5.1 导数的概念及其意义 分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 三级分层设计（A/B/C级），以导数概念为核心，从基础理解到综合应用递进，适配新授课知识巩固，培养数学抽象、运算及模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|平均速度、瞬时速度、割线斜率等单一概念|选择/多选题，通过运动学情境理解导数物理意义，夯实概念基础| |B级|割线斜率计算、切线斜率求解、导数定义应用|填空题，设置不同Δx值对比，强化从平均到瞬时的推理能力| |C级|平均变化率与切线方程综合应用|解答题，整合导数几何意义与运算，提升数学表达与问题解决能力|

5.1　导数的概念及其意义 A级 必备知识基础练 1.若一质点的运动位移s与时间t的关系可用s(t)=t2+1表示,则该质点在时间段[1,2]中的平均速度是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.一质点做直线运动,若它所经过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=4t2-3,则该质点在t=5 s时的瞬时速度为(　　) A.7 m/s B.10 m/s C.37 m/s D.40 m/s 3.(多选题)一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h(t)=2t2+2t,则下列说法正确的是(　　) A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh=20 m B.在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量Δh=12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间[2,3]内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 4.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　) A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 5.曲线f(x)=在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　) A.45° B.60° C.135° D.120° B级 关键能力提升练 6.过曲线f(x)=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k=　　　　　;当Δx=0.001时,割线的斜率k=　　　　　.  7.曲线f(x)=x2-2x+1在点(4,f(4))处切线的斜率为　　　.  8.设=-2,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的倾斜角α为　　　. 9.已知曲线y=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为　　　　　. C级 学科素养创新练 10.已知函数f(x)=2x+. (1)求函数f(x)在区间[3,4]上的平均变化率; (2)求函数f(x)的图象在点,f处的切线方程. 参考答案 1.B　2.D　3.BCD　4.A　5.C 6.2.1　2.001　若Δx=0.1,则1+Δx=1.1,则f(1.1)=1.12+1=1.21+1=2.21,则k==2.1. 若Δx=0.001,则1+Δx=1.001,则f(1.001)=1.0012+1=2.002 001,则k==2.001. 7.6 8.　因为 = = + =2f'(2)=-2, 所以f'(2)=-1, 则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为-1,即tan α=-1, 又α∈[0,π),所以所求切线的倾斜角α为. 9.(3,30)　令f(x)=2x2+4x,设点P(x0,2+4x0),则f'(x0)= ==4x0+4,令4x0+4=16,得x0=3,所以点P的坐标为(3,30). 10.解 (1)函数f(x)在区间[3,4]上的平均变化率为. (2)设函数f(x)的图象在点,f处的切线斜率为k,则k=f'==-2. 又因为f=3,所以切线方程为y-3=-2x-,即2x+y-4=0. 学科网（北京）股份有限公司 $