13.1 3.反证法 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦反证法，通过《路边苦李》故事导入，结合画三角形计算边长平方和的操作，引导学生从勾股定理逆定理的猜想到证明，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是情境导入贴近生活，培养数学眼光，探究过程层层递进发展推理意识，结构化呈现反证法步骤助力数学语言表达。例题练习结合勾股定理，学生易理解，教师教学更高效。

华师大版八年级数学上册 第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 13.1.3.反证法 中国古代有一个叫《路边苦李》的故事：王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎：“为什么？”王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 假设李子不苦，那么因树在“道”边，李子早就被别人采摘，与“多子”产生矛盾，所以假设不成立，李子为苦李. 导入新课 3 活动一：探究反证法概念及证明步骤 1.画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，发现了什么？ (1)a＝1.0 cm，b＝2.4 cm，c＝2.6 cm； (2)a＝2 cm，b＝3 cm，c＝4 cm；(3)a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm. 第一组恰好满足a2＋b2＝c2，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所作图形一致.而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形. 高效课堂 4 2.猜想：根据上面的操作，能得出什么结论？ 在一个三角形中，两短边的平方和若不等于最长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形. 当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a2＋b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 高效课堂 5 3.能利用勾股定理及其逆定理，证明这个猜想正确吗？ (1)假设它是一个直角三角形； (2)根据勾股定理，一定有a2＋b2＝c2，与已知条件a2＋b2≠c2矛盾； (3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形. 像上面这种证明方法叫做“反证法”.其步骤为：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 说明：用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法. 高效课堂 6 4.“读一读”. 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法. 高效课堂 7 5.思考：“在△ABC中，如果AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C＝90°，那么a2＋b2＝c2”是一个真命题，对于一般的非直角三角形，情况又会如何？即“在△ABC中，如果AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2"是真命题吗？ 是真命题. 假设a2＋b2＝c2，由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形.这与△ABC为非直角三角形矛盾，所以假设不成立，所以a2＋b2≠c2. 高效课堂 8 活动二：拓展与应用 例1 证明：两条直线相交只有一个交点. 文字证明题的步骤：写出已知、求证，再证明. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 分析 想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 高效课堂 9 证明 假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1与l2，这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 高效课堂 10 例2 证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°. 于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 高效课堂 11 练习：已知：如图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交于点P. 求证：l3与l2相交. 证明：假设__________.即__________. 又∵__________∥__________(已知)， ∴过直线l2外一点P有两条直线l1，l3与直线l2平行，这与“__________”相矛盾. ∴假设不成立，即求证的命题成立.∴l3与l2相交. 高效课堂 12 归纳：(1)根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾外，还可以与我们学过的定理、基本事实矛盾. (2)有些命题的结论中含有“至多”“至少”“超过”“不超过”等词，可考虑利用反证法证明. (3)若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列出来，并逐一加以否定之后才能肯定原结论是正确的. (4)在推理论证时，要把假设作为新增加的已知条件加进去. 高效课堂 13 (5)反证法证明的步骤. ①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③存真：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 高效课堂 14 课堂评价 C 15 课堂评价 C 16 课堂评价 答案 已知：△ABC. 求证：△ABC的三个外角中至多有一个直角. 证明：假设△ABC的三个外角中至少有两个直角， 则△ABC的三个内角中至少有两个直角，不妨设∠B＝∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＋∠C＞180°， 这与三角形内角和定理相矛盾， 所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角. 17 通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 学习了本节课你有何感想？ 强调： 1.反证法是一种很重要的证明方法，当原命题不容易直接证明时，往往用反证法证明. 2.用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否定已知条件. 3.确定结论的反面时，可先写出否定形式，然后再根据相关知识写出各种可能的情况. 课堂总结 18 4.以下情形中常用反证法证明： (1)当结论的反面更具体、更明确、更简单，而直接证明又不好入手时，则考虑反证法. (2)当结论不止一种情况，而又要对每种可能情况逐一讨论予以否定时可考虑用反证法. (3)当命题中有“能”“一定”“存在”“不存在”“至多”“至少”等词语时，可考虑用反证法. (4)当命题涉及不等关系的证明时，也可使用反证法. 课堂总结 19 基础性作业：教材练习第1~3题. 提高性作业：教材习题13.1第6题. 作业设计 20 拓展性作业：阅读正文并解答下列问题. 已知在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠ABC. 证明：假设∠ACB≤∠ABC， ①若∠ACB＜∠ABC，则在BC上取点D，连结AD，使∠ADB＝∠B. ∵∠ADB＝∠B，∴AD＝AB. 在AC上取点E，使AE＝AD，则AC＝AE＋CE＝AD＋CE＞AD，即： AC＞AD，∴AC＞AB. 这与已知AC＜AB相矛盾，∴假设不成立； 作业设计 21 ②若∠ACB＝∠ABC， …… 综上，∠ACB＞∠ABC. (1)上述证明过程采用的方法是_____(填“ A”或“ B”)； A.直接证明法 B.反证法 (2)请你补充②中所缺失的部分. 作业设计 22 谢 谢 $