课时分层检测(14)导数的概念及其几何意义-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（十四） 导数的概念及其几何意义 :5.(多选)过点(2,0)作曲线f(x)=x3的切线 4…0 基础达标练。… ,则直线1的方程可能为 1.在曲线y=上切线倾斜角为无的点是( A.y=0 B.x=0 C.12.x-y-24=0 D.27x-y-54=0 A.(0,0) B.(2,4) 6.已知二次函数y= c.) D.( f(x)的图象如图所 示，则y=f(x)在 2.如果过函数y=f(x)图象上点A(3,a)的切线 A,B两点处的导数 与直线2x十y+1=0平行，则f(3)=( f'(a)与f(b)的大 A.2 B- C.-2 D. 小关系为f(a) 3.如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表 f(b)(填“<”“=”或“>”) 示弧AB与弦AB所围成的马形面积的27，已知直线十3=b是函数f)=42十2的图 倍，则函数y=f(x)的图象是 象在点(1，m)处的切线，则a+b= m 8.设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导 函数，若f(2)=2,且(0)=-4，则曲线 y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是 2π 2n 02元 0 π2πx :9.服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单 A 3 位：g/mL)是时间t(单位：min)的函数y= f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100 2n 处的导数分别为f(10)=1.5和f(100)= π 一0.6，试解释它们的实际意义. D 4.(多选)下列命题正确的是 A.若f(xo)=0,则函数f(x)在x0处无 切线 B.函数y=f(x)的切线与函数的图象可以 有两个公共点 C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x y=0,则当△0时，f)-f1+A2-1 2△x D.若函数f(x)的导数f(x)=x2一2，且 f(1)=2,则f(x)的图象在x=1处的切 线方程为x十y一3=0 99 班级 姓名 得分 1 ,x>0, :2.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲 10.已知函数y=f(x) 求 线C在点P处的切线倾斜角的范围为 1十x2,x≤0， [0,]则点P的横坐标的取值范围是 f(4)·f(-1)的值. 3.(1)求曲线f(x)=x3+2x-1在点P(1,2) 处的切线方程. (2)求过点Q(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x 一1相切的直线方程， :4.设函数f(x)=x3十ax2-9x一1(a<0),若 …。能力提升练。 曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x 1.(多选)已知函数∫(x)的图象如图所示， 十y=6平行，求a的值， (x)是f(x)的导函数，则下列数值的排序 正确的是 01234 A.f(3)<(2) B.f(3)<f(3)-f(2) C.f(2)<f(3)-f(2) 11111, D.f(3)-f(2)<0 100故n=2时，原不等式也成立 y ②假设当n=k(k≥2，k∈N*)时， 8.3[由题意得k=im △-= 不等式0<a:<十成立 lim 2+△)2-4(z+A)十p-(2x=4z十D=4红-4=0，解得 因为f(x)=x一 2的对称轴为直线x=子 x=1,所以切点为(1,1)，所以2一4十p=1,所以p=3.] 9.解(1)初速度o=1im s(△1)-s(0) 所以当e(0号]时，f()为增函载 A △t =1im3△1-（△）2 △t =1im(3-)=3, 所以由0<a<≤3 △= △/-=0 即物体的初速度为3m/s. 得0<fa:)<f(市) (2)o=lim(2+△)x2) △t 3 1 于是，0a+1-fa,)<币·十n十中年 3(2十△)-(2+△1)2-(3×2-4) △ k十4 .1 2(k+1)'(k+2)k+2 =im二（△-心=im(一y-1)=一1，即比物体在1=2时的醉 △- △1 △→= 所以当n=十1时，原不等式也成立。 时速度为1m/s,方向与初速度方向相反 根据①@，知对任何n∈N,不等式a,<市成立， (30=2）0_6-40=1, 2-0 2 能力提升练 即1=0s到1=2s时的平均速度为1m/s 1.2(2k+1)[令f(n)=(n+1)(n+2)·…·(n+n), 能力提升练 则f(k)=(k十1)·(k十2)···(k十k), f(k十1)=(k十2)(k十3)·…·(k十k)(2k+1)(2k+2). :f6+_(2k+1)2+2=2(2k+1.] .12[由题暗程叶63： lim ,a1+△P+b（a+b=2a=2, △ △x f(k) k十1 2.解1)当m=1时，a=S=S十5-2S=2, 得名 又a=5S=s十5-2=号 2. [因为VR,所以奶 3 同理S=子5，=子 所以m十m1点-0，解得m=三（负值含去）.] 4 (2)猜想S,=n∈N)。 3.CA-imjim (+A立=m 3x(△x)2十3x2△x+(△x)3 △x 下面用数学归纳法证明这个结论 =3x2,因为点P(1,1)为曲线y=3上一点，所以曲线y=x3在点P(1, ①当n=1时，结论成立. ②假设n=k(k∈N“,k≥I)时结论成立， 1)处的切线斜率=3.由条件知分-3.] 即S一十1' 14.解(1)物体在t∈[3,5]上的时间变化量为△1=5-3=2， 物体在t∈[3,5]上的位移变化量为 则当n=k十1时， △s=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, a4+1=S+1-S=S+1+S --2, 物体在1∈[3,5]上的平均速度为会=48=24， △2 】=2-5 .物体在t∈[3,5]上的平均速度为24m/s. (2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度， 5+1一2-52k中1 :A=f0+△)-f0) △ 29+3[(0+△1)-3]2-29-3(0-3)2 k+1 k十1 k十2(k+1)+1 △M =3△-18， 即当n=k十1时结论成立， △s 由①@知S,=对任意的正整教n都成立. 六物体的初速度=mm(3△1-18)=一18(m/s. 课时分层检测（十三） (3)f2+△)-f22 △t 基础达标练 29+3[(2+△t)-3]2-29-3(2-3)2 1.B[△=(2+）-2+10= ÷ △ =3△-6， 2.c[4=(3x3+1)-8×2+1)=15岁-52=15.] 物体在=2时的瞬时速度为 3.C[△s=s(1.2+△1)-s(1.2) im(3△-6)= -6(m/s). =2[1-(1.2+△1)2]-2(1-1.2) 课时分层检测（十四） =-2(△t)2-4.8△1， :基础达标练 %体在1.2s附近的手均建度-合=一20一48 1.D ['y'=lim (x十△x)2-x2 =1im(2.x十△.x)=2x, △1-0 △x △=D 六m-4.8.故选C.] 令2红=m=1得x= 4.Ak1=f2)二f①=4-1=3，k4=3)2=9-4=5,k3= 2-1 3-2 v-(）子所未点的标为（宁宁）门 f④)f3)=16-9=1,k1<k2<k,故选A.] 2.C[因为过点A(3,a)的切线与2x十y十1=0平行，所以过A点的 1一 切线斜率f'(3)=-2. 5.BD[设产量与时间的函数关系为y=f(x),由题图可知f(3)一：3.D[不妨设A固定，B从A点出发绕图周旋转一周，刚开始时x很 f(2)<f(2)一f(1),则前三年该产品产量增长速度想来越慢，故！ 小，即孤AB长度很小，这时给x一个改变量△x,那么弦AB与孤 A错误，B正确：由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且： AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢： f(4)≠0，故C错误，D正确，故选B、D.1 当弦AB接近于圈的直径时，同样给x一个改变量△x,那么孤AB 6.乙[乙跑得快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，： 与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化 即甲的平均速度比乙的平均速度小，] 较快： 7.4.2 [Af=f(rn)-f(A) 从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变 △x XBTA 化较快变为越来越慢. -1.58-（-22=4.2.] 由上可知函数y=f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后 1.1-1 变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确.] 173 4.BD[若f'(x0)=0,则函数f(x)在x。处的切线斜率为0，故选项A:3.解(1)因为当x=1时，f(1)=1十2一1=2， 错误：函数y=f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函： 所以点(1,2)在曲线f(x)=x3十2x-1上， 数f(x)=x3一3x,在x=1处的切线为y=一2，与函数的图象还有 一个公共点（一2，一2），故选项B正确；因为曲线y=f(x)在x=1处 所以切线的斜率为k=f(1)=imf1十△x)-f(1 △ 的切线方程为2x-v=0,所以f(1)=2.又Iim f(1)-f(1+△x) (1+△x)+2(1+△x)-1-(1+2-1) 2△.x lim =0 △.x ,f+△》f但-一分f1)=-1≠1，故选项C错 (Ax)3+3(Ax)2+5Az △x =lim △一=C △x 误：因为函数f(x)的导数f(x)=x2-2,所以f‘(1)=12-2=一1， 又f(1)=2,所以切点坐标为(1,2)，斜率为-1，所以切线方程为y一 =Iim[(△x)2+3△x+5]=5, 2=-(x-1),化简得x十y一3=0，故选项D正确.] 所以在点P(1,2)处的切线方程为y一2=5(x一1)， 5.AD[,f(x)=x3,设切点(x0,x6), 即5.x-y-3=0. 则k=lim fxo+△x)-f(xo) (2)当x=0时，f(0)=一1，所以点(0,1)不在曲线y=f(x)上， 设切点为(，%)，由已知可得 凸 △.x =lim[3z6+3.(△)+(Ax)2]=3z6, k=f(xo）=lim fxo十△x)-fx6) △.x ∴.在x=。处的切线方程为y一x8=3x6(x一x0), (x6十x)3十2(z6十4x)-1-(z8十2z0-1) 把点(2,0)代入并解得x0=0或x0=3. lim 当xo=0时，切线方程为y=0: △x 当x0=3时，切点为(3,27)，斜率k=27, =3x十2. 故切线方程为y一27=27(x一3)， 所以切线方程为y一0=(3.x十2)(x一x0). 整理得27x-y-54=0.] 又因为切线过点(0,1)， 6.>[f(a)与f(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率，由 所以1一y6=(3x6+2)(0-0), 图象可得f(a)>f'(b).] 又因为y%=x8十2x0一1，所以x8=-1, 7.53「由题意知m=a十2,1十m=b, 所以x0=一1，所以y6=一4k=5. 因为f(1)=imf1十△x)-f1) 所以切线方程为5x一y十1=0. 0 △x 14.解 设切点为P(x0yo),则f(x0) 2 =m(a1+a）=a2, (zo十△x)3十a(.x十△r)”-9(.x十△r)-1-(x8+a.x号-90-1) △. 所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a-2, 由a-2=-1,得a-1,m-3,b=4,a十b=5.] =lim[3x6+3x4+(A)+2aw+aA-9]=3x6+2a-9. 8.y=-4x十2[因为函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数， 所以f(0)=f(2)=2,又f(0)=一4，所以切点坐标为(0,2)，切线斜 ∴f)=3(+号）-g号 率为一4，可得切线方程为y=一4x十2.] 9.解f(10)一1.5表示在服药后第10min左右，血液中药物的质量 当x0=一 号时，f(红)取最小值-9 浓度大约以1.5，g/(mL·min)的速度上升.f(100)=一0.6表示服} ,斜率最小的切线与直线12x十y=6平行， 药后第100min左右，血液中药物的质量浓度大约以0.6g/(mL·min) 的速度下降. 六该切线斜率为-12.-9一号=-12. 10.解当x=4时，△y= 11 =V4十△-2 解得a=士3.又a0,,∴.a=-3. √+2√4+云2√+A 课时分层检测（十五） △x ,基础达标练 2√4+△x(√4+△z+2) .Av .ACD[选项Ay=子-E,则y=一3x4=一3 x2√4+△（√4+△x+2) :f(4)=n=m2V件++2 选项B=近-剧日音≠ : 1 选项Cy=子=1，则y=-2x3: 2×④×(W+2)=16 当1时+2D1中(1+△-1- 选项D,由f(x)-3x知f'(x)-3, .f(1)=3. △x △x .选项A,C,D正确.] 由等我的定又，得f(-1)=m(a2=2f0·f(-1)2.B[对子①y=()y=之，正确：对子@，)=子 =△x-2, =6×(-2)= 1 子：手不正病：对子③了)=3，故=3，正孩. 1 能力提升练 1,AB[由函数的图象可知f(x)是单调递 3.A[“fx)=…f)= f2)=-f3)= 增的，所以函数图象上任意一点处的导函 B 即f(2)<f(3).故选A.] 数值都大于零，并且由图象可知，函效图 :4.A[由题意，知切线1的斜率k=4, 象在x=2处的切线斜率k1大于在x=3 设切点坐标为(x0vo). 处的切线斜率k2,所以f(2)>f'(3)； y=4x3,=48=4,解得x6=1, 记A(2,f(2),B(3,f(3)),作直线AB, .切点为(1,1)， 则直线AB的斜率k=f3)二2) 3-2 01234 .1的方程为y-1=4(x-1) 即4.x一v-3=0. f(3)-f(2), 由西数图象，可知k1>k>k2>0, 15.C[对于A,f(x)=2x,为奇函数：对于B,f(x)=-sinx,为奇函 即f(2)>f(3)-f(2)>f'(3)>0.故选AB.] 数：对于C,f'(x)=cosx,为偶函数：对于D,f(x)=e,既不是奇函 数也不是偶函数，故选C.] 2[-1,-]f) (x十△x)2+2(x十△x)十3-(.x2+2x十3) 6.x+y6=0[:y=-号y1=g=-1. △x .在点(3,3)的斜率为-1的切线方程为y-3=-(x一3)， =im(2.x十2)△x+(△ 即x十y-6=0.] =im(△x十2x十2)=2x十2，可设点7.2[y'=ar-l,所以y'1,=1=a,所以切线方程为y-2=a(x-1),即 P的横坐标为x0,则曲线C在点P处的切线斜率为2x0十2.由已知；y=axa十2，该直线过原点(0,0)，所以a=2.] 得0≤2+2≤1-1≤≤-分点p的横坐标的取位范国8.】[由f()=0,R()=子x>0,2x[f(x)+1门一g()=2x 为[1.2]门 1=1,解得x=1.] 174