13.1.2 直角三角形的判定 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，核心讲解利用三边平方关系判定直角三角形的方法。课堂导入通过古埃及人画直角实例和复习用角的关系判定直角三角形，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于题型梯度由浅入深，结合“数学思维”的推理训练（如证明\(n^2 - 1\)、\(2n\)、\(n^2 + 1\)构成直角三角形）和“数学语言”的符号表达，通过零件判定等实际案例培养应用意识，助力学生巩固知识提升能力，也为教师提供系统教学资源。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 13.1.2 直角三角形的判定 第13章 勾股定理 13.1.2 直角三角形的判定 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册13.1.2知识点，紧扣勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定方法。核心考点为利用三边平方关系判断三角形是否为直角三角形，学会识别最长边、验证平方关系，区分勾股定理与逆定理的互逆用法，规避“找错最长边、公式套用颠倒、勾股数判断失误”等高频易错点。题型梯度由浅入深，覆盖概念填空、选择辨析、三边判定、综合应用，巩固直角三角形判定体系。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 如果三角形的三边长$$a、b、c$$满足________，那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股定理的逆定理是判定________三角形的重要依据。 3. 利用三边判定直角三角形时，应先找出三边中的________。 4. 若三角形三边长为6、8、10，则该三角形________直角三角形。（填“是”或“不是”） 5. 满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，称为________。 6. 三角形三边长为5、12、13，最长边对应的角为________°。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 3、4、5 D. 4、5、6 2. 三角形三边长为9、12、15，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 3. 判定直角三角形的核心依据是（） A. 三边相等 B. 两边平方和等于第三边平方 C. 三角相等 D. 两边之和大于第三边 4. 下列各组线段，不能构成直角三角形的是（） A. 5、12、13 B. 7、24、25 C. 6、7、8 D. 8、15、17 5. 关于勾股定理与逆定理说法正确的是（） A. 两者无关联 B. 互为互逆定理 C. 完全相同 D. 都不能判定直角三角形 三、解答题（共50分） 1. 基础判定题（每题6分，共24分）：判断下列三边能否构成直角三角形。 （1）4、6、8 （2）9、12、15 （3）8、15、17 （4）10、24、26 2. 基础应用题（12分）：已知三角形三边长为1.5、2、2.5，判断该三角形是否为直角三角形。 3. 能力提升题（14分）：已知三角形三边长为$$n^2-1、2n、n^2+1$$（$$n>1$$），求证该三角形为直角三角形。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. $$a^2+b^2=c^2$$ 2. 直角 3. 最长边 4. 是 5. 勾股数 6. 90 选择题答案：1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 解答题解析：1.（1）$$4^2+6^2 eq8^2$$，不是直角三角形；（2）$$9^2+12^2=15^2$$，是直角三角形；（3）$$8^2+15^2=17^2$$，是直角三角形；（4）$$10^2+24^2=26^2$$，是直角三角形。 2. 解：最长边为2.5，$$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$$，$$2.5^2=6.25$$，满足$$a^2+b^2=c^2$$，该三角形是直角三角形。 3. 证明：最长边为$$n^2+1$$。$$(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$$，$$(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$$，可得$$(n^2-1)^2+(2n)^2=(n^2+1)^2$$，故此三角形为直角三角形。 核心考点总结：判定口诀：短边平方和=最长边平方，即为直角三角形；勾股定理（已知直角→得三边关系），逆定理（已知三边→判直角三角形）；正整数勾股数可倍数放大，依然能构成直角三角形；解题务必先找最长边，避免平方关系验算颠倒。 学习目标 1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点） 3. 学习目标 复习回顾 思考：如何判定一个三角形是直角三角形？ 如果∠A+∠B=90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角. 两个角互余的三角形是直角三角形. 除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？ 据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1) a = 3，b = 4，c = 5； (2) a = 4，b = 6，c = 8； (3) a = 6，b = 8，c = 10. 可以发现，按 (1)、(3) 所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按 (2) 所画的三角形不是直角三角形. 直角三角形的判定 1 5 这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？ 在这三组数据中，(1)、(3) 两组数据恰好都满足 a2 + b2 = c2. 对于任意一个三角形，若三边长满足 a2 + b2 = c2，则该三角形是直角三角形吗？ △ABC≌△ A′B′C′ 　　 ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′ 证一证 已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC 是直角三角形． A B C B′ C′ A′ 证明：如图，作△A'B′C′，使∠C′ = 90°，A′C′ = b，B′C′ = a， 则 A′B′ ² = a² + b² = c²，即 A′B′ = c. 在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∵ BC = a = B′C′， AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′ . ∴∠C = ∠C′ = 90°. 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角. A C B a b c 勾股定理的逆定理 这是判定直角三角形的一个依据. 形 数 知识要点 思维轴 1 找 2 算 3 判 最长边 算出两短边的平方和与最长边的平方 判断等量关系 最长边为斜边，其所对应的角为直角 利用边的关系判断直角三角形 归纳总结 例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a = 15，b = 8，c = 17； 解：(1) ∵ 152 + 82 = 289，172 = 289， ∴ 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角. (2) a = 13 ，b = 14，c = 15. (2) ∵ 132 + 142 = 365，152 = 225， ∴ 132 + 142 ≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴ 这个三角形不是直角三角形. 典例精析 例2 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，你说这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 典例精析 12 在△BCD 中， 所以△BCD 是直角三角形， ∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD 中， 所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角. D A B C 4 3 5 13 12 例3 已知△ABC，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n²+1 (n 为大于 1 的正整数). 试问△ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵ AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)² = n4 - 2n² + 1 + 4n² = n4 + 2n² + 1 = (n² + 1)² = AC²， ∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角. 先确定 AB、BC、AC、 的大小 典例精析 概念：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数 常见勾股数： ① 3，4，5 ；② 6， 8， 10； ③ 5，12，13； ④ 8，15，17； ⑤ 7，24，25. 2 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5 6，8，10 扩大 2 倍 练 习 1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角. (1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5. 解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角. (2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角. 随堂练习 2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足 ，则这个三角形是直角三角形吗？ 解：∵ ，∴a2=c2−b2.∴a2+b2=c2. ∴这个三角形是以a、b为直角边，c为斜边的直角三角形. 随堂练习 3.想一想，你现在有多少种方法可以判定一个三角形是直角三角形. 解：有3种方法，分别是： （1）直角三角形的定义； （2）勾股定理的逆定理； （3）一个三角形中有两个角的和为90°. 随堂练习 拓展提升 如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，求△ABC的面积. 解：如图，延长AD到点E，使 DE=AD，连结BE. ∵D为BC的中点，∴ CD=BD. 在△ADC和△EDB中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD， ∴△ADC≌△EDB(SAS)， ∴ S△ADC=S△EDB，BE=AC=5. 又∵AE=2AD=4，AB=3，∴AB2+AE2=32+42=25=BE2， ∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90°，即AB⊥AE. 随堂练习 拓展提升 如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，求△ABC的面积. ∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=S△EDB+S△ADB =S△ABE = AE·AB= ×4×3=6. 随堂练习 返回 1.四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是(　　) A．5，9，12 B．5，9，13 C．5，12，13 D．9，12，13 C 考试考法 21 返回 2. 下列由三条线段a，b，c构成的三角形(其内角分别为∠A，∠B，∠C)：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A∠B∠C＝345；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中能构成直角三角形的是(　　) A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ B 考试考法 22 返回 3. 如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，点A，B，C，D中能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D D 考试考法 23 返回 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为______． 150° 【点拨】连结BD.∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，∠ADB＝60°.∵BC＝10，CD＝8，∴BD2＋CD2＝62＋82＝100＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°＋90°＝150°. 考试考法 24 5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°. (1)判断△ACD的形状，并说明理由； 考试考法 25 5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°. (2)求图中阴影部分的面积． 返回 考试考法 26 返回 C 考试考法 27 m 返回 考试考法 28 返回 8. 已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 考试考法 29 返回 B 考试考法 30 返回 135°或45° 10. 已知在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连结CD，AD，若CD＝2, AD＝6，则∠BCD＝__________． 【点拨】分两种情况讨论，如图①和图②.∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC2＝42＋42＝32.又由题知CD2＝4，AD2＝36，∴AD2＝AC2＋CD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°.故①∠BCD＝90°＋45°＝135°；②∠BCD＝90°－45°＝45°.综上，∠BCD＝135°或45°. 考试考法 31 返回 11. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是△ABC三条角平分线的交点，则△BCO的边BC上的高是________． 1 考试考法 32 返回 12. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB－∠DCE＝________°. 45 考试考法 33 直角三角形的判定 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形 勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 课堂小结 【解】△ACD是直角三角形． 理由：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米， ∴AC＝＝＝5(米)． 又∵CD＝3米，AD＝4米，∴AD2＋CD2＝25＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°. 【解】阴影部分的面积＝AC×BC－AD×CD＝×5×12－×4×3＝24(平方米)． 6．下列各组数中，是勾股数的是(　　) A.，， B．5，6，7 C．8，15，17 D．0.6，0.8，1 7.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2－，c＝m2＋，m是大于1的奇数，则b＝________(用含m的式子表示)． 【点拨】∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a＝m2－，c＝m2＋，∴b2＝c2－a2＝－＝m4＋＋m2－(m4＋－m2)＝m2.又∵m是大于1的奇数，∴b＝m. 【点拨】∵5p2＋3q为奇数，∴p，q中为一奇一偶，而p，q均为质数，∴p，q中必有一个为2.若q＝2，则p2＝，不合题意，舍去；若p＝2，则q＝13，那么三边长分别为5，12，13.显然有52＋122＝132，∴以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是直角三角形． 9.如图，在△ABC中，AB＝，AC＝12，BC＝6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为(　　) A．4 B. C．5 D．3 【点拨】如图，标出点F，G，连结CG，AG.由勾股定理得 AG2＝CG2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，则AG2＋CG2＝AC2，∴∠CGA＝90°，即△CAG是等腰直角三角形，∴∠CAG＝45°.∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA.在△AFG和△CDE中，∴△AFG≌△CDE(SAS)，∴∠FAG＝∠DCE，∴∠ACB－∠DCE＝∠CAF－∠FAG＝∠CAG＝45°. $