4.2.1 第2课时 等差数列及其通项公式的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

4.2.1 第2课时 等差数列及其通项公式的应用 [课时跟踪检测] 1.若等差数列{an}的公差为d,bn=can(c为常数且c≠0),则 (　　) A.数列{bn}是公差为d的等差数列 B.数列{bn}是公差为cd的等差数列 C.数列{bn}是首项为c的等差数列 D.数列{bn}不是等差数列 解析:选B　由题意可知bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd,所以数列{bn}是以cd为公差的等差数列. 2.设{an}是等差数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 (　　) A.充分不必要条件 　　　　　B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　　　D.既不充分也不必要条件 解析:选C　由{an}是等差数列,可得d=a2-a1>0,所以数列{an}是递增数列,充分性成立;若数列{an}是递增数列,则必有a1<a2,即必要性成立. 3.在数列{an}中,已知a1=3,当n≥2时,-=,则a35= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　当n≥2时,-=,即是公差为的等差数列.因为=,所以=+(n-1)=,=6,a35=. 4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 (　　) A.1升 B.升 C.升 D.升 解析:选B　设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an},其首项为a1,公差为d,由条件得即解得所以a5=a1+4d=. 5.[多选]已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3,则 (　　) A.a2=3 B.an=2n-1 C.{a2n}是等差数列 D.{an}是递增数列 解析:选AC　a2=S2-S1=3,故A正确;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+3-(n-1)2-3=2n-1,当n=1时,a1=S1=4,不适合上式,故B错误;{an}从第2项开始为等差数列,所以其偶数项构成等差数列,故C正确;因为a1=4>a2=3,故D错误. 6.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图,DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻的举步之比分别为,,,,且成首项为0.114的等差数列,若直线OA的斜率为0.414,则该数列公差等于 (　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析:选B　不妨设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则DD1=0.114,CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3.由题意知=0.414,即=0.414.设公差为d,∵k1=0.114+d,k2=0.114+2d,k3=0.114+3d,∴=0.414,解得d=0.2.故选B. 7.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=4,且an=+(n≥2),则a2 024= (　　) A.4 049 B.4 047 C.2 025 D.2 024 解析:选A　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+,即(-)(+)=+,由数列为正项数列可知, -=1.又 ==2,即数列{}是首项为2,公差为1的等差数列,即=n+1,则=n,n≥2,当n≥2时,an=+=2n+1,所以a2 024=4 049. 8.(5分)一支车队有15辆车,某天下午车队依次出发执行运输任务,第一辆车于12时出发,以后每间隔12分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车,并都在16时停下来休息,则截止到16时,最后一辆车行驶了　　　　小时.  解析:因为每间隔12分钟=0.2小时发出一辆车,则最后一辆车出发的时间为12+(15-1)×0.2=14.8时,故最后一辆车行驶了16-14.8=1.2小时. 答案:1.2 9.(5分)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a1=47,a6=7,则a5等于　　　　.  解析:由2an=an-1+an+1(n≥2)知,数列{an}是等差数列,设公差为d,由a6=a1+5d=47+5d=7,得d=-8,所以a5=a6-d=7-(-8)=15. 答案:15 10.(5分)一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身成等差数列,则这个正实数是　　　　.  解析:设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N*),自身是x+y,则2y=2x+x+y,所以y=3x.由于0≤x<1,y∈N*,当y=1时,x=,x+y=;当y=2时,x=,x+y=;当y≥3时,x=≥1,不符合题意.综上所述,这个正实数是或. 答案:或 11.(10分)(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数;(5分) (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.(5分) 解:(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d, 则解得所以这三个数为4,3,2. (2)设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 12.(10分)已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N*). (1)证明:数列是等差数列;(6分) (2)求数列{an}的通项公式.(4分) 解:(1)证明:由=====+,得-=,n∈N*,故数列是等差数列. (2)由(1)知=+(n-1)×=,所以an=,n∈N*. 13.(10分)某城市的绿化建设有如下统计数据: 年份 2017 2018 2019 2020 绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4 如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%? 解:由表中数据可知,每年的绿化覆盖率成等差数列,设为{an},则a1=17,公差d=17.8-17=0.8,故通项公式为an=a1+(n-1)d=17+0.8(n-1)=0.8n+16.2,令0.8n+16.2>23.4,解得n>9,2 017+9=2 026.故至少到2026年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%. 14.(10分)数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)·an(n∈N*),λ是常数. (1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(4分) (2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列,并说明理由.(6分) 解:(1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,解得λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)不存在实数λ使得{an}为等差数列. 理由如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在实数λ,使得{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)·(2-λ)=-24,a2-a1≠a4-a3,这与{an}为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{an}为等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $