课时分层检测(10)等比数列的前n项和的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（十） 等比数列的前n项和的应用 :6.如图所示，正方形上连 …0基础达标练0 接着等腰直角三角形， 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项： 等腰直角三角形腰上 之和为1011，偶数项之和为2022，则这个数 再连接正方形，…，如 列的公比为 ( ) 此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股 A.8 B.-2 C.4 D.2 树”.若某勾股树含有1023个正方形，且其 2.数列{an}的通项公式an= 2”-1 2n 则数列 最大的正方形的边长为号，则其最小正方形 {an}的前5项和S5等于 ( 的边长为 A别 R答 c D.211 7.正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S3o 32 13S10,S10十S30=140,则S20等于 3.已知数列{am}的前n项和Sn=a”-1(a是不 为零且a≠1的常数)，则数列{an ( 8.若数列a的前n项和S,=号0，十了则 A.一定是等差数列 {an}的通项公式是an= B.一定是等比数列 9.己知等比数列{am}的前n项和为Sn,且满足 C.可能是等差数列，可能是等比数列 S3=7,S6=63. D.既非等差数列，也非等比数列 (1)求数列{an}的通项公式； 4.我国数学巨著《九章算术》中，有如下问题： (2)若bn=am十log2an,求数列{bn}的前n项 今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织 和Tn 几何？其大意为：有一位善于织布的女子， 每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天 共织布5尺，问这位女子每天分别织布多 少？根据上述问题的已知条件，若该女子共 织布尺，则这位女子织布的天数是( A.2 B.3 C.4 D.1 5.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟！ 杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现 在有1个这种细菌和200个这种病毒，则细 菌将病毒全部杀死至少需要 A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟 91 班级 姓名 得分 10.某工厂2022年初有资金1000万元，资金：4.某地投人资金进行生态环境建设，并以此发 年平均增长率可达到20%，但每年年底要； 展旅游产业.根据规划，本年度投入800万 扣除x(x<200)万元用于奖励优秀职工，剩： 元，以后每年投入将比上年减少号，本年度当 余资金投人再生产 地旅游业收入估计为400万元，由于该项建 (1)以第2022年为第一年，设第n年初有资 设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业 金an万元，用an和x表示am十1，并证明数 列{am一5x}为等比数列； 收入每年会比上年增加4： (2)为实现2032年初资金翻两番的目标，求； (1)设n年内（本年度为第1年）的总投人为 x的最大值（精确到万元）.（参考数据：1.29： am万元，旅游业总收入为bn万元，写出am与 ≈5.160,1.210≈6.192,1.211≈7.430) bm的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超 过总投入？ 能力提升练。…5.如图，正方形ABCD的边 1.(多选)已知等比数列{am}的公比为q,前n 长为5cm,取正方形AB CD各边的中点E,F,G, 项和为Sn,且满足a6=8a3,则下列说法正确 H,作第2个正方形EF 的是 ) GH,然后再取正方形EF A.{an}为单调递增数列 GH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形 9 IJKL,依此方法一直继续下去. (1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方 C.S3,S6,Sg成等比数列 形的面积之和； D.Sn=2an-a (2)如果这个作图过程可以一直继续下去， 2.若数列{an}满足a%+1=m(n∈N*,m为常 那么所有这些正方形的面积之和将趋近于 数)，则称数列{an}为等幂数列，已知数列 多少？ {an}为等幂数列，且a1=2,a2=4,Sm为数列 {an}的前n项和，则S2o21= ( A.6060 B.6062 C.6064 D.6066 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且am十1 十入=3Sn,a3=12,则实数入的值为 92合（分）a,=2(片)+…a-1=-(分)”- 2Sn=1×2+2X22+3×23+…+(n-1)·2"-1十n·2”,② ①-②，得-5，=1×1+1×2十1×22+…+1×2n-1-n·2”= 专白】等传)】÷ 1-20.2-m·2=2”-1-1·2°=(1-020-1， 1-2 1一 所以Sn=(n-1)·2”+1. 5.解选(1)：设等差数列{an}的公差为d,等比数列(bn}的公比为g. 课时分层检测（十） 由货6释-解得 !基础达标练 19a5=45, 1a5=5, D[5g可知g2.] 所以公差d专号=1， 所以an=ag十(n-3)X1=m. 2.C[因为a,-22-1-,所以数到a,的前5项和55 2” 所以b1=2,b2=4, 所以公比9-会=2，所以么==2兴 [-(合)）] .1 所以an·bn=n·2”. 1 5-1+京 选(2)： 3.B[当n≥2时，an=Sn-S-1=(a-1)·a”-1;当n=1时，a1= 当n=1时，a1=S1=1: 当≥2时a,=5.51=受+号0少”号- S1=a-1,a,=(a-1)·a-1,n∈N“.a中=a,故数列{an}- 2 2 定是等比致列.] a1=1满足上式，所以a,=, 所以b1=2,b2=4. 14.B[依题意，每天的织布数构成一个公比q=2的等比数列{a,},其 前n项和为S, 设等比数列{bn}的公比为q, 2=2,所以b,=b1g1=2" 则9一6 则S6=5,Sm=31 35 所以an·bn=n·2”. :s,-92-5,解得a员 选(3)：设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为g. 1-2 由2兰气≥2得号-2。 1-29) 1 ∴.Sm= ?-解得m3故选B了 又a1=1,所以a2=2a1-2, 5.C[根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细 所以公差d=a2一a1=1,所以an=. 所以6=2,6=4，所以公比。=号=2， 商将病奉企事杀死，则1十2+22+2十…十201≥200号> 所以bn=b1g”-1=2. 200,.2"≥201，结合n∈N,解得n≥8，即至少需要8秒钟细菌将病 毒全部杀死，故选C.] 所以an·bn=n·2”, 综上，无论选(1)，(2)，(3)，都有： 1 Tn=a1b1十a2b2十…+a,bn=1×2+2×22+3×23+…+nX2",① 16.32 [由题意，正方形的边长将成以号为首项，号为公比的等比教 2 2Tn=1×22+2×21+…+(n-1)X2"+n×2"+1,② 列，知共得到1023个正方形，则有1十2十…十2m-1=1023,.n= ①-②，得-Tn=2+2十23十…十2”-n×2n+1 _2-2"×2-n×2+1 10最小正方形的边长为号×（停）=立] 一2 :7.40[由S30=13S10,知9≠1， =(1一n)×2m+1-2. 由S0=13S0, 整理得T。=(n-1)×2m+1+2. 1S1o+S30=140, 创新拓展练 得S0=10, 1.D[已知函数f(x)=log3x的定义域为(0，十∞). 1S30=130, 若选0.别f(a,)=10ga,=2,a,=3,0=32中 由等比数列的前n项和的性质得S10,S20一S10,S30一S0成等比 数列， an 32” 则(S20-SL0)2=S16(S30-S20), 32+1-2” =32不是常数，则{an}不是等比数列：若选②，则f（an)= 即(S20-10)2=10(130-S20), l0g3a,=,an=3”,.aL_3 解得S0=40或S20=-30(舍去).] 3 -=3m+)m=3是常数，则{a,}是 (-2)1[当≥2时，因为S号4，十合①.所以51号4,1十 2 以=8为有项，以5为公比的等比北列，时S子8 寸②.①@得a,=号a号a,即a,=-2a1又因为5 2 2 2 若选③，则a,)0ga,三六e,=3,8世=空a1了a十子所以a=1,所以数列a,是以1为首 3m不是常数，则(an}不是等比数列.] 比的等比数列.所以an=(一2)”-1.] 2.解(1)证明因为an一3am+1-a,an+1+1, 9.解(1)由题意知S≠2S4,9≠1， 由等比数列的前n项和等距分段的性质知， 所以a+1- a,+3 g=5、S_637=8,故g=2, 7 两边都加上1，得a+1十1 2(an+1) am十3 S,=142=7,代入g可得41=1， 所以1 1 1 1 1一9 .an=2”-1 1 (2)由(1)知b,=2m-1十n-1, a+1十1an十Iz 所以级列{}是以宁为公差的等发数列，且首项是十市宁 ,=1+2+…+x+[1+2++-1]=2+-1. !10.解(1)依题意，an+1=an·(1十0.2)一x, 2一1 所以。+=公，所以an 整理得a1-5x=号(a,-5z). 2调为么三引=：2 2=号，又a1-5x=1000-52 an-5x 所以数列{b}的前n项和 Sn=1X1+2×21+3×22+…+n·2”-1,① “数列(0，-5x是以1000-5x为首项，号为公北的等比数列. 170 2)由)知a。-5x=100-5x)·(号) 所以，前10个正方衫的面积之和为5m。 a,=(100-5)…( (2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1十a2十 +5x ag十…十an十…， .2032年初资金翻两番。 25×[-()] 即a11=(1000 十5x≥4000， 而Sn= 50× 1 [1- 1立 )] 解得x84.4, .x的最大值是84（万元）. 能力提升练 随着n的无限增大， (分)）将趋近于0,5，将趋近于50. 1.BD[由a6=8a3,可得g3a3=8a3,则q=2, 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 当首项a1<0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误； S-2=9,故B正确： S61-2 课时分层检测（十一） ·基础达标练 假设S,S6,S,成等比数列，可得S号=S,×S3, :1.C[由题可知，Sn=1×2+2×22+3×2十…十n×2”,2Sn=1×22 即(1-2)2=(1-23)(1-2”)不成立，显然S,S6,S,不成等比数： 十2×23+3×24+…十n×2m+1,相减得-Sn=2十22+23+…+2” 列，故C错误； 一n·20+1=22m+1 1-2 n·2m+1=-2十(1-n)·2m+L..Sn=(n 由a}是公比为9的等北教列，可得s=2-2巴-1)·21+2. 1-g 2-1 2an-a1 2.B[·对数函数y=logx的图象过定点(1,0)， .S=2an一a1,故D正确.故选BD.] :.函数y=l0g(x-1)十+3的图象过定，点(2,3)，则a2=2,a=3,故 2.B[依题意a“g=2=m,a%+1=16,an+1lnan=lh16,am+1= 11 1hl614,=m,b。aann+To=1-分+7-3+t In an a-品=bg16=2a,=品2=4，所以n为奇数时a.=2 1 0 0=1立7，故选出] n为偶数时an=4,所以S221=1010×(2十4)十2=6062.故选B.] n(n+1) 3.-子[当n≥2时，{35：两式相减得a1山，=3S,8.A[a,1中2 3 2 {an+入=3Sn-1 n+1 Sm-1)=3an,即an+1=4an,并且数列{an}是等比数列，.公比g=4, :ag=12,a4=3a4=子，当n=2时，a十入=35，=3(a1十ag),解 得= s=4[)+(合)+（号）+…+（月 4.解(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800(1-号)万元 ,第m年投入为80(-号)厂万元， =4(-）门 n年内的总投入a,=800+80(1-号)+…+80(1-号)】 4.m+3”。1[设等差数列{an}的公差为d,等比数列{h,}的公比为 q,则由b2=3,b3=9,a1=b1, 400-400×(号)”： 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400· 可得g-会=86=a=1 又a11=b1,即1十13d=27,所以d=2, （1+子)万元…，第n年旅游业救入为400(1+子)”万元， 所以数列a十6}的前”项和为n十0。·2十号 2 n年内的旅游业总收入 6=4o0+400(1+寸)十…+400(+号） 5.解(1)选条件① =1600×(）-160. 3 法一当n=1时，a1=S1=之十m: (2)旅游业的总收入超过总投入， 当22时由5一号+m得81-号+md6,=58. 3” 即bn一an>0, 即1600×[(-1)]-400×[-（号）]>0. 3n3-1 2 2=3-1, 化简得5×（号）+2×()-7>0， 因为数列{an}是等比数列， 所以a4=号十m-1,即m=： 设x=(号），代入上式并整理得5-7江十2>0，解北不等式，得 .数列{a,}的通项公式为an=3"-1,n∈N“」 x<号或>1（含去）， 法二当川=1时a1=S=号十m, (侍）<号又nEN:由此可释≥5， 当n=2时，a2=S2-S1= (受+m）(+m)=3, 32 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入。 当n=3时，a4=S,-S,= 侵+m）(+m）= 5,解设正方形ABCD的面积为a1,后续各正方形的面积依次为a2, a3,…,an,…,则a1=25, 等比数列{a的公比为g-=3 由于第k十1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以： 当n≥2时an=a2q-2=3X3m2=3m-1, a=十满足a,=31 因此口，}是以25为首项，号为公比的等比数列。 设{an}的前n项和为Sn 十m=1,解得m= 则a1=2 2 25×[-(合)"] 所以a=3-l,n∈N. 选条件② (1)S10 1 法一当n≥2时，由5。=2“+1十m可得S。1=之a,十m,两式相 2 -1 -50×[-(合)"] 25575 减得a,=2a+1一2an,即a+1=3a 512 :数列{an}是等比数列，且a1=1. 171