4.3.1等比数列的概念 同步练习-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 一、单选题 1.若、、、成等比数列，则 A. B. C. D. 2.已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则 A. B. C. D. 3.若对任何等比数列，恒成立，则 A. B. C. D. 4.等比数列中，若，，则的公比为（） A. B. C. D. 5.在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（） A. B. C. D. 6.已知为等比数列，若，公比，则等于（） A. B. C. D. 二、多选题 7.如果数列是等比数列，那么下列数列中一定是等比数列的是（） A. B. C. D. 8.从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满，连续进行若干次，容器中的酒精浓度可能是（） A. B. C. D. 9.已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（） A. B. C. D. 三、填空题 10. 已知三个数成等比数列，其乘积为，如果第一个数与第三个数各减，则成等差数列，这三个数构成的数列是______． 11.已知是公比为的等比数列，若，则________． 12.已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前项积，当取最大值时，______． 四、解答题 13. 已知数列的首项为，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若对任意的都成立，求的范围． 14.设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列． (1)请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； (2)设无穷数列为等差数列，，，证明：的任意子列不是等比数列； 15.观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 一、单选题 1.答案：C 解析：等比数列中，中间项的平方等于相邻两项的乘积。由、、、成等比数列，得，故。 2.答案：D 解析：等比数列中，，即，解得。首项，通项公式为。数列，其最大项为时的，最小项为时的，故。 3.答案：C 解析：等比数列中，若，则。由，得，解得。 4.答案：D 解析：设公比为，则。由，，得。 5.答案：B 解析：等比数列通项为，前项积的绝对值为，当时绝对值最大，且为正数，为负数，故最大项为。 6.答案：D 解析：通项公式为，故。 二、多选题 7.答案：ABC 解析： oA：的公比为，是等比数列； oB：的公比为，是等比数列； oC：的公比为，是等比数列； oD：当时，含，不是等比数列。 8.答案：AC 解析：每次倒出后酒精浓度成等比数列，首项为，公比为，故浓度为。当时为，时为，故选AC。 9.答案：BD 解析：递减等比数列满足，即，整理得。若，则；若，则。故且，选BD。 三、填空题 10.答案：4, 8, 16 或 16, 8, 4 解析：设三数为，由，，成等差数列，得，解得或，故数列为或。 11.答案：200 解析：，，，故。 12.答案：6 解析：通项，前项积递增当且仅当。，，故最大。 四、解答题 13.证明：(1) 由，得，且，故是首项为，公比为的等比数列，通项为。 解：(2) 不等式即。设，计算得，，，时递减，故最大值为，即。 14.解：(1) 常数列如（公差为的等差数列），其任意子列均为常数列，即公比为的等比数列。 证明：(2) 等差数列公差，通项为。假设存在子列成等比数列，设公比为，则，，即： 两式相减得（有理数），但代入首式会导致无理数等于有理数，矛盾，故任意子列不是等比数列。 15.解： 等比数列通项公式与指数函数（为常数）形式类似，当且时，可看作指数函数在正整数点上的取值。 学科网（北京）股份有限公司 $$