第20章勾股定理 期末复习综合练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，整合基础判定、实际应用与动态探究，通过分层题型构建“概念-推理-建模”逻辑链，培养几何直观与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定与计算|单选1-3、填空8|直角三角形判定、边长计算|勾股定理及逆定理的直接应用，强调分类讨论（如直角边与斜边不确定）| |实际应用与模型构建|单选4-6、填空10-12、解答15-17|网格问题、折叠、最短路径、生活场景（城门、树高、台风）|从几何模型抽象到实际问题解决，体现数学建模与空间观念| |综合探究与动态问题|解答19-20|动点等腰三角形、跨章节整合（倍长中线）|结合几何作图与动态分析，发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第20章勾股定理》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1.由以下三条线段所围成的三角形中，不是直角三角形的是() A.3,4,5 B.4,5,6 C.5,12,13 D.1,V2,V5 2.如图所示：数轴上点A所表示的数为a,则a的值是() -2-10234→ A.5+1 B.-5+1 c.5-1 D.5 3.小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是8m,6m,10m,则该花坛的面 积是() A.120m2 B.72m2 C.60m2 D.24m2 4.如图，直线1上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为() A.4 B.16 C.22 D.55 5.如图，在3×3的正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点（小正方形的顶点）上， 下列说法正确的是() A.ABIICD B.BC2+DE2=CD2 C.AB2+DE2=BC2 D.∠ABC+∠BCD=45° 6.如图，小聪拿着一根长竹竿进一个宽4米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结 果竿比城门高2米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，该竹竿长度为() A.3米 B.4米 C.5米 D.6米 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半 径作弧，分别交BA,BC于M,N两点；②分别以M,N为圆心，以大于专MN的长为半径 作弧，两弧相交于点P;③作射线BP,交边AC于点D,若AB=10,BC=6,则线段AD 的长为() B M A.3 8.号 c.号 D.5 二、填空题 8.已知三条线段的长分别为6,10，x,以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形， 则x= 9.如图，三角形纸片ABC,AB=45cm,AC=4cm,BC=8cm,将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE.则CD的长为· 10.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米。 10米 8米 4米 11.如图，一个圆桶底面直径为9cm,高12cm,则桶内所能容下的最长木棒为 cm 12.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，某实验室位于公路PQ上 的点A处，到点P的距离是240m.假设救护车行驶时，周围150m以内能听到鸣笛声，那 么当救护车在公路MN沿PN方向以30m/s的速度匀速行驶时，在该实验室能听到救护车鸣 笛声的持续时间为s。 M 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=12cm.动点P从点B出发 沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.当△ABP为等腰三角形时，t的值 是 14.如图，一条笔直的铁路AB的同侧有两个村庄C,D,它们到铁路AB的距离分别为 15km和10km,分别过C,D两点作AB的垂线，垂足为M,N,测量得MN=25km.现 在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等，则E站到M点 的距离为 AM 三、解答题 15.如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方12米的C处，过了0.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的 距离为20米.这辆小汽车在BC段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问 该小汽车是否超速，说明理由. 小汽车 小汽车 B -9C A 检测仪 16.如图，校园里有一块四边形ABCD的空地，AB=15m,BC=18m,CD=8m, AD=17m.过点A修两条小路AE和AC,且AE⊥BC,点E恰好是BC的中点， (1)求小路AE和AC的长， (2)求这块空地的面积。 17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极 强的破坏力.如图，某台风中心沿直线AB从左向右移动，已知点C为某海港，点C与直线 AB上A,B两点的距离分别为300km和400km,且AB=500km,以台风中心为圆心， 周围250km以内为受影响区域. A B (1)求证：∠ACB=90°； (2)当地气象部门在通知中说海港C会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； 3)若台风的速度为30kmh,则台风持续影响该海港的时间有多长？ 18.梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块A,B ，由一根连杆连接，滑块A,B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大小忽略不计， 零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块A距0点30厘米，滑块B距0点15厘米， B B 图1 图2 (1)求AB的长； (2)当滑块A向下滑13厘米至点A处时，滑块B滑动到点B的位置，则BB的长为多少厘米？ 19.【问题情景】为了提高同学们探究数学的热情，某校初一年级开展了“倍长中线微专题” 探究活动，刘老师提出了如下问题： B M M B 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5,点M为BC边上 的中点，则AM的长为一 (2)【思考探究】如图2，在四边形ABCD中，若AD与BC不平行，M是BC边的中点，且 ∠AMD=90°，AM平分∠BAD,若AD=8,CD=3,试求AB的长度， 3)【拓展延伸】如图3，△ABC和△BED是以点B为公共锐角顶点的两个等腰直角三角 形，∠ACB=∠BED=90°，AC=5,BE=3,连接AD,点M为AD的中点，连接CM ，EM,将△BED绕点B逆时针旋转C(0·<&<360°).若DE所在的直线恰好经过 点C时，请直接写出△ACM的面积为 20.(1)如图，一条竹竿AB长10米，斜靠在竖直的墙AC上，这时竹竿的顶端到墙地面的 距离为6米(AC=6米)，求BC的值. (2)在(1)的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即AD=1米），求杆子底 部滑动的距离(BE的长度) B E (3)如图，∠C=90·,点D在AC边上，点E在BC边上，连结BD和AE.求证： AE2+BD2=DE2+AB2. D八 C E B (4)如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=90°，AD=2,BC=4,求 AC2+BD2的值. D 参考答案 1.B解：A.32+42=52,该三角形是直角三角形. B,三边长为4,5,6，最长边为6； :42+52=16+25=41,62=36, “.42+52≠62，因此该三角形不是直角三角形 C.52+122=132,该三角形是直角三角形 D.12+(V2)2-(5)2,该三角形是直角三角形. 2.C解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为1和2， ·斜边长为2+22=5， “点A所表示的数为a=5-1,即选项c符合题意。 3.D 解：：62+82=36+64=100=102， :该三角形是直角三角形，长为6m和8m的边为直角边， .该花坛的面积S=专×6×8=24m2 4.B 解：如图，标出点，得到△ACB,△CED, a B 则由正方形性质得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE, :∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠DCE=180°-∠ACE=90°， :∠BAC=∠DCE, 同理∠ACB=∠CED, I∠BAC=∠DCE 由 AC=CE I∠ACB=∠CED ·△ACB≌△CED(ASA), :AB=CD 由已知得AB2=5,DE2=11, ·正方形b的面积=CD2+DE2=AB2+DE2=5+11=16. 5.解：A选项：如下图所示，AB引‖DM, ·AB与CD不平行， 故A选项错误； B选项：在Rt△BCD中，BC2+BD2=CD2, :BD≠DE, :BC2+DE2=CD2不成立， 故B选项错误： C选项：如下图所示，AC=DE, :△ABC不是直角三角形， ·AB2+AC2=BC2不成立， ·AB2+DE2=BC2不成立， 故C选项错误； D选项：如下图所示，∠NCB=∠ABC, ·∠ABC+∠BCD=∠NCB十∠BCD=∠NCD, 由网格可知，NC=ND=V22+12=V5,DC=32+1=V10, :(5)2+(5)2=10=(o)2, NC2+ND2=DC2. ·△NCD是等腰直角三角形， .∠NCD=45o, ·∠ABC+∠BCD=∠NCD=45o, 故D选项正确； 故选：D 6.C解：设竹竿长度为x米，则城门高为(x-2)米， 由勾股定理可得，42+(x-2)2=x2, 解得x=5, 竹竿长度为5米。 7.D解：由作图步骤可知，BD平分∠ABC,过点D作DE⊥AB于E M :∠C=90°，BD平分∠ABC,DE⊥AB CD=DE 在Rt△ABC中，AB=10,BC=6 ÷AC=VAB2-BC2=V102-62=8 :S△4BC=S△4BD+S△BCD AC·BC=AB·DE+BC·CD,即時×8×6=专×10·CD+×6·CD .24=5CD+3CD .8CD=24 .CD=3 ·AD=AC-CD=8-3=5 8.解：当6和10都是直角边，x为斜边时，根据勾股定理得 x=V62+102=V136=2W34 当10为斜边，6为直角边，x为直角边时，根据勾股定理得 x=V102-62=V64=8. 两种结果均满足三角形三边关系，故x的值为8或2W34 9.解：：AC=4cm,BC=8cm,AB=4V5cm, ÷AC2+BC2=42+82=80,AB2=(4V5=80, ·AC2+BC2=AB2, ÷∠C=90°， 设CD=xcm,则BD=BC-CD=(8-x)cm, 由折叠的性质可知，AD=BD=(8-x)cm, 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2, 即42+x2=(8-2, 整理得16+x2=64-16x+x2, 解得x=3, ÷CD=3cm 10.解：两棵树的高度差为10-4=6（米) 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为： V62+82=V36+64 =V100=10(米). 故答案为：10. 11.解：如图，AC为圆桶底面直径，BC为圆桶的高， AC=9cm,BC=12cm, ÷AB=VAC2+BC2=V92+122=15cm, .桶内所能容下的最长木棒为：15cm. B 12.解：作AB⊥MN于点B, C P M 由题意，∠QPN=30°，AP=240, .AB=AP=120, 救护车行驶时，周围150m以内能听到鸣笛声， :在点B两侧取C,D两点，使AC=AD=150, CD=2BC=2VAC2-AB2=180, t=器=6（秒）. 13.解：在Rt△ABC中，AB2=CB2+AC2=62+122=180 AB=6v5 cm: ①当AB=BP=6W5cm时，如图， C p t=琴=5=25： ②当AB=AP时，如图， A B C BP 2BC=12cm, 则t=号=4： ③当BP=AP时，如图， C P AP BP=3tcm,CP=(3t-6)cm,AC=12cm, 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2, 所以(3t)2=122+(3t-6)2, 解得：t=5, 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t的值是4或5或2√5. 14.解：C,D两村到E站的距离相等， :DE=CE, DN⊥AB,CM⊥AB, ∴∠CME=∠END=90°， .ME2+CM2=CE2,NE2+DN2=DE2, ∴.ME2+CM2=NE2+DN2, 设ME=xkm,则NE=MN-ME=(25-x)km, CM=15km,DN=10km, x2+152=(25-x)2+102, 解得：x=10, .ME=10km￥ .E站到M点的距离为10km. 15.解：由题意可知AC=12米，AB=20米，∠BCA=90°， :BC=VAB2-AC2=16米， “小汽车速度为品=32米/秒， :32米/秒=115.2千米/小时<120千米/小时， .不超速。 16,(1)解：：AE⊥BC,点E恰好是BC的中点， ·AE垂直平分BC, :AC=AB=15m,BE=BC=9m, :AB=VAB2-BE2=V152-g2=12m: (2)解：：CD=8m,AD=17m,AC=15m ·CD2+AC2=82+152=289,AD2=172=289, ·CD2+AC2=AD2, ÷∠ACD=90°， S四边形ABcp=S△4Bc+S△4cD=支BCAE+吉ACCD=克×18×12+克×15×8=168m2, 即这块空地的面积为168m2. 17.(1)解：：AC=300km,BC=400km,AB=500km, ·AC2+BC2=AB2, .△ABC为直角三角形， .∠ACB=90°； (2)解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作CD⊥AB于D点， S△ABc=专AC·BC=AB·CD, ∴.300×400=500CD, .CD=240km, :以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， .海港C会受到台风影响； (3)解：由(2)得CD=240km, 如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C,此时 △ECF为等腰三角形， FD ED=VEC2-CD2 =70km, .EF=140km, :台风的速度为30km/h, :140÷30=号h, :台风影响该海港持续的时间有号h。 18.(1)解：：0A=30cm,0B=15cm,∠A0B=90°， ÷AB=V0A2+0B2=V302+152=15V5cm: (2):0A=30cm,AA=13cm, :0A=0A-AA=30-13=17cm, A'B'=AB=15/5 cm.ZAOB=90, ·0B=AB2-0A7=V(155)2-172=2V209cm. ÷BB=0B'-0B=(2209-15)cm. 19.(1)解：延长AM到点N,使MN=AM, :点M为BC边上的中点， :BM=CM, 'MN=AM,∠CMN=∠BMA, :△CMN≌△BMA(SAS), .CN=AB=3,∠MCN=∠B, :∠BAC=90°， ∠B十∠ACB=90°， :∠ACN=∠ACB+∠MCN=90°， .∠ACN=∠CAB=90°， CN=AB,AC=AC, .△ACN≌△CAB(SAS), AN=BC=5 .AM=AN=: (2)解：在AD上取点N,使AN=AB, M :AM平分∠BAD, ∠BAM=∠NAM, AM=AM, △BAM≌△NAM(SAS), ∴BM=MN,∠BMA=∠NMA, ∠AMD=90°， ∠BMA+∠CMD=180°-90°=90o, ∠NMA+∠NMD=90o, ∴∠NMD=∠CMD, M是BC边的中点， :CM=BM, :CM=NM, DM=DM, △NMD≌△CMD(SAS), DN=CD=3, AN=AD-DN=8-3=5, AB=AN=5; (3)解：：△ABC和△BED是以点B为公共锐角顶点的两个等腰直角三角形， ∠ACB=∠BED=90°，AC=5,BE=3, BC=AC=5,DE=BE=3,∠ABC=∠BAC=45°，∠BDE=∠DBE=45°， 当D,E在AB同侧时： 如图，延长EM至点F,使得FM=EM,连接AF,CF, :DE所在的直线恰好经过点C, ∠BEC=180°-∠BED=90°， :M为AD中点， 同法可得△AFM兰△DEM, ·AF=DE=BE=3,∠MAF=∠MDE,MF=ME 设∠CBE=a,则∠BCE=90°-∠CBE=90°-， ∠ACD=∠ACB+∠BCE=90°+90°-X=180·-, .∠CAF=∠CAD+∠DAF=∠CAD+∠CDA=180°-∠ACD =180°-(180°-x)=x, ∠CAF=∠CBE, AC=BC,AF=BE, .△CAF≌△CBE(SAS), ·∠ACF-∠BCE,∠AFC=∠BEC=90°，CE=CF=VAC2-AF=52-32=4 .CD=4十3=7，∠FCE=∠FCB+∠BCE=∠FCB十∠ACF=∠ACB=90°， :AFIICD, :S△4m=CD×CF=青×7×4=14， :点M为AD的中点， S△4cw=支S△AcD=7; 当D,E在AB异侧时： 如图，延长EM至点N,使得NM=EM,连接AN,CN,设AC、ME交于点G, 同理可得△ANM兰△DEM, :AN=DE=BE=3,∠ANM=∠MED,AM=DM, :AN‖CE, 同理求得∠NAC=∠EBC, ·△ANC≌△BEC, ÷∠ANC=∠BEC=900,CN=CE=VBC2-BE2=52-32=4, ·CD=CE-DE=4-3=1, :AN‖DE, :S△cDA=支·CD·CN=克×1×4=2 :M为AD中点， 4S△4Cw=S△DA=支X2=1 综上：△ACM的面积为1或7， 20.解：(1)在Rt△ABC中，BC=VAB2-AC2 =V100-36 =8m; (2)由题意可知CD=AC-AD=5m, 在Rt△DCE中，CE=VDE2-CD2 =V100-25 =5V3m, ÷BE=CE-BC=(5V3-8)m, 即杆子底部滑动的距离为(5V5-8)m: (3)证明：在Rt△CDE中，DE2=CD2+CB2, 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2, 在Rt△ACE中，AB2=AC2+CE2, 在Rt△BCD中，BD2=CD2+CB2, AE2+BD2=AC2+CE2+CD2+CB2:DE2+AB2=CD2+CE2+AC2+BC2; ·AE2+BD2=DE2+AB2; (4)如图，延长BA、CD交于点M, M 、D C:∠ABC+∠BCD=90, .∠M=90o, 则由(3)中结论可知AC2+BD2 =AD2+BC2 =4+16 =20.