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．∴∠BAC＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF＋∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB. 【证明】∵△ABC≌△DEC，∴BC＝CE.又∵BC＝a，∴CE＝a.∵S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，DE＝AB＝c，CD＝AC＝b，∴a2＋b2＝·c·DF－·c·EF＝·c·(DF－EF)＝·c·DE＝c2，∴a2＋b2＝c2. 【点拨】∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝7，∴由勾股定理，得AB＝＝＝，∴阴影部分的面积为×π×(4÷2)2＋×π×(7÷2)2＋×4×7－×π×＝14. －2 【点拨】∵AB＝AC＝2，且D为AB的中点， ∴AD＝1，∴由勾股定理，得CD＝＝＝.由题意知DE＝CD＝.∴点E表示的数是－1－1＝－2. 【点拨】由题知a2＋b2＝c2，a＋c＝49，∴a2＋b2＝(49－a)2，∴b2＝49×(49－2a)．由题意，得49－2a＝1，4，9，16，25，36，解得整数a＝24，20，12，∴c＝25，29，37.由勾股定理，得b＝7，21，35.∵a＜b＜c，∴a＝12，b＝35，c＝37或a＝20，b＝21，c＝29.故这个直角三角形的面积为×12×35＝210或×20×21＝210. cm 【解】①当∠APB＝90°时，点P和点C重合，此时t＝8÷2＝4； ②当∠BAP＝90°时，点P在BC的延长线上，如图． 易知BC＝8 cm.∵BP＝2t cm，∴PC＝(2t－8)cm.在Rt△ACP中，根据勾股定理可得AP2＝AC2＋PC2＝62＋(2t－8)2，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得AP2＝BP2－AB2＝(2t)2－102， ∴62＋(2t－8)2＝(2t)2－102， 解得t＝.综上，t＝4或t＝. 14.【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”，例如图①中，AD和AE分别为△ABC的边BC上的高和中线，AD＝10，DE＝5，则△ABC的边BC的“中偏度值”为＝2. 【尝试应用】 (1)如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝40，AC＝30，求△ABC的边BC的“中偏度值”； 【解】作Rt△ABC的中线AE，高AD，如图①. ∵∠BAC＝90°，AB＝40，AC＝30，∴由勾股定理易得BC＝50. ∵S△ABC＝·AC·AB＝·BC·AD，∴×30×40＝×50×AD，∴AD＝24， ∴由勾股定理易得BD＝32.∵AE为Rt△ABC斜边BC上的中线， ∴BE＝BC＝25，∴ED＝BD－BE＝32－25＝7， 则△ABC的边BC的“中偏度值”为. ①当AC在△ABD外部时，作△ACB的中线AE，如图②. ∵AD⊥BC，AD＝12，AC＝13，AB＝15， ∴CD＝5，BD＝9，∴BC＝BD＋CD＝14. ∵AE为△ABC的中线，∴CE＝BC＝7， ∴ED＝CE－CD＝7－5＝2，即点E到AD的距离为2， 则△ABC的边BC的“中偏度值”为＝6； ②当AC在△ABD内部时，作△ACB的中线AE，如图③， 同①知CD＝5，BD＝9，∴BC＝BD－CD＝4. ∵AE为△ABC的中线， ∴CE＝BC＝2，∴ED＝CE＋CD＝2＋5＝7， 即点E到AD的距离为7， 则△ABC的边BC的“中偏度值”为. 综上所述，△ABC的边BC的“中偏度值”为6或. $第13章　勾股定理 13．1 勾股定理及其逆定理 2 直角三角形的判定 1 返回 1.四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是(　　) A．5，9，12 B．5，9，13 C．5，12，13 D．9，12，13 C 1 基础提优题 2 返回 2. 下列由三条线段a，b，c构成的三角形(其内角分别为∠A，∠B，∠C)：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A∠B∠C＝345；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中能构成直角三角形的是(　　) A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ B 1 基础提优题 3 返回 3. 如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，点A，B，C，D中能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D D 1 基础提优题 4 返回 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为______． 150° 【点拨】连结BD.∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，∠ADB＝60°.∵BC＝10，CD＝8，∴BD2＋CD2＝62＋82＝100＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°＋90°＝150°. 1 基础提优题 5 5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°. (1)判断△ACD的形状，并说明理由； 1 基础提优题 6 5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°. (2)求图中阴影部分的面积． 返回 1 基础提优题 7 返回 C 1 基础提优题 8 m 返回 1 基础提优题 9 返回 8. 已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 2 综合应用题 10 返回 B 2 综合应用题 11 返回 135°或45° 10. 已知在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连结CD，AD，若CD＝2, AD＝6，则∠BCD＝__________． 【点拨】分两种情况讨论，如图①和图②.∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC2＝42＋42＝32.又由题知CD2＝4，AD2＝36，∴AD2＝AC2＋CD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°.故①∠BCD＝90°＋45°＝135°；②∠BCD＝90°－45°＝45°.综上，∠BCD＝135°或45°. 2 综合应用题 12 返回 11. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是△ABC三条角平分线的交点，则△BCO的边BC上的高是________． 1 2 综合应用题 13 返回 12. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB－∠DCE＝________°. 45 2 综合应用题 14 13. 如图，△ACD和△BCE是两个等腰直角三角形，∠ACD＝∠ECB＝90°，连结AE，DE.在△BCE旋转的过程中，若有AE2＝DE2＋2CE2，求∠DEC的度数． 2 综合应用题 15 ∴△ACE≌△DCB，∴AE＝BD. ∵△BCE是等腰直角三角形，∠BCE＝90°， ∴∠BEC＝∠EBC＝45°，BE2＝2CE2. ∵AE2＝DE2＋2CE2，∴AE2＝DE2＋BE2， ∴BD2＝DE2＋BE2，∴∠BED＝90°， ∴∠DEC＝∠BED－∠BEC＝90°－45°＝45°； 当点E在△ACD内时，连结BD，如图②. 2 综合应用题 返回 同理可得∠BEC＝45°，BE2＝2CE2， △ACE≌△DCB，∴AE＝BD. 又∵AE2＝DE2＋2CE2，∴BD2＝DE2＋BE2， ∴∠BED＝90°. ∴∠DEC＝∠BED＋∠BEC＝90°＋45°＝135°. 综上所述，∠DEC的度数为45°或135°. 2 综合应用题 14. (1)如图①，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，把△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，则∠AB′B＝________； 45° 3 创新拓展题 18 3 创新拓展题 19 3 创新拓展题 (3)如图③，在等腰直角三角形ABC内有一点P，且∠ABC＝90°，PA＝6，PB＝4，PC＝2，求∠BPC的度数． 3 创新拓展题 21 返回 如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，则∠AP′B＝∠BPC，AP′＝CP＝2，BP′＝BP＝4，∠PBP′＝90°，连结PP′，∴PP′2＝BP′2＋BP2＝32，∠BP′P＝∠BPP′＝45°. ∵在△AP′P中，PA2＝36，P′P2＝32，AP′2＝4， ∴P′P2＋AP′2＝PA2，∴△AP′P是直角三角形， 且∠AP′P＝90°， ∴∠AP′B＝∠BP′P＋∠AP′P＝45°＋90°＝135°.∴∠BPC＝135°. 3 创新拓展题 22 【解】△ACD是直角三角形． 理由：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米， ∴AC＝＝＝5(米)． 又∵CD＝3米，AD＝4米，∴AD2＋CD2＝25＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°. 【解】阴影部分的面积＝AC×BC－AD×CD＝×5×12－×4×3＝24(平方米)． 6．下列各组数中，是勾股数的是(　　) A.，， B．5，6，7 C．8，15，17 D．0.6，0.8，1 7.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2－，c＝m2＋，m是大于1的奇数，则b＝________(用含m的式子表示)． 【点拨】∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a＝m2－，c＝m2＋，∴b2＝c2－a2＝－＝m4＋＋m2－(m4＋－m2)＝m2.又∵m是大于1的奇数，∴b＝m. 【点拨】∵5p2＋3q为奇数，∴p，q中为一奇一偶，而p，q均为质数，∴p，q中必有一个为2.若q＝2，则p2＝，不合题意，舍去；若p＝2，则q＝13，那么三边长分别为5，12，13.显然有52＋122＝132，∴以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是直角三角形． 9.如图，在△ABC中，AB＝，AC＝12，BC＝6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为(　　) A．4 B. C．5 D．3 【点拨】如图，标出点F，G，连结CG，AG.由勾股定理得 AG2＝CG2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，则AG2＋CG2＝AC2，∴∠CGA＝90°，即△CAG是等腰直角三角形，∴∠CAG＝45°.∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA.在△AFG和△CDE中，∴△AFG≌△CDE(SAS)，∴∠FAG＝∠DCE，∴∠ACB－∠DCE＝∠CAF－∠FAG＝∠CAG＝45°. 【解】当点E在△ACD外时，连结DB，如图①. ∵△ACD和△ECB都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠ECB＝90°，∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACE＝90°＋∠ACB＝∠DCB. 在△ACE和△DCB中， (2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，若把△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A，连结PP′，求∠BPC的度数和PP′的长； ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°. ∵将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A， ∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，∠PBP′＝60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′＝，∠BP′P＝60°.又∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2＋PP′2＝12＋()2＝4，AP2＝22＝4，∴AP′2＋PP′2＝AP2，∴△PP′A是直角三角形，且∠AP′P＝90°，∴∠AP′B＝∠AP′P＋∠BP′P＝90°＋60°＝150°.∴∠BPC＝150°. $第13章　勾股定理 13．1 勾股定理及其逆定理 第2课时　勾股定理及其逆定理的 综合应用 1 1．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(　　) A．AB2＝20 B．△ABC的面积为10 C．∠BAC＝90° D．点A到直线BC的距离是2 B 1 基础提优题 2 返回 1 基础提优题 返回 2．如图，分别以直角三角形的三边长为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．记大圆的面积是S1，两个小圆的面积和是S2，则S1和S2两者之间的大小关系是________． S1＝S2 【点拨】设大圆的半径是R，两个小圆的半径分别是r1和r2，则S1＝πR2，S2＝π(r12＋r22)．由勾股定理，得(2R)2＝(2r1)2＋(2r2)2，即R2＝r12＋r22，所以πR2＝π(r12＋r22)，即S1＝S2. 1 基础提优题 4 返回 3．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是________． 1 基础提优题 5 【解】如图，△DEF即为所求． 1 基础提优题 6 返回 (2)判断△DEF的形状，并说明理由． 1 基础提优题 7 返回 5. 如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 B 1 基础提优题 8 6. 如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15 km，与公路上另一停靠站B的距离为 20 km，停靠站A，B之间的距离为25 km，且CD⊥AB. (1)求修建的公路CD的长． 1 基础提优题 9 返回 (2)一辆货车从D处到B处走过的路程是多少？ 1 基础提优题 10 7．如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m，则喷泉B到小路AC的最短距离为(　　) A．90 m B．120 m C．150 m D．180 m C 2 综合应用题 11 返回 2 综合应用题 8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，则∠BPC的度数为________． 135° 【点拨】方法1：如图，将△ACP绕点C逆时针旋转90°得 到△BCE，连结PE，则EC＝PC＝2，∠ECP＝90°， EB＝PA＝3， ∴△CPE为等腰直角三角形． ∴PE2＝PC2＋EC2＝8，∠CPE＝45°.在△PEB中，PB2＝1，PE2＝8，EB2＝9，∴PB2＋PE2＝EB2.∴△PBE为直角三角形，且∠EPB＝90°.∴∠BPC＝∠CPE＋∠EPB＝45°＋90°＝135°. 2 综合应用题 13 返回 2 综合应用题 56或40或36 2 综合应用题 15 返回 2 综合应用题 6 10. 如图，这是由8个完全相同的小正方形组成的网格，现将外围的格点从1号到12号按顺序进行编号，点A，B，C分别在2号、6号和10号格点上，如果按顺时针方向同时移动A，B，C三点，各点每次只移动到下一个格点，这样绕长方形外围一周回到原先的位置，在这个过程中，△ABC有________次成为直角三角形． 2 综合应用题 17 返回 【点拨】如图①，∵A1C12＝22＋22＝8，B1C12＝22＋22＝8，A1B12＝42＝16，∴A1C12＋B1C12＝A1B12.∴△A1B1C1是直角三角形，同理可证其他5个三角形(如图②～⑥)都是直角三角形，即△ABC共有6次成为直角三角形． 2 综合应用题 11. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域．我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，12分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行60海里，乙巡逻艇每小时航行25海里，乙巡逻艇的航向为南偏西40°. (1)求甲巡逻艇的航行方向． 2 综合应用题 19 2 综合应用题 返回 (2)成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，6分钟后，甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 2 综合应用题 21 12. 如图，这是某区域仓储配送中心的示意图，A区为商品入库区，B区、C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250 m，A，B区相距200 m，A，C区相距150 m，为了方便商品从入库区分拣传送至配送中心区，现有两种搭建传送带的方案． 甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区、C区； 乙方案：在B区、C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区(接缝忽略不计)． (1)请判断此平面图形△ABC的形状，并说明理由． 3 创新拓展题 22 【解】△ABC是直角三角形．理由如下：由题可知BC＝250 m，AB＝200 m，AC＝150 m， ∵2002＋1502＝2502，∴AB2＋AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 3 创新拓展题 (2)甲、乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明理由． 返回 3 创新拓展题 24 【点拨】A.AB2＝22＋42＝20，正确，故不符合题意；B.S△ABC＝4×4－×3×4－×2×1－×2×4＝5，错误，故符合题意；C.因为AC2＝12＋22＝5，AB2＝20，BC2＝32＋42＝25，所以AC2＋AB2＝BC2，所以∠BAC＝90°，正确，故不符合题意；D.设点A到直线BC的距离为h.易知BC2＝25，所以BC＝5，则×5×h＝5，解得h＝2，即点A到直线BC的距离是2，正确，故不符合题意． 4．如图①是小聪同学在正方形网格中(每个小正方形的边长为1)画出的格点△ABC(△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处)，易知AB＝，BC＝，AC＝. (1)请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点△DEF，使得DE＝，EF＝，DF＝； 【解】△DEF为直角三角形．理由：∵DE2＋EF2＝()2＋()2＝10，DF2＝()2＝10， ∴DE2＋EF2＝DF2， ∴△DEF为直角三角形． 【解】∵AC＝15 km，BC＝20 km，AB＝25 km，152＋202＝252，∴△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ACB＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝12 km.故修建的公路CD的长是12 km. 【解】在Rt△BDC中，BD＝＝16 km，故一辆货车从D处到B处走过的路程是16 km. 【点拨】由题意可知MN⊥AB，在Rt△MNB中，BN＝＝＝90(m)，∴AN＝AB－BN＝250－90＝160(m)．在Rt△AMN中，AM＝＝＝200(m)．∵AB＝250 m，AM＝200 m，BM＝150 m，∴AB2＝BM2＋AM2.∴∠AMB＝90°.∴喷泉B到小路AC的最短距离为BM的长，即为150 m. 方法2：过点C作CE⊥CP，垂足为C，且CE＝CP＝2，连结BE，PE，则△PCE为等腰直角三角形．∴∠CPE＝45°，PE2＝PC2＋CE2＝8. ∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCE＋∠PCB＝90°，∴∠ACP＝∠BCE.在△APC和△BEC中，∴△APC≌△BEC.∴BE＝PA＝3.又∵PB＝1，∴PE2＋PB2＝9＝BE2.∴△BPE是直角三角形，且∠BPE＝90°.∴∠BPC＝∠CPE＋∠BPE＝45°＋90°＝135°. 9.设直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a，b，c均为整数，且c＝ab－(a＋b)，则满足条件的直角三角形的周长为____________________． 【点拨】由题知c2＝a2＋b2，∴c2＝[ab－(a＋b)]2＝a2b2－ab(a＋b)＋a2＋b2＋2ab＝a2＋b2，化简，得ab[ab－6(a＋b)＋18]＝0.∵ab＞0，∴ab－6(a＋b)＋18＝0，整理，得(a－6)(b－6)＝18.∵a，b均为正整数，不妨设a＜b，则或或∴易知(a，b，c)＝(7，24，25)或(8，15，17)或(9，12，15)，∴满足条件的直角三角形有三个，周长分别为56或40或36. 【解】如图，过点C作CD∥BE.由题意得AB＝13海里，AC＝60×＝12(海里)，BC＝25×＝5(海里)，∴AC2＋BC2＝169＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.∵CD∥BE， ∴∠DCB＝∠CBE＝40°， ∴∠ACD＝∠ACB－∠DCB＝50°. ∵AF∥BE，∴AF∥CD. ∴∠FAC＝∠ACD＝50°，∴甲巡逻艇的航行方向是南偏东50°. 【解】由题意得，甲巡逻艇航行6分钟的路程为60×＝6(海里)，乙巡逻艇航行6分钟的路程为25×＝2.5(海里)，∴6分钟后，甲、乙两艘巡逻艇相距＝6.5(海里)． 【解】甲方案所搭建的传送带较短．理由如下：由(1)可知，△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.∵AD⊥BC，∴S△ABC＝BC·AD＝AB·AC，∴AD＝＝＝120(m)，∴AD＋DB＋DC＝AD＋BC＝120＋250＝370(m)．∵AB＋AC＝200＋150＝350(m)，350 m＜370 m， ∴甲方案所搭建的传送带较短． $第13章　勾股定理 13．1 勾股定理及其逆定理 1 直角三角形三边的关系 第2课时 勾股定理的简单应用 1 返回 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，以边BC为直径作一个半圆，则半圆(阴影部分)的面积为________． 8π 1 基础提优题 2 返回 2. 如图，在由若干个边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为________． 1 基础提优题 3 返回 3．圆柱形玻璃杯的底面半径为4 cm，高为6 cm，有一根长为13 cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为____________． 3cm 1 基础提优题 4 返回 4．如图，学校有一块直角三角形菜地ABC，∠ABC＝90°，BC＝12 m．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，∠ADE＝∠AED，BD＝EF＝1 m，CF＝8 m，则AE的长为____________． 4m 1 基础提优题 5 返回 5. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺＝10寸)，两扇门的间隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为________． 101寸 1 基础提优题 6 6. 如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，则阴影部分的面积为________． 36 返回 1 基础提优题 7 1 基础提优题 8 1 基础提优题 9 返回 1 基础提优题 10 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M为边AB的中点，点D在边BC上．连结DM，过点M作ME⊥MD交AC边于点E，连结DE，探究线段AE，DE，DB之间满足什么数量关系？并说明理由． 【解法1】ED2＝AE2＋BD2.理由如下： 如图，过点A作AN∥BC交DM的延长线于点N，连结EN， ∴∠NAM＝∠B，∠ANM＝∠BDM. 又∵M为边AB的中点，∴AM＝BM. 在△ANM和△BDM中，∠NAM＝∠B，∠ANM＝∠BDM，AM＝BM， 1 基础提优题 11 ∴△ANM≌△BDM(AAS)，∴AN＝BD，MN＝MD. 又∵ME⊥MD，∴ME是线段DN的垂直平分线， ∴ED＝EN. ∵∠C＝90°，AN∥BC，∴∠EAN＝90°， ∴EN2＝AE2＋AN2，∴ED2＝AE2＋BD2. 【解法2】ED2＝AE2＋BD2.理由如下： 如图，延长EM至点E′，使得EM＝ME′，易知∠DME′＝DME＝90°，连结DE′，BE′. 1 基础提优题 在△EMD和△E′MD中，EM＝E′M，∠EMD＝∠E′MD，MD＝MD， ∴△EMD≌△E′MD(SAS)， ∴DE＝DE′. 在△AEM和△BE′M中，AM＝BM，∠AME＝∠BME′，EM＝E′M， ∴△AEM≌△BE′M(SAS)， ∴AE＝BE′，∠AEM＝∠BE′M，∴AC∥BE′. ∵∠C＝90°，∴∠E′BD＝90°. 在Rt△DBE′中，∵BD2＋E′B2＝E′D2，∴ED2＝AE2＋BD2. 返回 1 基础提优题 9. 如图，这是静静荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上的P处，转轴B到地面的距离BD＝3 m．静静在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2 m，点A到地面的距离AE＝2 m，当她从A处摆动到A′处时，有AB⊥A′B. (1)求点A′到BD的距离． 1 基础提优题 14 【解】过点A′作A′F⊥BD，垂足为F，∴∠A′FB＝90°. 由题意可得A′B＝BA，CD＝AE＝2 m．∵BD＝3 m， ∴BC＝BD－CD＝1 m．∵A′B⊥AB，AC⊥BD， ∴∠A′BA＝∠ACB＝90°＝∠A′FB. ∴∠A′BF＋∠ABC＝90°，∠ABC＋∠BAC＝90°. ∴∠A′BF＝∠BAC. 1 基础提优题 1 基础提优题 16 返回 (2)当静静坐在秋千位于A′处时，她忽然发现一只小狗趴到了D点的位置，小狗高度为0.4 m，假设小狗不动，请问静静在荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？ 1 基础提优题 17 【点拨】如图，∵AE⊥BC，∴△ABC的面积为BC×AE＝×4×4＝8.由勾股定理得AC＝＝5，∴×5×BD＝8，解得BD＝. 【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△BPC中，由勾股定理得BC＝＝＝10.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴BD＝BC＝5.在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝＝＝12，∴S△ABC＝BC·AD＝×10×12＝60.∵S△BPC＝BP·PC＝×8×6＝24，∴S阴影部分＝S△ABC－S△BPC＝60－24＝36. 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝9，DE⊥AC，CD＝BC，CE＝AC，P是直线AC上一动点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，若点C落在直线DE上的点H处，则CP的长是__________． 10或 【点拨】当点P在点E左边时，如图①所示， 由折叠的性质得PC＝PH，DC＝DH.∵∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝9，∴BC＝＝15.∵CD＝BC，CE＝AC，∴DH＝CD＝5，CE＝4.∵DE⊥AC，∴DE＝＝3，∴EH＝ED＋DH＝3＋5＝8.设PC＝x，则PH＝x，PE＝x－4.在Rt△PEH中，由勾股定理得PH2－PE2＝EH2，∴x2－(x－4)2＝82，解得x＝10，即CP＝10； 当点P在点E右边时，如图②所示，由折叠的性质得PC＝PH，DH＝CD＝BC＝×15＝5，∴EH＝DH－ED＝5－3＝2.设PC＝a，则PE＝EC－PC＝4－a，PH＝a.在Rt△PEH中，由勾股定理得PH2－PE2＝EH2，∴a2－(4－a)2＝22，解得a＝，即CP＝. 综上所述，PC的长是10或. 在△A′BF和△BAC中， ∴△A′BF≌△BAC，∴A′F＝BC＝1 m， 即点A′到BD的距离为1 m. 在Rt△ABC中，AB＝＝＝(m)． ∴BP＝AB＝m. 又∵BD＝3 m，∴PD＝BD－BP＝(3－)m. ∵3－＞0.4，∴秋千不会碰到小狗． $