13.1.3 反证法 课件2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦反证法，通过“王戎识李”情境导入，从勾股定理逆定理（a²+b²=c²为直角三角形）过渡到反面问题（a²+b²≠c²是否非直角三角形），以问题链搭建学习支架，帮助学生理解“否定结论→推出矛盾→肯定原结论”的逻辑框架。 其特色在于情境生活化激发兴趣，探究过程通过“猜想-分析-证明”培养推理意识，例题练习涵盖几何（三角形内角、直线相交）与代数（偶数证明）问题，总结反证法步骤及否定词表规范表达。既提升学生逻辑推理与逆向思维，又为教师提供完整教学素材，便于高效教学。

第十三章 勾股定理 13.1.3 反证法 数学华东师大版八年级上册 1.掌握反证法的基本定义、核心步骤，理解“否定结论→推出矛盾→肯定原结论”的逻辑框架； 2.能运用反证法证明与勾股定理相关的简单命题(如直角三角形判定补充)； 3.提升逻辑推理和逆向思维能力，学会从反面分析问题； 4.体会反证法的数学价值，培养严谨的推理习惯和科学素养. 学习目标 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 情境导入 活动：反证法 如图，当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)满足关系a²+b²=c²时，这个三角形一定是直角三角形吗？ A C b c B a 如果此时a²+b²≠c²,那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 探究新知 活动：反证法 做一做：作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ (1)a=1.0，b=2.4，c=2.6；(2)a=2，b=3，c=4；(3) a=2，b=2.5，c=3. 12+2.42=2.62 22+32≠42 22+2.52≠32 探究新知 活动：反证法 我们可以发现，第一组恰好满足a²+b²=c²，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是直角三角形，与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形. 思考：由此，可以得到什么样的猜想呢？ 12+2.42=2.62 22+32≠42 22+2.52≠32 探究新知 活动：反证法 猜想：当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a²+b²≠c²时，这个三角形不是直角三角形. 分析：想从已知条件a²+b²≠c²(a≤b≤c)出发， 直接经过推理得出结论，十分困难. 我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论： (1)假设它是直角三角形； (2)根据勾股定理，一定有a²+b²=c²，与已知条件a²+b²≠c²矛盾； (3)因此假设不成立，即它不是直角三角形. 怎样证明这个猜想是正确的呢？ 探究新知 活动：反证法 反证法：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做“反证法”. 步骤：(1)假设结论的反面是正确的； (2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾； (3)说明假设不成立，进而得出原结论正确. 总结 探究新知 活动：反证法 探究新知 活动：反证法 先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程. 探究新知 活动：反证法 假设：a²+b²=c² 探究新知 教材 例题 应用新知 教材 例题 应用新知 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角． 经典例题 应用新知 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式. 总结 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 不等于 任意的 某个 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n−1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 对所有x成立 存在某个x不成立 对任何x不成立 存在某个x成立 应用新知 教材 练习 1. 求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等. 已知：在△ABC中，AB≠AC. 求证：∠C≠∠B. 证明：假设∠C=∠B， 由“等角对等边”可知AB=AC， 这与已知“AB≠AC”矛盾， 所以假设不成立，即∠C≠∠B. 课堂练习 2. 求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行. 已知：如图，直线AB、CD分别与直线EF交于点G、H，∠1≠∠2. 求证：AB不平行于CD. 证明：假设AB∥CD，由“两直线平行，内错角相等”可知∠1=∠2，这与已知“∠1≠∠2”矛盾.所以假设不成立，即AB不平行于CD. D C A B E F G H 1 2 教材 练习 课堂练习 3.求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数. 已知：整数m的平方是一个偶数. 求证：m为偶数. 证明：假设整数m是奇数，那么m可写成2n+1(n为整数)， 则m²=(2n+1)²=4n²+4n+1=2(2n²+2n)+1， 无论n取何值，2(2n²+2n)+1都是奇数. 这与已知“m的平方是偶数”矛盾. 所以假设不成立，所以m为偶数. 教材 练习 课堂练习 4. 用反证法证明：如果a+b>0，那么a，b中至少有一个大于零． 证明：假设a、b都不大于零，即a≤0，b≤0， 因为两个非正数相加还是非正数，所以a+b≤0. 这与已知条件a+b>0矛盾，所以假设不成立， 所以a、b中至少有一个大于零. 课堂练习 ∠ACD≠∠A+∠B ∠A+∠B ∠ACB ∠ACB ∠A+∠B 课堂练习 课堂练习 步骤 内容 从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的； 2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； 3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确. 反证法 总结归纳 $