第13章 勾股定理【章末复习】 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理、反证法及四大应用模型，通过知识框架将定理内容、变形公式、勾股数、判定步骤等核心要点串联，构建“概念-判定-方法-应用”的完整知识网络。 其亮点在于结合“数学眼光”“数学思维”设计复习活动，如通过“梯子滑动模型”“立体最短路径展开”培养几何直观与空间观念，用反证法三步流程强化推理意识，分层测试（A组基础、B组提升）满足个性化需求。帮助学生巩固知识，教师精准把握学情，提升复习效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 章末复习 第13章 勾股定理 第13章 勾股定理 全章复习（知识点+综合测试卷） 本章为八年级上册几何计算核心章节，主要包含勾股定理、直角三角形判定、反证法、勾股定理实际应用四大模块。本章重点在于数形结合、建模解题，是几何计算、实际应用题的必考重点，也是后续解三角形、立体几何的基础。 一、13.1.1 勾股定理 1. 定理内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则：$$a^2+b^2=c^2$$。 2. 变形公式（必考） $$c=\sqrt{a^2+b^2}$$（求斜边） $$a=\sqrt{c^2-b^2}$$、$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$（求直角边） 3. 常用勾股数（直接记忆） 3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17 勾股数的正整数倍仍然是勾股数。 4. 易错点 勾股定理只适用于直角三角形；斜边一定是最长边，计算时必须分清直角边与斜边。 二、13.1.2 直角三角形的判定（勾股定理逆定理） 1. 逆定理内容 若三角形三边长a、b、c满足较短两边的平方和等于最长边的平方，即$$a^2+b^2=c^2$$，则这个三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 2. 判定步骤 第一步：找出三边中最长边； 第二步：计算两条短边平方和与最长边平方； 第三步：比较是否相等，相等即为直角三角形。 3. 定理关系 勾股定理（已知直角→得边长关系）；逆定理（已知边长→判直角），二者为互逆定理。 三、13.1.3 反证法 1. 定义 反证法是一种间接证明法，不直接证明原命题，而是通过否定结论、推出矛盾，间接证明原命题正确。 2. 标准三步流程 ①反设：假设原命题的结论不成立； ②归谬：根据已知、定义、定理推理，推出矛盾； ③存真：否定假设，确定原命题成立。 3. 适用题型 题目含“至多、至少、唯一、不可能、存在性”等关键词的命题。 4. 高频易错 反设必须完全否定结论，不能遗漏情况；矛盾可来自已知条件、基本事实、定理、定义。 四、13.2 勾股定理的应用 1. 解题核心思想 实际问题→构造直角三角形→利用勾股定理计算求解。 2. 四大必考经典模型 （1）梯子滑动模型：梯子长度为斜边，长度始终不变，通过前后两次勾股计算求滑动距离。 （2）树木折断模型：折断部分为斜边、剩余树高和地面距离为直角边，列方程求解。 （3）距离测量模型：无直接测量距离时，构造直角三角形，利用勾股求斜边距离。 （4）立体最短路径模型：将立体图形展开为平面，两点之间线段最短，构造直角三角形求最短路径。 3. 解题注意事项 找准不变量、区分直角边与斜边、统一单位，复杂题型可设未知数利用方程思想求解。 五、全章高频易错汇总 1. 非直角三角形乱用勾股定理； 2. 判定直角三角形时，未找最长边导致公式套用错误； 3. 反证法反设不全面、推理无矛盾、步骤缺失； 4. 实际问题不会建模，无法构造直角三角形； 5. 立体最短路径忘记展开平面图形。 六、第13章 综合测试卷（满分100分） 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 直角三角形两直角边为6、8，则斜边为________。 2. 勾股定理的逆定理用于判定________三角形。 3. 反证法的三步是反设、________、存真。 4. 直角三角形斜边为13，一条直角边为12，则另一直角边为________。 5. 3、4、5这组数据属于________。 6. 立体图形最短路径问题需要将立体图形________为平面图形求解。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数是勾股数的是（） A. 2、3、4 B. 5、12、13 C. 4、5、6 D. 1、2、3 2. 直角三角形两直角边扩大2倍，斜边扩大（） A. 1倍 B. 2倍 C. 4倍 D. 不变 3. 用反证法证明“三角形最多一个钝角”，第一步假设（） A. 没有钝角 B. 至少两个钝角 C. 一个钝角 D. 三个钝角 4. 三角形三边9、12、15，该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 5. 梯子靠墙滑动，始终不变的是（） A. 墙高 B. 底端距离 C. 梯子长度 D. 地面宽度 三、解答题（共50分） 1.（12分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，a=15，b=8，求斜边c的长。 2.（12分）判断三边为7、24、25的三角形是否为直角三角形。 3.（12分）用反证法证明：直角三角形中只能有一个直角。 4.（14分）一架梯子长25m，底端距墙7m，顶端下滑4m，求底端滑动距离。 七、参考答案与解析 填空题答案 1. 10 2. 直角 3. 归谬 4. 5 5. 勾股数 6. 展开 选择题答案 1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 解答题解析 1. 解：由勾股定理得：$$c=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17$$。 2. 解：最长边为25，$$7^2+24^2=49+576=625=25^2$$，满足勾股逆定理，是直角三角形。 3. 证明：假设直角三角形中有两个直角。则两直角和为180°，三角形内角和超过180°，与三角形内角和定理矛盾。故假设不成立，原命题成立。 4. 解：初始高：$$\sqrt{25^2-7^2}=24\text{m}$$，下滑后高：$$24-4=20\text{m}$$，新底距：$$\sqrt{25^2-20^2}=15\text{m}$$，滑动距离：$$15-7=8\text{m}$$。 全章总结：本章核心为一个公式、一套判定、一种方法、四类应用。熟练掌握勾股定理计算与逆定理判定，吃透反证法书写步骤，熟练建模解决实际问题，是拿下本章满分的关键。 学习目标 1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点) 2.经历勾股定理的应用过程 3.熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点） 学习目标 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 　 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　. 平方 a2＋b2＝c2 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2， 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a、b (且 a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝_________；当 a 是斜边时，第三边 c＝_________. 注意事项 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边． 据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法： 2．勾股定理的验证 ∵四个直角三角形与中间的小正方形 拼成了一个大正方形， ∴4×ab＋(b－a)2＝c2， ∴a2＋b2＝c2. 3．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2＋b2＝ ，那么这个三角形是直角三角形． 利用此定理判定直角三角形的一般步骤： (1) 确定最大边； (2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ； (3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是　 　三角形． 平方和 直角 c2 4．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股数，即满足 a2＋b2＝c2 的三个　 　数 a、b、c，称为勾股数． [注意] 勾股数都是正整数． 正整 正整 5．勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1) 已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题； (2) 说明线段的平方关系问题； (3) 在　 上作表示 等数的点的问题； (4) 解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理． 直角 数轴 复习题 1.求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形；(2)如图②，着色部分是长方形； A组 12cm 13cm 15cm 8cm 3cm ① ② S=132-122=25(cm2). (3)如图③，着色部分是半圆（保留π）. 6cm 10cm 2.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系. 解：以a、b为斜边的两个等腰直角三角形的面积等于以c为斜边的等腰直角三角形的面积． 3.试判断由下列三边围成的三角形是否是直角三角形： (1)三边长分别为m2+n2、mn、m2−n2(m>n>0)； 解：(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4， (mn)2+(m2−n2)2=m2n2+m4−2m2n2+n4=m4−m2n2+n4， 故(m2+n2)2≠(mn)2+(m2−n2)2， ∴该三角形不是直角三角形. (2)三边长之比为1∶1∶ . 解：∵( x)2=2x2=x2+x2，∴该三角形是直角三角形. 4.一架2.5m长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙0.7m，如果梯子的顶部滑下0.4m，梯子的底部向外滑出多远？ 解：如图，AB=DE=2.5m，BC=0.7m，AD=0.4m. ∴在Rt△ABC中，AC= = =2.4(m). ∵AD=0.4m，∴CD=AC−AD=2m. ∴在Rt△CDE中，CE= = =1.5(m)，故BE=CE−BC=1.5−0.7=0.8(m). 答：梯子的底部向外滑出0.8m. 5.在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm.求正方形A、B、C、D的面积和. 解：SA+SB+SC+SD =SE+SF =SG=72=49(cm2). A B C D E F G 6.在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2. 求BD的长. 解：如图，AD=AC−DC=10−2=8， 在Rt△ABD中，BD= = = 6. 7.已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm. 求这个三角形的面积. 解：设该直角三角形其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(30−13−x) cm. 根据勾股定理得x2+(30−13−x)2=132. 整理得17x−x2=60. ∴这个三角形的面积为 x(30−13−x)= (17x−x2)=30(cm2). B组 8.如图，有一块四边形地ABCD，∠B=∠90°. AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m. 求该四边形地的面积. 解：连接AC，由勾股定理得AC= =5(m)， AC2+CD2=52+122=132=AD2， 由勾股定理的逆定理得∠ACD=90°， 所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC 答：这块四边形地的面积是36m2. 9.我们已经知道，3、4、5，6、8、10 等都是一些勾股数.请你再写出其他5组勾股数. 解：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，12，15；12，16，20(答案不唯一). 10.试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角. 证明：假设一个五边形中存在4个内角为锐角，则这4个内角的和小于360°.而五边形的内角和等于540°，那么剩余的第5个角的度数必然大于180°，这与五边形的每一个内角都小于180°相矛盾，故假设不成立.即一个五边形不可能有4个内角为锐角. 11.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°.求∠DAB的大小. 解：连接AC，∵AB=BC=2，∠B=90°， ∴∠BAC=∠BCA=45°，AC= 在△ACD中，AD2+AC2=9=CD2， ∴△ACD中是直角三角形，∠DAC=90°， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°. 返回 1. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝(　　) A．8 B．10 C．12 D．13 C 考试考法 23 返回 2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＋AC＝9，BC＝3，则AC的长为________． 4 考试考法 24 返回 3. 如图，甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图乙所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长(图乙中的实线)是________． 76 考试考法 25 返回 4. 如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝(　　) A．5 B．4 C．6 D．16 C 【点拨】易知△ABC≌△BDE，∴AC＝BE.∵DE2＋BE2＝BD2，∴DE2＋AC2＝BD2，即S2＋S1＝1.同理．可证S2＋S3＝2，S3＋S4＝3.∴S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6. 考试考法 26 返回 5. 一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度AB＝1.3米，如图，与小狗的距离AC＝2.4米，小狗的高CD＝0.3米．(绳子一直是直的) (1)此时牵狗绳BD的长是多少？ 考试考法 27 返回 (2)小方将手上的小球扔至3米远的M处，若她站着不动，牵狗绳最长放至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．(假设小狗碰到球就能将球捡回来) 考试考法 28 返回 6．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝________． 45° 考试考法 29 7．如图，这是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC＝24 cm，CB＝18 cm，两轮中心的距离AB＝30 cm，则点C到AB的距离为________cm. 返回 考试考法 30 8. 如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与公路AB上两点A，B的距离分别为200 m和150 m，AB＝250 m，环卫车周围130 m以内(不包括130 m)为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【解】学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC＝200 m，BC＝150 m，AB＝250 m， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 考试考法 31 考试考法 (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间为2 min，求环卫车的行驶速度为多少． 返回 考试考法 33 返回 9. 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13，7，24，25；….这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差为1.还有一类勾股数，其特点是勾为偶数，弦与股相差为2，例如6，8，10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为12，则其弦是________． 37 【点拨】设弦是x，则股为x－2，则122＋(x－2)2＝x2，解得x＝37. 考试考法 34 10. 勾股定理中a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，……分析上面的勾股数组可以发现，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，……则第5个勾股数组为____________________． (11，60，61) 考试考法 35 返回 【点拨】由勾股数组(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，……中4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，……可得第4个勾股数组中间的数为4×(9＋1)＝40，即第4个勾股数组为(9，40，41)；第5个勾股数组中间的数为5×(11＋1)＝60，即第5个勾股数组为(11，60，61)． 考试考法 返回 11．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．求证：∠1＝∠A＋∠B. 【证明】假设∠1≠∠A＋∠B，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＝180°－∠2. ∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝180°－∠2. ∴∠1＝∠A＋∠B，与假设相矛盾．∴假设不成立． ∴∠1＝∠A＋∠B. 考试考法 37 12．如图，四边形ABCD是一块长方形土地，AB＝20 cm，AD＝10 cm，中间竖有一堵高2 cm的长方体砖墙(MN＝2 cm)，一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬________cm. 26 返回 考试考法 38 返回 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝________． 5 考试考法 39 14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连结CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连结CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为________． 60 考试考法 40 返回 考试考法 返回 15. 在△ABC中，AB＝15，BC＝20，BD为AC边上的高，且BD＝12，则AC＝__________． 7或25 考试考法 42 16. 如图，C为直线l上的一个动点，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，点E在点D的右侧，并且点A，B在直线l的同侧，AD＝DE＝8，BE＝2，连结AC，BC，AB，当CD的长为多少时，△ABC为直角三角形？ 【解】第一种情况：如图①，当 ∠BAC＝90°时，过点B作BF⊥AD于点F. ∵BE⊥l，AD⊥l，∴四边形DEBF为长方形．∴BF＝DE＝8，DF＝BE＝2.∴AF＝AD－DF＝6.由勾股定理，得AB2＝AF2＋BF2＝100，AC2＝AD2＋CD2＝64＋CD2，BC2＝(CD＋8)2＋22＝CD2＋16CD＋68，AB2＋AC2＝BC2，∴100＋64＋CD2＝CD2＋16CD＋68，解得CD＝6； 考试考法 43 考试考法 返回 考试考法 【解】如图，过点D作DE⊥AB于点E， 则易知AE＝CD＝0.3米，DE＝AC＝2.4米，∴BE＝AB－AE＝1米， ∴BD＝＝＝2.6(米)，即此时牵狗绳BD的长为2.6米． 【解】小狗能将小球捡回来．理由：如图， 过点M作MN⊥AM，交ED的延长线于点N，连结BN， 易知NE＝AM＝3米．∵BE＝1米， ∴BN＝＝＝(米)． ∵米＜4米，∴小狗能将小球捡回来． 【点拨】过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC＝24 cm，CB＝18 cm，AB＝30 cm，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.∵△ABC的面积＝AC·BC＝AB·CD，∴24×18＝30CD，解得CD＝cm，即点C到AB的距离为cm. ∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB， ∴AC·BC＝CD·AB，即200×150＝250×CD， ∴CD＝＝120(m)． ∵环卫车周围130 m以内(不包括130 m)为受噪声影响区域，120 m＜130 m，∴学校C会受噪声影响． 如图，当EC＝130 m，FC＝130 m时，易知Rt△EDC≌Rt△FDC，∴ED＝FD，∵ED＝＝＝50(m)，∴EF＝ED＋FD＝2ED＝100 m. ∵环卫车噪声影响该学校持续的时间为2 min， ∴环卫车的行驶速度为100÷2＝50(m/min)． 【点拨】如图，将题图展开，A′B′＝20 cm＋2MN＝24 cm， 连结A′C′，则A′C′即为蚂蚁爬行的最短路径．易知四边形A′B′C′D′为长方形．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝24 cm，B′C′＝10 cm， ∴A′C′＝＝＝26(cm)．∴它至少要爬26 cm. 【点拨】过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC.又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE.在Rt△BCD和Rt△BED中，∴Rt△BCD≌Rt△BED.∴BC＝BE＝6.在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，∴AE＝AB－BE＝10－6＝4.设CD＝DE＝x，则AD＝AC－CD＝8－x，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴AD＝8－x＝5. 【点拨】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BF∥AC，∴∠ACB＝∠CBF.∴∠ABC＝∠CBF.∴BC平分∠ABF.过点C分别作CM⊥AB于点M，CN⊥BF于点N，则CM＝CN.∵S△ACE＝AE·CM，S△CBF＝BF·CN，且BF＝AE，∴S△CBF＝S△ACE.∴四边形EBFC的面积为S△CBF＋S△CBE＝S△ACE＋S△CBE＝S△CBA.∵AC＝13，∴AB＝13.设AM＝x，则BM＝13－x，由勾股定理，得CM2＝AC2－AM2＝BC2－BM2，∴132－x2＝102－(13－x)2，解得x＝，∴CM＝＝.∴S△CBA＝AB·CM＝60.∴四边形EBFC的面积为60. 【点拨】根据题意，得BD⊥AC，AB＝15，BC＝20，BD＝12，∴AD＝＝＝9，CD＝＝＝16.当∠BAC为钝角时，如图①，AC＝CD－AD＝16－9＝7；当∠BAC为锐角时，如图②，此时AC＝CD＋AD＝16＋9＝25. 综上，AC＝7或25. 第二种情况：如图②，当∠ABC＝90°时，过点B作BH⊥AD于点H，易得AH＝6，BH＝8， 由勾股定理，得AB2＝AH2＋BH2＝100，AC2＝AD2＋CD2＝64＋CD2，BC2＝(8－CD)2＋22＝CD2－16CD＋68，AC2＝AB2＋BC2，∴64＋CD2＝100＋CD2－16CD＋68，解得CD＝；第三种情况：当∠ACB＝90°时，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2， 由第二种情况，易得100＝64＋CD2＋CD2－16CD＋68，即(CD－4)2＝0，∴CD＝4. 综上，当CD的长为6或4或时，△ABC为直角三角形． $