课时分层评价9 等比数列的前n项和公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价9　等比数列的前n项和公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和Sn为(　　) A. 　B.an C.(n－1)a 　 D.na 答案：D 解析：既是等差数列又是等比数列的数列为常数列.故选D. 2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：当x＝1时，Sn＝n；当x≠1，且x≠0时，Sn＝.故选C. 3.在等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于(　　) A.2 B. C.4 D. 答案：C 解析：因为a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，所以a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，所以q＝＝4.故选C. 4.1＋3＋32＋33＋…＋3n＋1(n∈N*)可以化简为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：1＋3＋32＋33＋…＋3n＋1＝＝.故选C. 5.(多选)已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则下列结论正确的是(　　) A.－Sn＝2n＋1 B.an＝2n－1 C.Sn＝2n－1 D.Sn＝2n－1－1 答案：BC 解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a2a3a4＝64，得＝43，则a3＝4，由a2＋a4＝10，得＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2，或q＝.又因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，所以2a1＋8a1＝10，解得a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以－Sn＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.故选BC. 6.(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值确定的是(　　) A. B. C. D. 答案：ABC 解析：由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q3＝－8，所以q＝－2.对于A，＝q2＝4；对于B，＝＝＝；对于C，＝＝＝；对于D，＝与n有关，不确定.故选ABC. 7.(双空题)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝　　　　，a1＝　　　　. 答案：5　3 解析：由Sn＝93，an＝48，公比q＝2， 得 8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ3n－1，则a4＝　　　　. 答案：54 解析：法一(常规解)：当n＝1时，S1＝a1＝3λ－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λ(3n－3n－1)＝2λ·3n－1.又{an}是等比数列，所以a1＝2λ＝3λ－1，解得λ＝1，所以an＝2·3n－1，所以a4＝2·33＝54. 法二(速解)：由等比数列{an}的前n项和公式的特点及题意知，λ＝1，所以Sn＝3n－1 ，所以a4＝S4－S3＝(34－1)－(33－1)＝54. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝－1，则Sn＝　　　　. 答案： 解析：当n＝1时，则有2S1＝a2－1，所以a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当n≥2时，由2Sn＝－1得2＝an－1，上述两式相减得2an＝－an，所以＝3an，得＝3且＝3，所以数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以Sn＝＝. 10.(13分)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意得an＝.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2，或q＝2.故an＝(－2)n－1，或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63，得＝63，即(－2)m＝－188， 此方程没有正整数解. 若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1. 由Sm＝63，得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　) A.－2 B.2 C.－3 D.3 答案：B 解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8. 因为＝＝qm＝8＝， 所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2.故选B. 12.(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn.已知＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　) A.数列{an}为等比数列 B.数列{Sn＋n}为等比数列 C.数列{an}中，a10＝511 D.数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4 答案：BCD 解析：因为＝2Sn＋n－1，所以＝＝2.又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.当n≥2时，an＝Sn－＝2n－1－1，且a1≠21－1－1，故A错误；由当n≥2时，an＝2n－1－1可得a10＝29－1＝511，故C正确；因为2Sn＝Sn＋1－n＋1＝2n＋1－(n＋1)－n＋1＝2n＋1－2n，所以2S1＋2S2＋…＋2Sn＝22－2×1＋23－2×2＋…＋2n＋1－2n＝22＋23＋…＋2n＋1－2(1＋2＋…＋n)＝－2×＝2n＋2－n2－n－4，所以数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4，故D正确.故选BCD. 13.已知数列{an}的通项公式an＝n·2n，则此数列的前n项和为Sn＝　　　　　　　　. 答案：(n－1)2n＋1＋2 解析：设前n项和为Sn，则Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，则2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，两式相减，得－Sn＝1×21＋(22＋23＋24＋…＋2n)－n·2n＋1，于是－Sn＝(21＋22＋23＋24＋…＋2n)－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， 所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 14.(15分)已知数列的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的值. 解：(1)证明：由an＋Sn＝1①得an＋1＋Sn＋1＝1②， ②－①得：2an＋1＝an，即＝，当n＝1时，2a1＝1，解得a1＝， 所以为首项，为公比的等比数列. (2)由(1)知a10＝a1·＝， S10＝＝1－， 所以＝＝210－1＝1 023. 15.(5分)(新情境)(多选)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则下列说法正确的是(　　) A.△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 B.△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 C.n个内切圆的面积和为π D.n个内切圆的面积和为3π 答案：BC 解析：S△ABC＝×32＝，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍，所以第三个正三角形的面积为×＝.故A错误，B正确.又根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π，故C正确，D错误.故选BC. 16.(17分)(开放题)在①a1＝1，②a2＋a4＝10，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题. 问题：已知等比数列的前n项和为Sn，　　　　　　　. (1)求数列的通项公式； (2)若的前n项和为Tn，且Tm＝26，求m的值. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 解：(1)：选条件①②： 设数列的公比为q，则a2＋a4＝q＋q3＝q＝10，所以q＝2， 所以an＝a1×qn－1＝2n－1. 选条件①③： 设数列的公比为q，因为a1＝1，数列为等比数列， 所以＝·， 得＝2a1·， 化简可得(2＋q)2＝2，得q＝2. 所以an＝a1×qn－1＝2n－1. 选条件②③： 设数列的公比为q，因为数列为等比数列， 所以＝·， 得＝2a1·， 化简可得(2＋q)2＝2， 因为≠0，所以q＝2. 因为a2＋a4＝a1q＋a1q3＝2a1＋8a1＝10， 所以a1＝1，所以an＝a1×qn－1＝2n－1. (2)根据等比数列求和公式可得Sn＝＝＝2n－1，可得Tn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝－n＝2n＋1－2－n. 所以Tm＝2m＋1－2－m＝26，得m＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $