2025-2026学年人教版八年级数学下学期期末模拟卷（一）

**基本信息** 全面覆盖人教版八年级下册核心内容，以基础概念辨析与综合应用为双主线，融合几何直观与数据意识，体现从单一知识点到跨模块整合的逻辑进阶。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式与三角形性质|3题|概念辨析、性质判定|从最简二次根式定义到勾股定理应用，构建数与形的关联| |函数与几何综合|4题|图像识别、动态问题|一次函数图像与几何图形性质结合，发展空间观念与推理能力| |统计与数据分析|2题|加权平均、统计量计算|通过实际情境数据处理，培养数据意识与应用能力| |计算与证明应用|5题|公式应用、几何证明|海伦公式计算与四边形性质证明，强化运算能力与逻辑推理|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（一) 参考答案及评分标准 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 4 6 7 8 B D A A C B 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分)。 9. x≥2 10.8 11.x2-2 12. 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.(本小题10分)计算： 解：()2W5+V20-V45 =25+2V5-35 3分 =V5: 5分 1-5+(-224-6÷万 =5-1+1-6÷2 3分 =5-1+1-3 =0. 5分 四、解答题（本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。 14.(本小题7分) (1)抽取调查学生数为20÷0.4=50（人）， 成绩60~70学生的频率为m=15÷50=0.3 故本题答案为：50,03 2分 (②)成绩在80~90的频率求得频数m=50×0.2=10(人： 3分 第1页，共1页 +频数 20 20 15 15 10 4分 5 60708090100 成绩/分 (3)1200×(0.2+0.1)=360(人)： 6分 答：全校1200名学生中，获得“优秀”等次的学生约有360人.7分 15(本小题10分)》 (1) AB=AC=5,BC=6, p=+9=8, 2 3分 △ABC的面积S=V8(8-5)8-58-6=V144=12;5分 (2)如图 A D 6分 :△ABC的面积=专BC·AD, 号×6×AD=12, .8分 解得AD=4, 10分 16(本小题12分) (1)证明：：AB//CD, ·∠CAB=∠ACD, 1分 :AC平分∠BAD, ·∠CAB=∠CAD,.2分 ÷∠CAD=∠ACD, AD=CD.3分 AB=AD ÷AB=CD, 第1页，共1页 ·四边形ABCD是平行四边形.5分 AB=AD .四边形ABCD是菱形.6分 (②)解：由(1)得四边形ABCD是菱形 :∠DAB=60°，AC平分∠BAD,∠A0B=90 ÷∠0AB=300,7分 "AB=12, 40B=6,0A=0C=V22-62=65.8分 CE//BD,CD//AE, .四边形DBEC是平行四边形，10分 .CE=ED=20B=12,∠ACE=900, 0E=0C2+CE2 =65+122=65 12分 17(本小题12分) (1)解根据图象可知，乙的工作效率为200÷5=40（个h), ·y2与x之间的关系式为y2=40x.2分 (2):甲的工效为乙的两倍， ·甲的工作效率为2×40=80（个h), .m=80×1=80..4分 :20080-15, 80 n=5-1.5-3.56分 (3)令40x=80,则X=2。 当甲离开时， 根据题意，得40x-80=20, 解得X=2.5,8分 当甲返回车间继续工作后， 根据题意，得40x-[80x-3.5)十80]-20,10分 解得x=4.5, 第1页，共1页 综上，当x=2.5或4.5时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少20个12分 18(本小题13分) 解：（1)如图1，在正方形ABCD中，AB=2,E是对角线AC上一动点（不与点AC重合），连接DE,作 EF⊥DE交边BC或边BC的延长线于点F,以ED和EP为邻边构造矩形EFGD,连接CG. 作EQ⊥BC于点Q,EP⊥CD于点P, D E G B QF 图1 ·∠EQF=∠EPD=90°，∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD,AC平分∠BCD, ·四边形EQCP为正方形，1分 :∠QP=90°，QE=PE, :矩形EFGD中，∠FED=90·, ·∠QEP=∠FED, 则LQEP-∠FEP=∠FED-FEP, 即∠QEF=∠PD,2分 ·△EQF和△EPD中， I∠QEF=∠PED QE=PE LEQF=LEPD ·△EQF≌△EPD(ASA, ·EF=ED, :矩形EPGD是正方形， ·DE=DG,∠DG=90°， ·ADC=∠EDG, 则∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC, 即∠ADE=∠CDG, :△DAE和△DCG中， 第1页，共1页 (AD=CD ADE=LCDG」 DE-DG ÷△DAE≌△DCG(SAS,3分 ·∠DAE=∠DCG,AE=CG, :等腰直角△ACD中有∠DAE+∠DCA=90°， ÷DCG+∠DCA=90°， 即∠ACG=90°，AE1CG;4分 (②)如图2，过点E作NQ⊥AD,交AD于点N,交BC于点Q,过点E作MP⊥CD,交CD于点P,交AB于点M A N D MF- E B 图2 :四边形ABCD是正方形 ·AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90o, :四边形ABQN,NQCD,NEPD,EQCP是矩形， .NQ=AB=AD,NE=PD.5分 :对角线CA平分∠BCD, ∠ACB=45°，∠MAE=45°， ·△AME,△CEQ是等腰直角三角形， :四边形AMEN,EQCP为正方形， .EQ=CQ=ND.6分 :EP⊥DE, :DEN+∠QEF=90°. :∠QF+∠EFQ=90°， ·∠DEN=∠EFQ :DNE=∠EQF=90°，ND=EQ, ·△DNE≌△EQ FAAS, PD NE=QF,DE=EF, 第1页，共1页 ·四边形EFGD是正方形，8分 (1)可得AE=CG 设QF=PD=a,则BQ=ME=a, ·AE=CR=CG=2a. BQ +QF+CF=2, 即a+a+V2a=2, 解得a=2-V2, ÷BF=2a=4-22;10分 3):AE=x, ME=NE=V厚=号x 11分 又：BQ=ME=9x,QF=DP=NE=吾x, AB那=号9x+号x=2x, 12分 y=V2x.l3分 第1页，共1页 第1页，共1页 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（一） 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中属于最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.已知，，是的三边长，它们满足，则对三角形形状描述最确切的是(     ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3.如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为(     ) A. B. C. D. 4.一次函数的图象是(     ) A. B. C. D. 5.某校组织了“端午风华古韵今传”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分已知八班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是分，分，分，则该班的最终得分为(     ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 6.如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点若，，则的长为(     ) A. B. C. D. 7.某校学生为了解的普及程度，去周边小区抽取名居民进行每周使用人工智能问答如豆包、等次数的调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 人工智能问答次数次 人数人 那么关于这次每周使用人工智能问答情况的调查和数据分析，下列说法错误的是(     ) A. 众数是次 B. 中位数是次 C. 平均数是次 D. 样本容量是 8.如图，在四边形中，，是对角线的中点，点从点出发，沿方向匀速运动，到达点后停止设点的运动路程为，的面积为，得到如图所示的函数图象，则对角线的长为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是         ． 10.一个多边形的内角和与它的外角和之比为：，则这个多边形的边数是       ． 11.如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为       ． 12.如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为______． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： ． ． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力某校举行了主题为“珍爱生命，预防溺水”的知识竞赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据比赛成绩绘制了如下不完整的频数分布直方图和频数分布表每组包含最小值，不含最大值． 成绩 频数 频率 请根据上述统计图表，解答下列问题： 共抽取了______名学生进行调查，______； 补全频数分布直方图； 如果成绩分及以上者为“优秀”，请你估计全校名学生中，获得“优秀”等次的学生约有多少人？ 15.本小题分如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形的面积我国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，所以这个公式也被称为“海伦秦九韶公式”如图，在中，，． 用“海伦秦九韶公式”求的面积； 过点作的垂线，垂足为，求的长度． 16.本小题2分 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形； 若，且，求的长． 17.本小题12分某工厂车间内甲、乙两人需要完成相同数量的产品包装工作。他们同时开始工作，后甲离开车间一段时间后又返回车间继续工作，两人恰好同时完工。在包装过程中两人工效始终不变，且甲的工效为乙的两倍。设乙的加工时间为，甲包装的产品数量为个，乙包装的产品数量为个，其图象如图所示。 求与之间的关系式 求，的值 当为何值时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少个 18.本小题分 如图，在正方形中，，是对角线上一动点不与点、重合，连接，作交边或边的延长线于点，以和为邻边构造矩形，连接． 线段，的数量关系是______；位置关系是______． 如图，当时，求的长． 设，，求与之间的函数解析式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（一） 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中属于最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.已知，，是的三边长，它们满足，则对三角形形状描述最确切的是(     ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3.如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为(     ) A. B. C. D. 4.一次函数的图象是(     ) A. B. C. D. 5.某校组织了“端午风华古韵今传”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分已知八班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是分，分，分，则该班的最终得分为(     ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 6.如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点若，，则的长为(     ) A. B. C. D. 7.某校学生为了解的普及程度，去周边小区抽取名居民进行每周使用人工智能问答如豆包、等次数的调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 人工智能问答次数次 人数人 那么关于这次每周使用人工智能问答情况的调查和数据分析，下列说法错误的是(     ) A. 众数是次 B. 中位数是次 C. 平均数是次 D. 样本容量是 8.如图，在四边形中，，是对角线的中点，点从点出发，沿方向匀速运动，到达点后停止设点的运动路程为，的面积为，得到如图所示的函数图象，则对角线的长为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是         ． 10.一个多边形的内角和与它的外角和之比为：，则这个多边形的边数是       ． 11.如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为       ． 12.如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为______． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： ． ． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力某校举行了主题为“珍爱生命，预防溺水”的知识竞赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据比赛成绩绘制了如下不完整的频数分布直方图和频数分布表每组包含最小值，不含最大值． 成绩 频数 频率 请根据上述统计图表，解答下列问题： 共抽取了______名学生进行调查，______； 补全频数分布直方图； 如果成绩分及以上者为“优秀”，请你估计全校名学生中，获得“优秀”等次的学生约有多少人？ 15.本小题分如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形的面积我国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，所以这个公式也被称为“海伦秦九韶公式”如图，在中，，． 用“海伦秦九韶公式”求的面积； 过点作的垂线，垂足为，求的长度． 16.本小题2分 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形； 若，且，求的长． 17.本小题12分某工厂车间内甲、乙两人需要完成相同数量的产品包装工作。他们同时开始工作，后甲离开车间一段时间后又返回车间继续工作，两人恰好同时完工。在包装过程中两人工效始终不变，且甲的工效为乙的两倍。设乙的加工时间为，甲包装的产品数量为个，乙包装的产品数量为个，其图象如图所示。 求与之间的关系式 求，的值 当为何值时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少个 18.本小题分 如图，在正方形中，，是对角线上一动点不与点、重合，连接，作交边或边的延长线于点，以和为邻边构造矩形，连接． 线段，的数量关系是______；位置关系是______． 如图，当时，求的长． 设，，求与之间的函数解析式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣▣ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（一) 回 数学学科 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 [o] [0] [0] [o] [o] [0] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 [21 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3j [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 4] 5. 保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5 [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [61 [6] [6] 正确填涂 缺考标记 口 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 、 选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 二、 填空题：本题共4小题，共12分。 10. y 12. 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题7分) 频数 20 15 15 10 0 60708090100 成绩/分 囚囚■ 15.(本小题10分) B 16.(本小题12分) D 0 B E 囚囚■ ■ ■ 17. (本小题12分) y/个1 200 I h I 1 I I ■ 囚■囚 ■ 口 18.(本小题13分) D A D E月 0 E G F C B F 图1 图2 囚■囚 a 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（一） 全 解 全 析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中属于最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】A. ，不是最简二次根式，不符合题意；  B. 是最简二次根式，符合题意；  C. ，不是最简二次根式，不符合题意；  D. ，不是最简二次根式，不符合题意；  故选：． 根据最简二次根式的定义进行解题即可． 本题考查的是最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.已知，，是的三边长，它们满足，则对三角形形状描述最确切的是(     ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D  【解析】解：，且，，， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形． 故选：． 根据绝对值，偶次方，算术平方根的非负性可得，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可判断． 本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3.如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，， ，， 在中，， 故选：． 根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 4.一次函数的图象是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：在中，，， 函数图象经过一、二、四象限， 故选：． 根据一次函数的解析式可得，，即可解答． 本题考查一次函数的图象，掌握一次函数的图象是解题的关键． 5.某校组织了“端午风华古韵今传”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分已知八班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是分，分，分，则该班的最终得分为(     ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】A  【解析】解：根据加权平均数的计算公式可得： 分， 故选：． 根据加权平均数的计算公式，列出算式，计算即可求解． 本题考查了求加权平均数，理解题意是解题的关键． 6.如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点若，，则的长为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接， 四边形为矩形， ，，， 于点，且为的中点， 是的中线，即， ，， ，， ， ， ，即， ． 故选：． 连接，根据四边形为矩形，得出，，，又因为于点，且为的中点，则是的中线，即，根据勾股定理求出，，，，，又因为，得出，利用正切值，即，得出． 本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7.某校学生为了解的普及程度，去周边小区抽取名居民进行每周使用人工智能问答如豆包、等次数的调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 人工智能问答次数次 人数人 那么关于这次每周使用人工智能问答情况的调查和数据分析，下列说法错误的是(     ) A. 众数是次 B. 中位数是次 C. 平均数是次 D. 样本容量是 【答案】C  【解析】解：、由表中数据可知，次出现的次数最多， 众数是次，该选项说法正确，不合题意； B、将数据从小到大排列，中位数为第、个数据的平均数， 中位数为次，该选项说法正确，不合题意； C、， 平均数为次，该选项说法错误，符合题意； D、调查总人数为， 样本容量是，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 根据众数、中位数、平均数及样本容量的定义逐项判断即可求解． 本题考查了众数、中位数、平均数及样本容量，掌握以上知识点是解题的关键． 8.如图，在四边形中，，是对角线的中点，点从点出发，沿方向匀速运动，到达点后停止设点的运动路程为，的面积为，得到如图所示的函数图象，则对角线的长为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由图可知， 过作于点，过作于点， 则， 解得， 为中点， ， 在中，， ， 在中，； 故选：． 由图可知菱形边长为，当点运动到点时面积最大，此时根据面积求高，再利用中位线求解即可． 本题主要考查了动点函数图象分析，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是         ． 【答案】  【解析】解：由题可知，  ，  解得，  故答案为：． 根据二次根式有意义的条件二次根式里的被开方数不小于进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 10.一个多边形的内角和与它的外角和之比为：，则这个多边形的边数是       ． 【答案】  【解析】解：设多边形的边数是，则 ：：， 整理得， 解得． 故答案为：． 根据多边形的内角和公式，外角和等于，列式求解即可． 本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理并列出比例式是解题的关键． 11. 如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集 为       ． 【答案】  【解析】解：，即， 一次函数的图象在轴的下方， ， 故答案为：． 由，得到一次函数的图象在轴的下方，即可解答． 本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的方法是解题的关键． 12.如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为______． 【答案】  【解析】解：连接， 四边形是菱形， ，， 于点，于点， ， 四边形是矩形， ， 当取最小值时，的值最小， 当时，最小， ， ，， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，根据三角形的面积公式结论得到结论． 本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： ． ． 解：    ；        ． 先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可．  先化简绝对值，乘方，再算二次根式的除法，然后计算加减法即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力某校举行了主题为“珍爱生命，预防溺水”的知识竞赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据比赛成绩绘制了如下不完整的频数分布直方图和频数分布表每组包含最小值，不含最大值． 成绩 频数 频率 请根据上述统计图表，解答下列问题： 共抽取了______名学生进行调查，______； 补全频数分布直方图； 如果成绩分及以上者为“优秀”，请你估计全校名学生中，获得“优秀”等次的学生约有多少人？ 【答案】抽取调查学生数为人， 成绩学生的频率为． 故本题答案为：，． 成绩在的频率求得频数人， 人， 答：全校名学生中，获得“优秀”等次的学生约有人．  【解析】用的频数除以频率即可求得调查学生人数，的频数除以调查学生人数即可求得对应频率； 用调查学生人数乘以的频率求得频数，然后再补全条形统计图即可； 用全校学生数乘以和的频率之和即可． 本题主要考查了频数分布表、条形统计图、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 15.本小题分 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形的面积我国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，所以这个公式也被称为“海伦秦九韶公式”如图，在中，，． 用“海伦秦九韶公式”求的面积； 过点作的垂线，垂足为，求的长度． 【解析】，， ， 的面积； 如图， 的面积， ， 解得． 根据海伦秦九韶公式计算的面积； 利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长． 本题考查了二次根式的应用，三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了阅读理解能力． 16.本小题分 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形； 若，且，求的长． 证明：， ， 平分， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 解：由得四边形是菱形． ，平分， ， ， ，． ，， 四边形是平行四边形， ，， ．  【解析】根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可； 根据菱形的性质和勾股定理解答即可． 本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键； 17.本小题分 某工厂车间内甲、乙两人需要完成相同数量的产品包装工作。他们同时开始工作，后甲离开车间一段时间后又返回车间继续工作，两人恰好同时完工。在包装过程中两人工效始终不变，且甲的工效为乙的两倍。设乙的加工时间为，甲包装的产品数量为个，乙包装的产品数量为个，其图象如图所示。 求与之间的关系式 求，的值 当为何值时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少个 (1)解:根据图象可知,乙的工作效率为2005=40(个/h), 与x之间的关系式为=40x。 (2)甲的工效为乙的两倍, 甲的工作效率为240=80(个/h), m=801=80。 =, n=5-=。 (3)令40x=80,则x=2。 当甲离开时, 根据题意,得40x-80=20, 解得x=; 当甲返回车间继续工作后, 根据题意,得40x-[80(x-)+80]=20, 解得x=, 综上,当x=或时,甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少20个。 18.本小题分 如图，在正方形中，，是对角线上一动点不与点、重合，连接，作交边或边的延长线于点，以和为邻边构造矩形，连接． 线段，的数量关系是______；位置关系是______． 如图，当时，求的长． 设，，求与之间的函数解析式． 解：如图，在正方形中，，是对角线上一动点不与点、重合，连接，作交边或边的延长线于点，以和为邻边构造矩形，连接 作于点，于点， ，，，平分， 四边形为正方形， ，， 矩形中，， ， 则， 即， 和中， ， ≌， ， 矩形是正方形， ，， ， 则， 即， 和中， ， ≌， ，， 等腰直角中有， ， 即，； 如图，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． 四边形是正方形， ，， 四边形，，，是矩形， ，． 对角线平分， ，， ，是等腰直角三角形， 四边形，为正方形， ． ， ． ， ． ，， ≌， ，， 四边形是正方形， 由可得． 设，则， ． ， 即， 解得， ； ， ． 又，， ， ． 作于点，于点，根据正方形的性质与判定可得四边形为正方形，结合矩形的性质可得，减去一个公共角可得，即可证明≌，即可推得矩形是正方形，则有，减去公共角可得，可证≌，根据全等三角形对应角相等及等腰直角三角形性质即可证明； 过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点，证明≌，进而得出四边形是正方形，由可得设，则，根据，建立方程，即可求解． 由结合已知条件得出，则，进而即可求解． 本题考查的知识点是正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，函数关系式，解题关键是综合运用正方形、矩形、等腰三角形的性质及全等三角形的判定进行推理论证． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $