期末复习：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量讲义-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

期末复习：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量复习讲义 期末复习：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量复习讲义 考点目录 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 考点一 已知线面角求其他量 【知识点解析】 核心公式 直线方向向量 ，平面法向量 ，线面角 解题步骤 1. 建空间直角坐标系，设动点/参数坐标（如 、、）； 1. 写出直线方向向量 ，求平面法向量 ； 1. 代入已知 ，得到含参数的方程； 1. 解方程求出参数，再计算线段长度、高、比值等量。 常见题型 1. 已知线面角大小，求线段长度、高度； 1. 含参数直线，给定线面角求参数取值； 1. 动点在线段上，给定线面角求动点位置参数 。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.    (1)证明：平面BCM； (2)已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为. ①求线段PQ的长； ②若，求二面角的正弦值. 例2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，四面体中，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置． 例3．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)若，，，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图所示的多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥拼接而成的，四边形为直角梯形，，，，，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 变式2．（25-26高二下·江苏镇江·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，． (1)求点A到平面PBC的距离； (2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值． 变式3．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，是底面圆周上一点，与平面所成的角为30°，点，分别在，上，且平面. (1)求的值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 考点二 已知面面角求其他量 【知识点解析】 核心公式 两平面法向量 ，二面角为 1. 若 为锐二面角： 1. 若 为钝二面角： 解题步骤 1. 建系，设未知参数（棱长、动点参数、高度 等）； 1. 分别求出两个平面的法向量 （表达式带参数）； 1. 根据图形判断二面角是锐角还是钝角，带上对应符号/绝对值； 1. 代入已知 的余弦值，列方程解参数； 1. 用解出的参数求棱长、体积、线段长、点坐标等。 高频考法 1. 给定二面角度数，求几何体的棱长、高； 1. 动平面，给定二面角求动点参数； 1. 已知二面角余弦值，求体积、距离比值。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）如图， 平面， ， ， ， ， . (1)求证: 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)若二面角的余弦值为 ，求线段的长. 例2．（25-26高二下·江苏南京·月考）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二下·江苏盐城·月考）已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏淮安·月考）在三棱锥中，，平面平面ABC，，，． (1)证明：平面； (2)棱BC上是否存在点D，使得面与面的夹角为?若存在，求BD长度；若不存在，说明理由． 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·月考）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．    (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求BQ的长． 变式3．（25-26高二下·江苏无锡·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.    (1)证明：平面； (2)当二面角为时，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量复习讲义 期末复习：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量复习讲义 考点目录 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 考点一 已知线面角求其他量 【知识点解析】 核心公式 直线方向向量 ，平面法向量 ，线面角 解题步骤 1. 建空间直角坐标系，设动点/参数坐标（如 、、）； 1. 写出直线方向向量 ，求平面法向量 ； 1. 代入已知 ，得到含参数的方程； 1. 解方程求出参数，再计算线段长度、高、比值等量。 常见题型 1. 已知线面角大小，求线段长度、高度； 1. 含参数直线，给定线面角求参数取值； 1. 动点在线段上，给定线面角求动点位置参数 。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.    (1)证明：平面BCM； (2)已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为. ①求线段PQ的长； ②若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①2或；② 【分析】（1）先证平面，得，，再由线面平行的判定定理证明结论. （2）①建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由线面角的空间向量法求得值即得；②分别求出平面和平面的一个法向量，由面面角的空间向量法求解. 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面，所以，. 因为平面，平面，所以平面. （2）①以DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，    因为，所以，，，，， 设，则有，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 则， 因为与平面所成角的正弦值为是， 所以，解得或. 所以PQ的长为2或. ②因为，由①知，＝，，平面的一个法向量为. 又，，所以，， 设平面的法向量为，则，即 令，得，，所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. 例2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，四面体中，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的四等分点且靠近点位置 【分析】（1）根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合线面垂直的判定即可证明； （2）根据已知求证、、两两垂直，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. 【详解】（1）因为，为的中点，所以， 在和中， 所以，所以，又为的中点， 所以，又平面，， 所以平面. （2）因为，则，， 由且，所以是等边三角形， 由且，为的中点， 所以，在等腰直角中，则， 故，又且， 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以，， 设面的一个法向量为，则，取，则， 又，， 设，， 所以， 设与平面所成的角的正弦值为， 因为， 所以， 所以，解得， 所以为的四等分点且靠近点位置. 例3．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)若，，，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）根据题意，取中点为，连接，由面面垂直的性质定理可得平面，再由线面垂直的判定可得平面，从而得到结果； （2）根据题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，由条件可得，从而得到三棱锥的体积. 【详解】（1） 取中点为，连接，因为为等边三角形，所以， 且平面平面，平面平面，面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为为中点，所以，且，平面，所以平面， 且平面，所以平面平面. （2） 由（1）可知，且，，所以平面， 且平面，所以， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则可得， 即，， 设平面的法向量为， 则，则可得，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得，或，即或 当时，则， 所以. 当时，， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图所示的多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥拼接而成的，四边形为直角梯形，，，，，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定定理可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法可构造方程求得，再利用二面角的向量求法求得结果. 【详解】（1）由直三棱柱的性质知：， 分别为的中点，，， 平面，平面，平面. （2）由直棱柱的性质得：平面， 平面，，； 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得：，，； 设直线与平面所成角为， 则，解得：， 平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为， 则，令，解得：，，； ， 由图可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 变式2．（25-26高二下·江苏镇江·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，． (1)求点A到平面PBC的距离； (2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，可得，.后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离； （2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值. 【详解】（1）取AD中点O，连接OB，OP. ∵为等边三角形，∴，OA=1，. 又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD， 平面PAD，∴平面ABC. 又∵平面ABCD，∴. ∵，∴，∴. 又∵，平面POB， 平面POB，，∴平面POB. 又∵平面POB，∴. ∴， 设点A到平面PBC的距离为h， 则即，∴； （2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，. 设，则，. 得，则. 又平面ABC，则取平面ABCD的法向量. 设AE与平面ABCD所成的角为，则 ，解得. 则，. 设平面ADE的法向量，则. 令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量. 故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为. 变式3．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，是底面圆周上一点，与平面所成的角为30°，点，分别在，上，且平面. (1)求的值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面角定义先求证出到平面的投影落于点O，得出的结论，再以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，找出P、N、C三点坐标即可解出答案； （2）根据（1）坐标系，找出平面与平面的法向量，根据法向量与面面角关系即可解出答案. 【详解】（1）过作，垂足为，∵底面，平面， ∴平面平面，∴平面， ∴为直线与平面所成的角，即. ∴，点与点重合，即. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间 直角坐标系，则，，，，. 设，则，，. 故. ∵平面，∴，即， 即，解得，所以. （2）∵平面，∴是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为， 则，所以，取， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 考点二 已知面面角求其他量 【知识点解析】 核心公式 两平面法向量 ，二面角为 1. 若 为锐二面角： 1. 若 为钝二面角： 解题步骤 1. 建系，设未知参数（棱长、动点参数、高度 等）； 1. 分别求出两个平面的法向量 （表达式带参数）； 1. 根据图形判断二面角是锐角还是钝角，带上对应符号/绝对值； 1. 代入已知 的余弦值，列方程解参数； 1. 用解出的参数求棱长、体积、线段长、点坐标等。 高频考法 1. 给定二面角度数，求几何体的棱长、高； 1. 动平面，给定二面角求动点参数； 1. 已知二面角余弦值，求体积、距离比值。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）如图， 平面， ， ， ， ， . (1)求证: 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)若二面角的余弦值为 ，求线段的长. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，首先求解出平面的法向量，根据直线与平面所成角的正向量公式可求得结果； （3）设得到，可求解出平面的法向量，从而得到；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程，解方程求得结果. 【详解】（1）因为 平面， 平面，所以， 又，，， 所以平面； （2）以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系： 由题意得：，，，， ，， 设平面的法向量 ，令，则， 设直线与平面所成角为， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，则 设平面的法向量 ，令，则， 由（1）知，平面的法向量 又二面角的余弦值为 , ，化简可得：， 解得：或（舍去） 线段的长为： 例2．（25-26高二下·江苏南京·月考）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的长度为. 【分析】（1）根据余弦定理得到和，再由线面垂直的判定条件得到平面，然后证明平面，进而证明. （2）建立空间直角坐标系，根据点在棱上设出，再求出两个半平面的法向量，根据二面角的大小得到关于的方程，解方程即可求得点的位置. 【详解】（1）因为，， 所以根据余弦定理可得， 代入数值解得， 所以，所以. 又因为，M是BC的中点， 所以，， 所以在中，，， 解得， 所以，所以. 因为，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面， 所以. 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. （2）由（1）得，平面，， 所以以为原点，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， 根据三棱柱的性质可知，. 假设存在符合题意的点， 所以设 所以， 设平面的法向量为， 由，得到，取，所以， 所以平面的法向量为 而且平面的法向量为， 因为二面角的正弦值为，所以二面角的余弦值为， 所以，解得， 又因为，所以， 此时，所以. 综上，在棱上存在点P，使得二面角的正弦值为，的长度为. 例3．（25-26高二下·江苏盐城·月考）已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)不妨设， 因为平面平面，故， 在中，， 由余弦定理，， 得，故，则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以平面平面； (2) 【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质证明，利用勾股定理证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系， 则， 故， ，所以， 设，则，即， 所以； 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得，故． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏淮安·月考）在三棱锥中，，平面平面ABC，，，． (1)证明：平面； (2)棱BC上是否存在点D，使得面与面的夹角为?若存在，求BD长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，． 【分析】（1）由面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明即可； （2）由（1）得，，两两垂直，所以以B为原点，BC，BA所在的直线分别为x，y轴，以过点B与PE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CPA与平面的法向量，由二面角向量公式求解即可. 【详解】（1）证明：取AB中点E，连接PE，，则， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，且，平面PAB，平面， 所以平面． （2）由（1）得BC，BA，PE两两垂直，所以以B为原点，BC，BA所在的直线分别为x，y轴，以过点B与PE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，，，， 可得， ，，     设平面与平面的法向量分别为，， 由，得． 令，可得，， 所以， 又由，得 令，可得，， 所以，     面与面的夹角为， 解得：，     故存在点D使得面PAC与面PAD的夹角为，此时． 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·月考）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．    (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求BQ的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)1． 【分析】（1）取的中点M，先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得； （2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设 ，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点坐标，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解；法三：一作二证三求，设，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得. 【详解】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB． 在四棱台中，四边形是梯形，，， 又点M，P分别是棱，的中点，所以，且． 在正方形ABCD中，，，又，所以． 从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面； （2）在平面中，作于O． 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面． 在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则． 以为正交基底，建立空间直角坐标系． 因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以． 易得，，，，，所以，，．    法1：设，所以． 设平面PDQ的法向量为，由，得，取， 另取平面DCQ的一个法向量为． 设二面角的平面角为θ，由题意得． 又，所以， 解得（舍负），因此，． 所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1． 法2：设，所以． 设平面PDQ的法向量为，由，得，取， 另取平面DCQ的一个法向量为． 设二面角的平面角为θ，由题意得． 又，所以， 解得或6（舍），因此． 所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．    法3：在平面中，作，垂足为H． 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以． 在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG． 因为，，，PH，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，，所以是二面角的平面角． 在四棱台中，四边形是梯形， ，，，点P是棱的中点， 所以，． 设，则，， 在中，，从而． 因为二面角的平面角与二面角的平面角互补， 且二面角的正弦值为，所以，从而． 所以在中，，解得或（舍）． 所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1． 变式3．（25-26高二下·江苏无锡·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.    (1)证明：平面； (2)当二面角为时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据得到证明； （2）求出平面的法向量，根据二面角的大小列出方程，求出. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，，建立空间直角坐标系， 设， ∵， ，    设平面的一个法向量为， 则， 令得，故 ， 故平面； （2）平面的一个法向量， ， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $