4.3.2 等比数列的前n项和公式 分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练通过A级基础巩固、B级能力提升、C级素养创新三级分层，实现等比数列前n项和公式从单一应用到综合创新的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|等比数列前n项和公式基本应用（求项数、公比、前n项和）|含高考真题（题3），强化运算能力与推理意识| |B级|公式灵活应用（含参数计算、错位相减法求和、实际问题转化）|开放题型（题9分类讨论），提升逻辑推理与模型观念| |C级|数列递推关系与求和综合创新|结合数学思维（错位相减）与表达（模型构建），发展创新意识|

4.3.2　等比数列的前n项和公式 A级 必备知识基础练 1.已知数列{an}是等比数列,a2=1,a5=-,若Sk=-,则k=(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 2.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=5,S5=55,则公比q等于(　　) A.4 B.2 C.-2 D.-2或4 3.(2024新高考Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　) A.120 B.85 C.-85 D.-120 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于(　　) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 5.已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为(　　) A.5 B.7 C.9 D.11 6.(多选题)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元5世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”.其大意为:“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”.已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an,且bn=,对于数列{an},{bn},下列选项中正确的为(　　) A.b10=8b5 B.{bn}是等比数列 C.a1b30=105 D. B级 关键能力提升练 7.已知数列{an}是公比为2的等比数列,其前n项和为Sn,则=　　　　.  8.若等比数列{an}的公比为,且a1+a3+…+a99=60,则{an}的前100项和为　　　　　.  9.求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0). 10.已知各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,S4=5S2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求使得8Sn-15an>0成立的最小正整数n. C级 学科素养创新练 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=3an+m. (1)求实数m的值和数列{an}的通项公式; (2)若bn=an·log3an+1,求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案 1.B　2.C　3.C　4.A　5.A 6.BD　设该女子织布每天增加d尺,a1=5, 由题意可得30a1+=390,解得d=, ∴an=5+(n-1)×, ∵bn=,∴=2d, 则数列{bn}是等比数列,故B正确;=25d≠8,故A错误;a1b30=5×=5×221≠105,故C错误;,故D正确. 7.7　8.80 9.解当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=;当x≠1时,Sn=x+2x2+3x3+…+nxn, ① xSn=x2+2x3+3x4+…+(n-1)xn+nxn+1, ② ∴①-②得(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1=-nxn+1, ∴Sn=. 综上可得,Sn= 10.解 (1)设等比数列{an}的公比为q,则q>0, 因为S4=5S2,所以q≠1, 所以=5×, 解得q2=4(q2=1舍去),又q>0,所以q=2,所以an=2·2n-2=2n-1. (2)由(1)可得Sn==2n-1,所以8Sn-15an=8(2n-1)-15·2n-1=2n-1-8,由2n-1-8=0得n=4,所以当1≤n≤3时,2n-1-8<0,此时8Sn<15an,当n=4时,2n-1-8=0,此时8Sn=15an,当n≥5时,2n-1-8>0,此时8Sn>15an.所以最小正整数n=5. 11.解 (1)当n=1时,2S1=3a1+m,又S1=a1,则2a1=3a1+m,所以m=-a1=-1; 当n≥2时,2an=2Sn-2Sn-1=3an-1-(3an-1-1),整理得an=3an-1, 因此数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列, 所以数列{an}的通项公式为an=3n-1. (2)由(1)知,bn=an·log3an+1=3n-1·log33n=n·3n-1, 则Tn=1×30+2×31+3×32+…+(n-1)·3n-2+n·3n-1, 于是3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n-1)·3n-1+n·3n, 两式相减得-2Tn=30+31+32+…+3n-2+3n-1-n·3n=-n·3n=-, 所以Tn=. 学科网（北京）股份有限公司 $