13.2 勾股定理的应用 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，核心训练将实际问题转化为直角三角形模型的方法，涵盖路程、高度、最短路径等经典题型。通过情境导入观察物体运动过程，搭建从实际问题到几何模型的学习支架，衔接勾股定理基础与应用拓展。 其特色在于题型由浅入深，贴合考试常考模型，如梯子滑动、立体最短路径等，强化数形结合思维。通过实例培养学生用数学眼光发现数量关系、用数学思维推理解决问题的能力，帮助学生规避高频易错点，教师可借助系统题型和解析提升教学效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 13.2 勾股定理的应用 第13章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册13.2知识点，核心训练勾股定理在实际生活、几何图形中的应用。重点掌握将实际问题转化为直角三角形模型的方法，熟练解决路程、高度、折叠、最短路径、距离测算等经典题型。规避“不会构造直角三角形、斜边直角边混淆、单位遗漏、折叠边长转化错误”等高频易错点，题型由浅入深，贴合考试常考题型，强化数形结合解题思维。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 运用勾股定理解实际问题的核心是把实际问题转化为________三角形问题。 2. 测量竖直高度、水平距离、坡面长度时，________为斜边。 3. 一架梯子斜靠在墙上，梯子长度对应直角三角形的________。 4. 长方形对角线长10，长为8，则长方形的宽为________。 5. 池塘两端测距问题，通常构造________三角形利用勾股定理求解。 6. 直角三角形两直角边为9、12，则斜边上的长度为________。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 梯子靠墙问题中，梯子下滑时不变的量是（） A. 墙高 B. 梯子底端距离 C. 梯子长度 D. 地面宽度 2. 长方形长12、宽5，其对角线长度为（） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 3. 下列实际问题不能用勾股定理求解的是（） A. 梯子靠墙高度 B. 两点直线距离 C. 任意三角形面积 D. 坡面斜长 4. 一棵树折断后，树顶落地距树根6m，折断部分长10m，则树折断处高度为（） A. 6m B. 8m C. 10m D. 12m 5. 解决立体图形最短路径的核心是（） A. 直接测量 B. 展开为平面，构造直角三角形 C. 估算长度 D. 平移线段 三、解答题（共50分） 1. 基础应用题（每题6分，共24分） （1）已知梯子长13m，底端距墙5m，求梯子顶端离地高度。 （2）长方形门框高2.4m，宽1.8m，求门框对角线长度。 （3）池塘边两点A、B，取点C使∠C=90°，AC=8m，BC=6m，求AB距离。 （4）一棵树高16m，折断后树顶落地点距离树根8m，求折断部分长度。 2. 经典模型题（12分）：一架长25m的梯子斜靠在墙上，底端离墙7m，若梯子顶端下滑4m，求梯子底端水平滑动的距离。 3. 能力提升题（14分）：长方体盒子长12cm、宽5cm、高6cm，求底面一角到顶面对角的最短爬行路径长度。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. 直角 2. 坡面长度（斜边长） 3. 斜边 4. 6 5. 直角 6. 15 选择题答案：1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 解答题解析：1.（1）解：$$\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12(\text{m})$$，顶端离地12m；（2）$$\sqrt{2.4^2+1.8^2}=3(\text{m})$$，对角线长3m；（3）$$\sqrt{8^2+6^2}=10(\text{m})$$，AB长10m；（4）设折断高x m，$$x^2+8^2=(16-x)^2$$，解得x=6，折断部分长10m。 2. 解：初始墙高$$\sqrt{25^2-7^2}=24(\text{m})$$，下滑后墙高$$24-4=20(\text{m})$$，新底端距离$$\sqrt{25^2-20^2}=15(\text{m})$$，滑动距离$$15-7=8(\text{m})$$。 3. 解：立体最短路径需展开平面，最优展开组合：长+宽为直角边、高为另一直角边，路径长$$\sqrt{(12+5)^2+6^2}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}(\text{cm})$$，为最短爬行距离。 核心考点总结：勾股定理应用核心：建模转化，遇斜取斜、遇直取直；必考模型：梯子滑动、树木折断、测距问题、立体最短路径；解题关键：找准不变量、构造标准直角三角形、区分直角边与斜边，是几何联系实际的高频考点。 学习目标 1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点) 2.经历勾股定理的应用过程 3.熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点） 学习目标 情境导入 看一看：观察下图中物体的运动过程，试着计算其运动路程. 把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题. 变式 如果圆柱换成如图的棱长为 10 cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到 0.01 cm) A B 勾股定理的应用 1 A B 10 10 10 B C A 解：最短路程即为长方形的对角线 AB， 答：爬行的最短路程约是 22.36 cm. 例1 如果盒子换成如图长 AB 为 3 cm，宽 BC 为 2 cm，高 BB1 为 1 cm 的长方体，蚂蚁沿着表面由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B C D B1 C1 D1 A1 分析：蚂蚁由 A 爬到 C1 过程中较短的路线有多少种？ (1)经过前面和上底面； (2)经过前面和右面； (3)经过左面和上底面. 典例精析 A B C D B1 C1 D1 A1 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 3 2 1 A B C B1 C1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 解： (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 (2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A B C B1 C1 A1 (3)当蚂蚁经过左面和上面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 5.10＞4.47＞4.24 所以由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程是 4.24 cm. A B C D 2米 2.3 米 例2 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂房上方为半圆形拱门)？说明理由. 典例精析 MN＝ MH＝0.6＋2.3＝2.9 (米)＞2.5 (米). 答：卡车能通过厂门． 解：在Rt△ONM 中，∠MNO = 90°， 由勾股定理，得 A B D C O M ┏ N H 2 米 2.3 米 勾股定理及其逆定理的综合应用 2 例3 如图，在 3×3 的方格图中，每个小方格的边长都为 1 ，请在给定网格中按下列要求画出图形： （1）画出所有从点 A 出发，另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的线段； （2）画出所有以小题（1）中所画线段为腰的等腰三角形. A 分析 利用勾股定理找到以格点为端点满足要求的线段. 解 (1)如图，AB、AC、AE、AD 的长度均为 . (2)如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、 △ACD、△AED 就是所要画的等腰三角形. A E D C B 例4 如图，已知 CD＝6 cm，AD＝8 cm， ∠ADC＝90°，BC＝24 cm，AB＝26 cm，求图中着色部分面积. 解：在 Rt△ADC 中， ∵AC2 = AD2 + CD2 = 82 + 62 = 100 (勾股定理)， ∴AC = 10(cm). ∵AC2 + BC2 = 102 + 242 = 676 = 262 = AB2， ∴△ACB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）. ∴S着色部分 = S△ACB - S△ACD = 96 (cm2). 练 习 1.为了加固电线杆，往往需要给它拉上一条固定于地面的钢缆.如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m长的钢缆.求钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离.（精确到0.1m） 随堂练习 解：根据勾股定理，得AB= (m). 答：钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9m. 随堂练习 2.轮船A以16kn的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12kn的速度向西北方向航行.求A、B两船离开港口O1.5h后的距离. 解：如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°， OA=16×1.5=24(n mile)， OB=12×1.5=18(n mile). 根据勾股定理，得 AB= =30(n mile). 答：A、B两船离开港口O1.5h后的距离为30n mile. 随堂练习 返回 1．如图，一个三棱柱盒子底面的三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，盒子的高为9 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒子的侧面爬行一周到盒顶的点B处，蚂蚁要爬行的最短路程是________cm. 15 考试考法 19 返回 2. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了________米． 9 考试考法 20 返回 3．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船的速度是______海里/时． 40 考试考法 21 返回 4. 如图，在笔直的铁路上有两点A，B，相距20 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝8 km，CB＝14 km，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则AE＝________km. 13.3 考试考法 22 5. 机械厂车间里的师傅利用剩余钢板边角料加工机器零件．如图，△ABC是一块直角三角形钢板边角料，∠C＝90°，AB边长为10分米，BC边长为6分米． (1)求该钢板的面积为多少平方分米． 考试考法 23 (2)现要利用这块边角料截取一个以AB为底边，且面积最大的等腰三角形ABD. ①请用尺规作图法确定点D的位置(不写作法，不用证明，保留作图痕迹)； 【解】①如图，点D即为所求． 考试考法 24 返回 (2)现要利用这块边角料截取一个以AB为底边，且面积最大的等腰三角形ABD. ②求出AD的长． 【解】如图，由作图可知DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB. 在Rt△CDB中，根据勾股定理，得CD2＋BC2＝BD2，∴(8－AD)2＋62＝AD2，解得AD＝6.25分米． 考试考法 25 返回 6. 我国古代有这样一道数学题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？大意：如图，把枯木看作一个圆柱，圆柱的高为20尺(一丈是十尺)，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． 25 【点拨】如图，将圆柱的侧面展开，则AF＝3尺，DF＝20÷5＝4(尺)， ∴AD2＝AF2＋DF2＝32＋42＝52， ∴AD＝5尺，∴葛藤的最短长度是5×5＝25(尺)． 考试考法 26 返回 7. 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm.在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为________cm. 100 考试考法 27 8. 跷跷板是一种常见的儿童玩具．跷跷板一端着地时如图①，支柱OM⊥地面MN，OA＝OB，PC为握把，且PC⊥AB于点C，AC＝40 cm，OM＝70 cm.跷跷板可以绕点O转动，如图②是跷跷板水平时，即EF∥MN，此时点A，C，D，B的对应点分别为点E，G，H，F，恰有AE＝AG，则跷跷板AB的长为________cm. 265 考试考法 28 返回 考试考法 勾股定理的应用 最短路程问题 勾股定理与其逆定理的应用 课堂小结 【点拨】该三棱柱的侧面展开图如图所示，连结AB.∵AA′＝3＋4＋5＝12(cm)，A′B＝9 cm，∠AA′B＝90°，∴AB＝＝＝15(cm)． 【点拨】∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15(米)．∵CD＝10米，∴AD＝＝＝6(米)， ∴BD＝AB－AD＝15－6＝9(米)，∴船向岸边移动了9米． 【点拨】如图，∵甲船的速度是30海里/时，航行了2小时，∴AC＝60海里．∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°，∴∠CAB＝90°.∵BC＝100海里，∴AB＝＝＝80(海里)，∴乙船的速度是 80÷2＝40(海里/时)． 【解】∵∠C＝90°，AB＝10分米，BC＝6分米，∴AC＝＝＝8(分米)．∴S△ABC＝×AC·BC＝×8×6＝24(平方分米)． ∴该钢板的面积为24平方分米． 【点拨】由题意得，EG＝AC＝40 cm，OE＝OA，过点A作AK⊥EG于点K.∵AE＝AG，∴KE＝KG＝EG＝20 cm.∵EF∥MN，∴易知AK＝OM＝70 cm.在Rt△AKO中，AK2＋KO2＝AO2，∴702＋(AO－20)2＝AO2，∴AO＝cm.又∵OA＝OB，∴AB＝2OA＝265 cm. $