4.3 等比数列 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3 等比数列 同步练习 一、选择题 1．设 是等比数列，下列说法一定正确的是（　　） A． 成等比数列 B． 成等比数列 C． 成等比数列 D． 成等比数列 2．在等比数列中，，，则公比（　　） A． B． C． D． 3．已知数列是等比数列，若，，则的值为（　　） A．16 B．4 C．-2 D．-4 4．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（　　）． A．83 B．108 C．75 D．63 5．记为等比数列的前项和，若，则（　　） A．120 B．85 C．-85 D．-120 6．（多选）下列数列为等比数列的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）设等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，已知 ， ，则（　　） A． B． C． D． 8．（多选）已知正项等比数列的公比为，若，且，则（　　） A． B． C．是数列中的项 D．，，成等差数列 二、填空题 9．已知正项等比数列满足，且，则公比为　 　. 10．已知正项等比数列满足，，则　 　． 11．写出一个公比的递增等比数列的通项公式　 　. 一、选择题 12．设是等比数列，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 13．公比为2的等比数列 中存在两项 ， ，满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 14．数列中，，对任意，若，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 15．在等比数列{an}中，an＞an+1，其前n项的积为Tn（n∈N*），若T13=4T9，则a8•a15=（　　） A．±2 B．±4 C．2 D．4 16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少（　　）里. A．198 B．191 C．63 D．48 二、填空题 17．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列有两种，分别为，，若序列的所有项都是2，且，，则等于　 　. 18．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时，　 　． 19．若一个等比数列 有无穷多项，并且它的公比 满足 ，称 为无穷递缩等比数列，规定：无穷递缩等比数列 ， ， ，…， ，…所有项的和 ， .《庄子·天下篇》中写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中隐含了关系： 　 　，类似可以将一个无限循环小数表示为分数： 　 　. 三、解答题 20．等比数列{an}的前n项和Sn，且a3=，S3=，求an的表达式． 21．等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为2，若S3+S6=S9，求S15的值． 22．已知 是等差数列，其前 项和为 ， 是等比数列，且 ， ， . （1）求数列 与 的通项公式； （2）记 ， ，证明 ( ， ). 参考答案 1．D 【解析】 项中 ，故 项说法错误； 项中 ，故 项说法错误； 项中 ，故 项说法错误；故 项中 ，故 项说法正确， 2．D 【解析】解：设等比数列 的公比为q ， 因为 ，， 所以a1·a1q2=16 ，a1q+a1q3=12 由a1q+a1q3=a1q(1+q2)=12>0可得a1q>0 ， 所以a1q=4 ， ， 3．A 【解析】解：设数列的公比为， 由，解得， 则 4．D 【解析】解：设等比数列前项和为， 因为等比数列前项的和为48且不为零， 则成等比数列， 所以， 则 5．C 【解析】解：因为为等比数列的前项和，又因为， 当q=1时，所以(舍）； 当且时，所以， 则 6．C,D 【解析】解：A：，则不为定值，A错误； B：，则不为定值，B错误； C：，则为定值，且，C正确； D：，则为定值，且，D正确. 7．B,C 【解析】若 ，则 ，矛盾，故 ， 根据题意得： ，解得 ， . 8．A,B,D 【解析】解：A、由，可得， 且，所以，A正确； B、所以，B正确； C、可得， 令，即， 显然该方程无整数解，所以不是数列中的项，C错误； D、因为，，， 且，即 所以，，成等差数列，D正确. 9． 【解析】解：设等比数列的公比为q(q>0)， 因为，所以，解得. 10．32 【解析】解：设正项等比数列的公比为，可知； 因此可得，两式相除可得， 解得或； 可得或（舍）； 因此. 11．（答案不唯一） 【解析】依题意， 是公比 的递增等比数列的通项公式， 故可填 . 12．B 【解析】解：由已知得，两式相除得， 所以，， 所以，， 所以 13．D 【解析】 ， 当 时， ，当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 最小值为 14．C 【解析】解：在等式中，令，可得，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， ， ，则，解得 15．C 【解析】解：∵等比数列{an}是递减数列，其前n项的积为Tn（n∈N*），且T13=4T9 ， 设公比为q，则由题意可得q＜1，且an ＞0． ∴a1a2…a13=4a1a2…a9，∴a10a11a12a13=4． 由等比数列的性质可得a8•a15=a10a13=a11a12， ∴a8•a15=2 16．A 【解析】设每天走的路程里数为，则是公比为的等比数列， 由得 解得： 所以 后四天走的路程：，前两天走的路程：， 又，且，∴， ∴ 故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198 17． 【解析】解：设. 由题意可知，数列是公比为2的等比数列，，所以. 所以 ，所以 18．6 【解析】解： 根据题意，数列{an}为等比数列，a1=63，公比，则an=a1qn-1=26-n， 当n=6时，an=1，当n<6时，an>1，当n>6时，an<1， 若Tn是数列{an}的前n项积，当n≥2时， 则当n<6时，>1，则Tn>Tn-1，当n>6时，<1，则Tn<Tn-1， 当n=6时，=1，Tn=Tn-1 ， 故当n=6时，Tn有最大值 19．1； 【解析】 ， 20．解：当q=1时，； 当q≠1时，由且， 得． 综上可得：或者 21．解：①当q=1时，Sn=na1=2n，满足S3+S6=S9，可得S15=30； ②当q≠1时，由S3+S6=S9可得 + = ， 整理可得（q3﹣1）（q6﹣1）=0，解得q=﹣1， ∴S15= =2 22．（1）解：设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，则 由 解得： . ∴ ， . （2）解：∵ ， ， 当 时， ， 又S5 = 8 + b5 即 成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $