13.1 勾股定理及其逆定理课件 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

13.1 勾股定理及其逆定理 13.1.1 直角三角形三边的关系 第1课时 勾股定理及其证明 1.掌握勾股定理，理解定理的一般探究方法．(重点) 2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、 猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想．(难点) 学 习 目 标 （1）正方形P的面积是 cm2； （2）正方形Q的面积是 cm2； （3）正方形R的面积是 cm2. 1 2 1 SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 如图，如果每一小方格表示 1 cm2，那么可以得到： 新 课 引 入 这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 思 考 P的面积/cm2 Q的面积/cm2 R的面积/cm2 图2 图3 P、Q、R面积关系 直角三角形三边关系 Q P R Q P R A B C A B C 9 16 25 9 4 13 SP+SQ=SR (每一小方格表示1 cm2) BC2+AC2=AB2 图2 图3 合 作 探 究 6 Q P R Q P R ☆方法一： 把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.如图2. ☆方法二： 把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.如图3. S正方形R＝52－4××2×3 ＝13 图2 图3 S正方形R＝12+4××3×4 ＝25 合 作 探 究 7 分别以5 cm、12 cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 13 5 12 A B C 思 考 8 a b c 对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这样的关系呢？ 让我们回到导入语中所提到的2002年国际数学家大会的会标中的那个像旋转的风车的会微（如图). 它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的图案，记直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 于是图中各个部分的面积之间有如下的等式： c2=4×ab+(b-a)2 化简，可得a2+b2=c2 合 作 探 究 温馨提示： 面积法验证勾股定理. S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2， S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 证明： 即c2=4×ab+(b-a)2， c2=2ab+a2-2ab+b2， 所以 a2+b2=c2. 思 考 由前面的探索与验证可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2. 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2＋b2＝c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 新 知 小 结 11 我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周牌算经》作注时给出的，它标志着中国古代伟大的数学成就.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会徽，其图案正是由“弦图”演变而来. 拓 展 提 升 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）： 已知直角三角形两边，求第三边. 针 对 练 习 1．如图①，这个图案是我国古代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是 正方形，△ABF、△BCG、△CDH、 △DAE是四个全等的直角三角形， 若EF＝2，DE＝8，则AB的长为____． 10 2．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　) A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2 C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2 C 随 堂 练 习 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 C 4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD的长为正整数，则点D共有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 C 随 堂 练 习 5．历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的两边AE，EB在一条直线上．验证过程中用到的面积相等的关系式是(　　) A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD D 随 堂 练 习 6．下列选项中，不能用来验证勾股定理的是(　　) D 随 堂 练 习 证明方法：面积法 勾股定理及其证明 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 课 堂 总 结 13.1.1 直角三角形三边的关系 第2课时 勾股定理的简单应用 1.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型并运用勾 股定理求线段长及解决简单的实际问题.(重、难点) 学 习 目 标 1.直角三角形三边的关系： 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 2.勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 复 习 导 入 例1 在Rt△ABC中，已知∠B＝90°, AB=6,BC=8.求AC的长. 应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度. 解：根据勾股定理，可得 AB2＋BC2＝AC2. 所以AC＝ ＝10. 典 例 精 析 22 例2 如图,Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm，另一直角边BC长为6 cm.求AC的长. A B C 解：由已知AB＝AC－2，BC＝6 cm， 根据勾股定理，可得 AB2＋BC2＝(AC－2)2＋62＝AC2， 解得AC＝10 cm. 典 例 精 析 23 例3 如图,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离,一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形.通过测量,得到AC的长为160 m,BC的长为128 m.问：从点A穿过湖到点B有多远? 解：如图，在Rt△ABC中， AC＝160 m，BC＝128 m， 根据勾股定理，可得 AB＝＝96（m） 答：从点A穿过湖到点B有96 m. 典 例 精 析 24 2．在△ABC中，AB＝5，AC＝，BC边上的高AD＝3，则另 一边BC等于(　　) A．5 B．4 C．3或5 D．4或5 1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为5，则斜边长为(　　) A．5 B．10 C．13 D．12 C　 C 随 堂 练 习 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为(　　) A．5 B．6 C．7 D．25 A　 4．等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为12 cm，则此三角形的面积为(　　) A．96 cm2 B．48 cm2 C．32 cm2 D．24 cm2 B　 随 堂 练 习 解：S△ABC＝4×5－×2×5－×2×2－×3×4＝7. ∵BC2＝32＋42＝25，∴BC＝5. 设点A到直线BC的距离为h， ∵S△ABC＝BC·h， ∴×5h＝7.∴h＝. 故点A到直线BC的距离是. 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在网格中，顶点均为格点，求点A到直线BC的距离． 随 堂 练 习 勾股定理的实际应用——构造直角三角形解决实际问题 课 堂 总 结 13.1.2 直角三角形的判定 1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.运用直角三角形判定方法解决问题.掌握勾股数．（难点） 学 习 目 标 古埃及人曾用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结，然后如下图那样钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 你知道这是什么道理吗? 新 课 导 入 试作出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1)a=3,b=4,c=5; (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10. 可以发现，按（1）（3）所作的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按（2）所作的三角形不是直角三角形. 思 考 这三组数都满足a2+b2=c2吗？ 在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个 三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 对于任意一个三角形，若三边长满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形吗？ 新 知 小 结 33 证明：如图，作△A′B′C′,使∠C′=90°， A′C′＝b，B′C′＝a， 则A′B′²＝a²＋b²＝c²， 即A′B′＝c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC＝a＝B′C′， AC＝b＝A′C′， AB＝c＝A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠C＝∠C′＝90°. B′ C′ 已知：如图，在△ABC中，AB＝c, BC＝a, AC＝b，a²＋b²＝c²， 求证：∠C =90°. A B C A′ 合 作 探 究 34 1.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与你的同伴交流. 4 1 2 解:由题意可知△ABE，△DEF， △FCB均为直角三角形. 由勾股定理，知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25， ∴BE2+EF2=BF2. ∴△BEF是直角三角形. 针 对 练 习 例 已知△ABC，AB＝n²－1，BC＝2n，AC＝n²＋1（n为大于1的整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵AB²+BC²＝(n²－1)²＋(2n)² ＝n4－2n²＋1＋4n² ＝n4 ＋2n²＋1 ＝(n²＋1)² ＝AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 为什么选择AB²+BC²？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？ 典 例 精 析 36 勾股数： 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.例如3 ,4 ,5 ；6, 8,10； n²-1，2n，n²+1(n为大于1的整数)等都是勾股数. 💡注意： (1)勾股数必须是正整数，不能是分数或小数； (2)一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数． 新 知 小 结 2.下列各组数是勾股数的是( ) A.10，24，26 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 针 对 练 习 1.下列各组长度的线段能构成直角三角形的是(　　) A．30、40、50 B．7、12、13 C．5、9、12 D．3、4、6 A 2.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形的三条线段是(　　)   A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF B 随 堂 练 习 3．下列各组数是勾股数的是(　　) A．3、4、4 B．3、4、5 C．3、4、6 D．3、4、7 B 4．已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积为(　　) A．30 B．60 C．78 D．无法确定 A 随 堂 练 习 5．如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20 cm，D是腰AB上一点，且CD＝16 cm，BD＝12 cm.求△ABC的周长． 随 堂 练 习 解：∵BD2＋CD2＝122＋162＝144＋256＝400，BC2＝202＝400， ∴BD2＋CD2＝BC2. ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB. ∴∠ADC＝90°，即△ADC为直角三角形． 设AC＝x cm， 则AB＝AC＝x cm，AD＝(x－12)cm. 根据勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2. ∴(x－12)2＋162＝x2.解得x＝. 则△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝＋＋20＝(cm)． 随 堂 练 习 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 直角三角形的判定 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数 课 堂 总 结 13.1.3 反证法 1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够 运用反证法来证明一些问题.(重点) 2.理解并体会反证法的思想内涵.（难点） 学 习 目 标 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)满足关系a2＋b2＝c2时，这个三角形一定是直角三角形.如果此时a2＋b2≠c2,那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 情 境 导 入 作出如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ (1)a＝1.0, b＝2.4,c＝2.6； (2)a＝2, b＝3,c＝4； (3)a＝2, b＝2.5,c＝3. (1) (2) (3) 合 作 探 究 我们可以发现，第一组恰好满足a2 +b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形. 💡思考 由此，可以得到什么样猜想呢？ 当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 思 考 怎样证明这个猜想是正确的呢？ 分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理得出结论，十分困难.我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论: （1）假设它是直角三角形； （2）根据勾股定理，一定有a2＋b2＝c2，与已知条件a2＋b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是直角三角形. 像这样的证明方法叫“反证法”. 合 作 探 究 反证法的步骤为： (1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定 义或已知条件等相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 合 作 探 究 现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB＝c，BC＝a，AC＝b,且∠C=90°，那么a2＋b2＝c2”是一个真命题.对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a,AC=b,且∠C ≠90°”，那么a2 +b2 ≠ c2”是真命题吗？ c a b A C B 思 考 51 “在△ABC中，如果AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,且∠C ≠90°，那么a2 +b2 ≠ c2”是真命题吗？请说明理由. c a b A C B 证明：假设a2 +b2 ＝c2， ∵∠C ≠90°， ∴△ABC不是直角三角形， ∴由勾股定理得a2 +b2 ≠ c2，这与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴“在△ABC中，如果AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,且∠C ≠90°，那么a2 +b2 ≠ c2”是真命题. 合 作 探 究 52 例1 证明：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”的基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 典 例 精 析 例2 证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°, 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°， 即∠A＞60°， ∠B＞60°， ∠C＞60°. 典 例 精 析 运用反证法证明时,常见结论的否定类型 结论词 否定类型 是 不是 都是 不都是 大（小）于 不大（小）于 能 不能 相等 不相等 新 知 小 结 结论词 否定类型 至少有一个 一个也没有 至少有n个 最多有(n-1)个 最多有一个 至少有两个 负数 非负数 新 知 小 结 1．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设(　　) A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C C 2．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设(　　) A．a∥b B．a与b垂直 C．a与b不一定平行 D．a与b相交 D 随 堂 练 习 3．用反证法证明命题“如果x＞y，那么x3＞y3”时，假设的内容应是(　　) A．x3＝y3 B．x3＜y3 C．x3＜y3或x3＝y3 D．x3＜y3且x3＝y3 C 4．用反证法证明“在一个三角形中，至多有一个内角为钝角”时，第一步应先假设(　　) A．一个三角形中有两个内角为钝角 B．一个三角形中三个内角都是钝角 C．一个三角形中至少有一个内角为钝角 D．一个三角形中至少有两个内角为钝角 D 随 堂 练 习 5．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A＋∠B. 证明：假设∠1≠∠A＋∠B. 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°， ∵∠1≠∠A＋∠B， ∴∠1＋∠2≠180°,与∠1＋∠2＝180°相矛盾. ∴假设不成立，原命题成立，即∠1＝∠A＋∠B. 随 堂 练 习 概念 反证法 反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证． (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出与公理、定理、定义或已知条件等相矛盾； (3)由矛盾断定所作假设不成立，从而得出原命题正确. 步骤 反证法证明的思路 假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论. 课 堂 总 结 $