第19章二次根式 期末复习综合练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以二次根式概念为起点，通过运算技巧整合、数学思想渗透及实际应用拓展，构建“概念-运算-思想-应用”四层逻辑体系，突出抽象能力、运算能力与推理意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1/8题|最简二次根式判定、有意义条件分析|概念生成（定义→性质）| |运算技巧|单选2/15题|化简技巧（分母有理化、同类二次根式合并）、混合运算规则|运算推导（法则→应用）| |数学思想|17/19/20题|规律探究（归纳推理）、换元法、整体代入|思想迁移（代数→几何）| |实际应用|7/18题|几何面积计算（模型意识）、实际问题转化|应用拓展（数学→生活）|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第19章二次根式》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.V3 B.8 c.得 D.月 2.下列二次根式的计算中，正确的是() A.3V5-V3=3 8.5+万=10 c.V(-3)×(-5)=V-3×V-5D.10÷2=V5 3.把my一m3化简得() A.m2m B.m2m C.-m2m D.-m2-m 4.若y-Vx-2025=V2025-x-2026,则(x+y)2026的结果是() A.1 B.0 C.-1 D.2026 5.定义新运算：对于任意实数A,B,有A※B=A3-(B+2)2.若x为2V5-2的整数 部分，y为小数部分，则x※(y+1)的值为() A.-11 B.11 c.-9 D.9 6.若2x+3=V21,则x3+3x2-3x-1的值是() A.-1 B.0 C.1 D.21 7.如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积 为() 18 8 A.50 B.22 C.24 D.26 二、填空题 8.使代数式2一三有意义的x的取值范围是 9.二次根式V20与最简二次根式V2x+1可以合并，则x= 10.若√12n是一个整数，则n可取的最小正整数是 1.计算：(25+3)2025×(25-3)2026 12.化简(2-x)2-V9x2-36x+36= 13.定义新运算：a8b=b√-V√4ab,则2⑧1的运算结果是 14.我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分 别为a,b,c,三角形的面积S=}[a262-(=)]。 若a=4,b=万，c=3, 则s的值为 三、解答题 15.计算： 1W27-V12: 2W21×V万+(42-2W6)÷2W2 (V48-4)-(2-26.5): 4(5+3)(5-3)+(5-2)2 16.先化简，再求值：V2区唇.(V层÷侣)，其中实数、y满足 y=Vx-3+V6-2x+2. 17.观察下列各式V2+号=2W:V3+哥=3V昌；V4+=4y. (红)根据以上规律猜想5+=5√厚，a为正整数，则a=一 (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来.并注明n的取值范围. (3)证明你在(2)中写出的等式是正确的. 18.如图，长方形空地ABCD的长BC为√18m,宽AB为V⑧m,现准各在空地中划出长 FG为(V5+1)m,宽EF为（√5-1）m的小长方形EFGH(图中阴影部分)作为花卉实 验田 G (1)求整改后长方形空地的总周长，即长方形ABCD与EFGH的周长总和（结果化为最简）： (2)求长方形花卉实验田EFGH的面积（结果化为最简）. 19.阅读下列材料，然后回答问题. 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们 的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2,ab=一3，求a2+b我们可以把 a+b和ab看成是一个整体，令x=a十b,y=ab,则 a2+b2=(a+b)2-2ab=x2-2y=4+6=10这样，我们不用求出a,b,就可以得到 最后的结果. +巨，5-互 5+巨1-互 (1)计算： 5-23+2 -；5-2 3+2 (2)m是正整数，a= +1-V ,b=+1+回 Vm+1+Vm +1-Vm ,且2a2+1829ab+2b2=2025,求m: 3)已知x满足V15+x2-V19-x2=2,求V15+x2+V19-x2的值. 20.小芳在解决问题：已知3=2方，求2a2-8a十1的值.她是这样分析与解的： 2-5 a=2-68雨=2-5.a=2-5, (a-2)2=3,a2-4a+4=3,÷a2-4a=-1, .2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： a计第：+十中+…+2262025 2诺a=六、 ①求5a2-10a+2的值； ②求3a3-12a2+9a-10的值. 参考答案 1.解：对选项A.V满足两个条件，是最简二次根式，故A符合题意： 对选项B.、 ⑧=√4×2=22，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故B 不符合题意： 对选项C V得的被开方数含分母，不是最简二次根式，化简得√等=号，故C不符合题意： 对选项D. 停的被开方数含分母，不是最简二次根式化简得月=号，故D不符合题意。 2.解：对选项A,35-V5=3-13=25≠3，A错误. 对选项B,V3与万不是同类二次根式，不能合并，结果不等于V10,B错误， 对选项C,二次根式的被开方数必须为非负数，√一3和√一5无意义，正确运算为 -3)×(-5)=V5=V5×5,c错误， 对选项D,V0÷V2=10÷2=5,符合二次根式的除法法则，D正确. 3.解：：二次根式中被开方数非负， .-m3≥0， 解得m≤0， my-m3=mym2(-m)=mVm2√-m=mml·√-m=m(-m)√-m=-m2√-m 4.解：根据二次根式有意义的条件可得，x-2025≥0,2025-x≥0， :x≥2025，x≤2025， x=2025, :y-Vx-2025=V2025-x-2026,即y-0=0-2026, ÷y=-2026, :(x+y)2026=(2025-2026)2026=(-1)2026=1. 5.解：25-2=V12-2 9<12<16 :3<V12<4 1<V12-2<2 :x为2W3一2的整数部分，y为小数部分 x=1,y=2W3-2-1=2W3-3 x※(y+1) =1※(23-3+1) =1※(25-2) =13-(25-2+2)2 =1-(25)2 =1-12 =-11. 6.解：2x+3=V21 两边平方得(2x+3)=21 展开得4x2+12x十9=21 整理得4x2+12x=12,等式两边同除以4得x2+3x=3 ∴x3+3x2-3x-1 =xx2+3x)-3x-1 =3x-3x-1=-1 7.解：两个小正方形的边长分别为V⑧=2W2和V18=3V2, ∴大正方形的边长为22+3V2=5V2, ·大正方形的面积为(5V2)2=50, :图中阴影部分面积为50-8-18=24， 8.解：由题意，2-x>0,解得x<2. 9.解：：二次根式V20与最简二次根式V2x+1可以合并， :二次根式V20与最简二次根式V2x+1是同类二次根式， :V20=25, 2x+1=5, 8=2, 故答案为：2. 10.解：：V12n是一个整数，V12n=V4×3n=2V3m, 2V3n是一个整数，即V3n是一个整数， :3n为完全平方数， 又：n是正整数， ÷n可取的最小正整数为3， 1.解：(25+3)2025×(2W5-3)2026 =(25+3)2025×(25-3)2025×(22-3) =[(25+3)(25-3)]2025×(25-3） =(8-9)2025×(2V2-3) =(-1)×(22-3) =3-22. 故答案为：3-2W2. 12.解：根据题意可得：2-x≥0， 解得x≤2 做(V2-x)2=2-x V9x2-36x+36=V9(x2-4x+4)=9(x-2)2=3V(x-2)了， :X≤2 ∴x-2≤0， 故√9x2-36x+36=3引x-2=3(2-x), :(V2-x)2-V9x2-36x+36, =2-x-3(2-x), =2-x-6+3x, [ez+z××-,+:E-,(= -+8-se+:携) 永我 小+-= 年×？-手×列寺×节-师= (s0?-)-(卧中-8）：携() 9+2= \-z+L= 、器+4X 小÷(9？-)+小×I卧：耩() 趴=-=小-耩() L×6×卦= 89×釙= [4-L×9r]卧= [z（-)-4×9r]= [（©)(4小)×，]钋=s 血[：（)-9e]卧=S8=‘少=9=#：搏虹 小-=孙？-孙=I×?×小-小×I=⑧？ :散血q小-9=q⑧甲：搏江 市一？：4嵩易辨 市-？= =5-9+3-4W3+4 =3-43. 入 x-320 16.解：由题意得6-2x≥0’ 解得x=3, y=2, 2唇.(V图÷悟) =受.屡 =2x, “当x=3,y=2时，原式=V2×2×3=25. 17.(1)解：根据前3个式子，可得5+嘉=5V层： 故a为24 (2)解：①由前面式子得出：V+高=二(n≥2，且n为整数). (3)证明： Va+密 2-19+n =Vn2-1 受 =离 =V码(n≥2，且n为整数). 18.(1)解：长方形ABCD的周长为：2(BC+AB)=2V18+V⑧ =232+22=10V2m 长方形EGH的周长为：2(FG+EF)=2[5+1)+(5-1刃=2×25=45m. 总周长和为：10W2+4y3(m) (2)解：长方形EFGH的面积为：FG·EF=(5+15-1) =(32-12=3-1=2m2 答(1)整改后长方形空地的总周长为10W2+4V3m: (2)长方形花卉实验田EFGH的面积为2m2. 5+v23-2 19.(1)解： 3-23+W2 =1; +2+5-5 5-2T3+W2 (5+2 (5- =3-2W5++3+W25- =(5+)2+(5-2)2 =10: 故答案为：1,10 (2)解：：a= 1-叵，b=*1+回 Vm+1+Vm Vm叶1-Vm (m+1-@ @+1a+而=(Vm+1-血)2 b而=(m+i+a)月 (Vm+i+m) a+b=(Nm+1-a)2+(m+1+a)2=4m+2, ab=(m+1-m)(m+1+Vm)2=[(Vm+1-m)(m+1+a)]2=(m+1-m)= :2a2+1829ab+2b2=2025, .2(a+b)2+1825ab=2025, ÷(a+b)2=100, ÷a>0,b>0, .a+b=10, ÷4m+2=10, m=2; (3)解：设√15+x2=a,V19-x2=b, :V15+x2-V19-x2=2, a-b=2, a(a-b)2=(15+x2-9-x2)2=4, 15+x2-2W15+x2V19-x2+19-x2=4, V15+x2V19-x2=15,即：ab=15, :(a+b)2=(a-b)2+4ab, (a+b)2=4+4×15=64, :由题易知a≥0，b≥0， “a十b=8 即：V15+x2+V19-x2=8 1 20.(1)解：+3本E+4+5+…+20262025, 2-1 5-2 4-5 V2026-√2025 =(2+i2-五+5+2N5-2+4+164-月+.+(2026+2025N2026-2025, =2-1+5-V2+4-5+.+2026-2025, =-1+V2026; 2)解：a=高=5+1， aa-1=V2, (a-1)2=2,a2-2a+1=2, .a2-2a=1, ①5a2-10a+2=5(a2-2a)+2=5×1+2=7: ②3a3-12a2+9a-10=3a(a2-2a)-6a2+9a-10, =3a1-6a2+9a-10, =-6a2+12a-10, =-6(a2-2a)-10, =-6×1-10, =-16.