第21章四边形 期末复习综合练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦四边形核心概念与性质，通过基础辨析、性质应用及综合证明的梯度设计，培养几何直观与推理能力，构建从概念到应用的完整知识链。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-4、填空8-9|判定定理辨析、中点四边形、多边形镶嵌|从定义到判定的概念生成，强化概念准确性| |性质应用|单选3、5-7，填空10-14|面积计算、角度推导、折叠问题|性质推导到定量计算，体现几何直观| |综合证明|解答15-20|动态几何、作图探究、坐标系综合|性质与判定跨知识整合，培养推理能力与空间观念|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第21章四边形》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列说法中不正确的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有三个直角的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 2．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（    ） A．60 B．80 C．48 D．24 4．如图，已知在中，对角线相交于点，若，则的周长为（   ）    A．13 B． C．14 D． 5．如图，将一块含角的直角三角板和一个矩形放在一起，若，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，于点，于点，若平行四边形的周长为，，，则平行四边形的面积等于（   ） A．32 B．48 C．60 D．64 7．如图，四边形是边长为12的正方形，点在边上，且，作分别交、于点、，点、分别是、的中点，则的长是（    ）    A．3 B． C． D． 二、填空题 8．下列几组两种正多边形的组合中，能够铺满地面的是______．（填序号） ①正方形和正八边形；    ②正五边形和正十边形； ③正方形和正六边形；    ④正方形和正七边形． 9．一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 10．如图，在中，若，则______． 11．如图，平行四边形中，对角线，相交于点，若，，，则图中阴影部分的面积是______． 12．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为______． 13．如图，菱形边长为，，是的中点，，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则________，的最小值是________． 14．如图，在矩形中，．，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接．如图1，当与重合时，___________；如图2，若四边形为正方形，则___________． 三、解答题 15．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 16．如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形的面积为12，且，求的长． 17．如图，已知在梯形中，，是上的一点，，，连接并延长交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作，垂足为点，若，求证：四边形是矩形． 18．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 19．阅读与探究 【问题背景】我们发现：用构造菱形的思路可以解决绝大多数尺规作图的问题．菱形的四条边相等、每一条对角线平分一组对角、对角线互相垂直平分、对边平行等性质，可以应用在角平分线、垂直平分线、平行线、垂线的尺规作图．学习小组受到启发，对尺规作图作菱形展开了探究． 【学习任务】 精英组：如图1，以顶点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点B，交于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C，作射线，则射线为的平分线． 火箭组：如图2，作矩形的边的垂直平分线，分别交，于点H，F，再作线段的垂直平分线，分别交，于点E，G，和交于点O，顺次连接E，F，G，H，则四边形是菱形． 【解决问题】 (1)如图1，四边形的形状是______； (2)如图2，求证：四边形是菱形； (3)①如图3，以的对角线和的交点O为对称中心作菱形，使其四个顶点分别在的边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） ②当①中所作菱形其中一条对角线与的一边平行时，菱形的面积与的面积有什么数量关系，请说明理由． 20．如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)直接写出点的坐标_____； (2)求证：； (3)如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； (4)如图3，连接交于点，连接，求证：． 参考答案 1．D 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定定理，逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确； B、有三个直角的四边形是矩形，正确； C、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意. 2．C 【分析】设矩形中，，，，分别为，，，各边中点，连接，，由三角形中位线定理可得，，，，由矩形对角线相等得，即可得，由四条边都相等的四边形可得四边形是菱形，据此即可求解． 【详解】解：如图，设矩形中，，，，分别为，，，各边中点，连接，， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得，，， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形． 3．D 【详解】本题考查菱形面积的计算，利用菱形面积等于对角线乘积一半的性质，代入数据计算即可． ∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，该菱形两条对角线长分别为和， ∴． 4．D 【分析】根据平行四边形的性质得到，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为：． 5．B 【分析】过三角板的顶点作矩形边的平行线，利用 “两直线平行，内错角相等”和三角形的外角的性质求解即可 【详解】 过三角板角作矩形左右两边的平行线 ， ． ∴． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质得，推出，由平行四边形的周长为，计算出，再求平行四边形的面积即可． 【详解】解：由题知，，， 四边形是平行四边形， ，，， ，即， ， 又平行四边形的周长为， ， ， 解得， 平行四边形的面积等于． 故选：D． 7．C 【分析】连接，可证明是等腰直角三角形，则可证明，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出的长，利用矩形的性质得到点H为的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵四边形是边长为12的正方形． ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵为中点． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点为的中点， ∴点为的中点， ∴． 8．① 【分析】平面镶嵌要求拼接点处的多个多边形内角和恰好为周角，即，若对应方程存在正整数解，则可以铺满地面． 【详解】解：①正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为， 设需要个正方形，个正八边形，可得方程， 化简得，存在正整数解，因此能够铺满地面； ②正五边形每个内角为，正十边形每个内角为， 设需要个正五边形，个正十边形，可得方程， 化简得，存在正整数解，但是单点能铺，整体不能密铺； ③正方形每个内角为，正六边形每个内角为， 设需要个正方形，个正六边形，可得方程， 化简得，不存在正整数解，因此不能铺满地面； ④正方形每个内角为，正七边形每个内角为， 设需要个正方形，个正七边形，可得方程， 化简得，不存在正整数解，因此不能铺满地面； 故答案为：①． 9． 【分析】先根据任意多边形的外角和为，结合已知外角度数求出正多边形的边数，再根据边形一个顶点引出对角线条数的规律计算即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角为， 该正多边形的边数为， 从边形的一个顶点出发，除去自身及其两个相邻顶点，剩余顶点均可连接得到对角线， 可引出的对角线条数为． 10． 【分析】由平行四边形的对角相等可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． 11． 【分析】过作于，通过解直角三角形，即可得到的长，进而得到平行四边形的面积，再根据全等三角形的性质，即可得到图中阴影部分的面积等于平行四边形面积的． 【详解】解：如图所示，过作于，则， ， ， ， 平行四边形的面积， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中，有 ， 则， ， 图中阴影部分的面积等于平行四边形面积的， 即图中阴影部分的面积． 12． 【分析】由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而可求出的度数，又由，即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，． ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即是等边三角形． ∴． ∴． ∴． 13． 【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理得出，进而根据，即可得出的长；延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接，证明，得到，同理证明：，为等边三角形，继而可得是的垂直平分线，则，由，即可确定最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵菱形边长为，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是的中点，菱形边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理证明：， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，难度较大，解题的关键在于转化思想的运用． 14． 【分析】①设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出的长度； ②连接、，可证，根据正方形的性质和矩形的性质可知，设，由折叠可知，由勾股定理可得，解方程即可求出的长度． 【详解】①解：四边形是矩形， ，， 设，则， 由折叠可知， 在中，, ， 解得：， ； ②解：如下图所示，连接、， 由折叠可知是的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 由折叠可知， 在中，， ， 解得：， ． 15．(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形，都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，，进而得到，，根据勾股定理得到，根据完全平方公式求出，根据矩形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是菱形， ∴，即 ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵菱形的面积为12， ∴，， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得 ， ∵四边形是矩形 ∴ 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）容易证明，则，结合可判定四边形是平行四边形，由平行线的性质和题干可得，则，因此四边形是菱形； （2）容易证明，则，结合可得，四边形是平行四边形，则，进而得到，因此可判定四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． 18．(1)证明见解析； (2)①秒；②与满足的数量关系式是 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． （2）①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 19．(1)菱形 (2)见解析 (3)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用菱形的定义求解； （2）根据题意得到，则垂直平分，利用垂直平分线的性质证明四边形是平行四边形，利用“对角线垂直”证明四边形是菱形； （3）①过交点作直线，分别交、于点H、F，再作线段的垂直平分线，交剩余两条边得到点E、G，顺次连接四个点，即为所求菱形； ②根据菱形和平行四边形的性质求出是平行四边形中边上的高，再证明四边形是平行四边形，则，从而得出和之间的关系． 【详解】（1）解：由作法可知， 四边形的形状是菱形； （2）证明：垂直平分、垂直平分， 、， ， 垂直平分， ， 垂直平分， 、， 四边形是平行四边形， , 四边形是菱形； （3）解：①如图所示，四边形即为所求作的菱形； 证明：在平行四边形中，、， ， 在和中， ， ， ， 由作法知，垂直平分， 、， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； ②，理由如下： 由①作法知，， 当时，， 四边形是平行四边形， ，， ， 是平行四边形中边上的高， ， 、， 四边形是平行四边形， ， ， ． 20．(1) (2)证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质求得点C的坐标； （2）在上取，连接，只要证明即可． （3）如图，作于F，只要证明即可求得点N的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P的坐标． （4）将绕点D顺时针方向旋转得，得，证明，得，进一步得出，得平分，由平分可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， ，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，作于F， ∵ ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 点N坐标， 四边形是平行四边形，，，由平移知识可知： ； （4）证明：将绕点D顺时针方向旋转得， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 即平分． 又 平分， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ． 学科网（北京）股份有限公司 $