第5章 阶段测评(三)[5.1～5.2]（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第5章　阶段测评(三)[5.1～5.2] (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·宿迁期末)函数f＝x2－sin x在区间上的平均变化率为(　　) A．－π－ B．－π C．π D．π＋ 解析　由平均变化率定义得＝＝π. 故选C． 答案　C 2．已知函数f(x)＝x·ex，则导数值f′(1)＝(　　) A．1　　　 B．2e C．e　　　 D．e＋1 解析　因为f(x)＝x·ex， 所以f′(x)＝x′·ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 所以f′(1)＝2e.故选B． 答案　B 3．(2025·六安期末)若函数f(x)的导函数f′(x)存在，且 ＝4，则f′(1)＝(　　) A．－2 B．2 C．－8 D．8 解析　 ＝－ ＝－f′＝4， 所以f′(1)＝－8. 故选C． 答案　C 4．已知m>0，n>0，直线y＝x＋m＋1与曲线y＝ln x－n＋2相切，则＋的最小值是(　　) A．16　　　 B．12 C．8　　　 D．4 解析　对y＝ln x－n＋2求导得y′＝， 由y′＝＝得x＝e， 则·e＋m＋1＝ln e－n＋2，即m＋n＝1， 所以＋＝(m＋n)＝2＋＋ ≥2＋2＝4， 当且仅当m＝n＝时等号成立． 故选D． 答案　D 5．过坐标原点作曲线y＝(x－4)ex的切线，则切线有________条．(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由y＝(x－4)ex可得y′＝(x－3)ex， 过坐标原点作曲线y＝(x－4)ex的切线，设切点为(x0，y0)，则切线斜率为k＝(x0－3)ex0， 切线方程为y－y0＝(x0－3)ex0(x－x0)， 又y0＝(x0－4)ex0，切线方程过坐标原点， 所以－(x0－4)ex0＝(x0－3)ex0(－x0)， 即x－4x0＋4＝0， 所以x0＝2，即切线有1条． 故选B． 答案　B 6．若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A、B两点间距离|AB|的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 解析　点A(a，a)在直线y＝x上，点B(b，eb)在y＝ex上，对y＝ex求导，得y′＝ex，设y＝ex的切线的切点为(x0，y0)，令y′＝1⇒ex0＝1⇒x0＝0，所以y＝ex在点(0,1)处的切线为y＝x＋1，此时切线y＝x＋1与直线y＝x平行， 直线y＝x与y＝x＋1之间的距离＝为|AB|的最小值，故选B． 答案　B 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．下列运算错误的是(　　) A．(2x)′＝2xlog2e B．()′＝ C．(sin 1)′＝cos 1 D．(log3 x)′＝ 解析　对于A，(2x)′＝2xln 2，A错误； 对于B，()′＝(x)′＝x－＝，B正确； 对于C，(sin 1)′＝0，C错误； 对于D，(log3 x)′＝，D正确． 故选AC． 答案　AC 8．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则(　　) A．f(2025)＝2 B．f′(x)的周期是4 C．f′(x)是偶函数 D．f′(1)＝1 解析　因为函数f(x)是奇函数， f(x＋2)＝f(－x)， 所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4， 所以f′(x＋4)＝f′(x)，故f′(x)的周期为4，故B项正确； f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2，故A项正确； 因为函数f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以－f′(－x)＝－f′(x)， 即f′(－x)＝f′(x)， 所以f′(x)为偶函数，故C项正确； 因为f(x＋2)＝f(－x)， 所以f′(x＋2)＝－f′(－x)， 令x＝－1，可得f′(1)＝－f′(1)， 解得f′(1)＝0，故D项错误．故选ABC． 答案　ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．函数y＝ln(2－3x)的导数是y′＝________. 解析　因为y＝ln(2－3x)， 所以y′＝×(2－3x)′＝×(－3)＝. 答案　 10．直线y＝kx与曲线y＝ln x＋2相切，则k＝________. 解析　设直线y＝kx与曲线y＝ln x＋2相切于点(t，ln t＋2)(t>0)， ∵y′＝，∴k＝，∴切线方程为y－(ln t＋2)＝(x－t)，即y＝x＋ln t＋1， ∴ln t＋1＝0，解得t＝，∴k＝e. 答案　e 11．(2025·聊城模拟)一条直线与函数y＝ln x和y＝ex的图象分别相切于点P和点Q，则的值为________. 解析　设f＝ln x，g＝ex，所以f′＝，g′＝ex， 则y＝ln x在点P处的切线方程为y－ln x1＝，即y＝x＋ln x1－1； y＝ex在点Q处的切线方程为y－ex2＝ex2，即y＝ex2x＋ex2， 由已知得 由＝ex2得x1＝e－x2，故ln x1－1＝ln e－x2－1＝－x2－1， 故－x2－1＝，解得x1＝， 所以x1－1＝－1＝，因此＝＝－2. 答案　－2 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)求下列函数的导数． (1)y＝(x－2)(3x＋1)2； (2)y＝. 解析　(1)因为y＝(x－2)(3x＋1)2＝(x－2)·(9x2＋6x＋1)＝9x3－12x2－11x－2， 所以y′＝9(x3)′－12(x2)′－11(x)′＝27x2－24x－11. (2)y′＝′＝＝＝. 13．(15分)已知函数为f(x)＝. (1)函数y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，求点P的坐标； (2)过点Q(－1,3)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程． 解析　(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝－， 设P，∵函数y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直， ∴f′(x0)＝－＝－，解得x0＝±2， ∴P或P. (2)过点Q(－1,3)作曲线y＝f(x)的切线，设切点为，则f′(x′)＝－， 切线方程为y＝－(x－x′)＋＝－x＋， 代入点Q(－1,3)得3＝＋， 解得x′＝－或x′＝1， 即切线方程为y＝－9x－6或y＝－x＋2. 14．(15分)(2025·杭州期末)已知函数f(x)＝ln ＋2x. (1)若a＝4，求y＝f(x)在点处的切线方程； (2)若y＝f(x)的图象关于点中心对称，求a，b的值． 解析　(1)当a＝4时，f＝ln ＋2x，f′＝＋＋2， 则k＝f′＝3，又f(2)＝4， 故y＝f(x)在点处的切线方程为y－4＝3，即3x－y－2＝0. (2)由y＝f(x)的图象关于点中心对称，可知f－3的图象关于原点对称， 即f(x＋b)－3＝ln ＋2x＋2b－3为奇函数， 则由f－3的定义域关于原点对称，可得 a－b＝b，即a＝2b， 于是f－3＝ln ＋2x＋2b－3，定义域为，故f－3＝2b－3＝0. 联立解得a＝3，b＝. 此时f－3＝ln ＋2x， f－3＝ln －2x＝－ln －2x ＝－，符合题意， 所以a＝3，b＝. 学科网（北京）股份有限公司 $