期末复习：点到直线距离问题、点到平面距离问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

期末复习：点到直线距离问题、点到平面距离问题复习讲义 期末复习：点到直线距离问题、点到平面距离问题复习讲义 考点目录 点到直线距离问题 点到平面距离问题 考点一 点到直线距离问题 【知识点解析】 核心公式 设直线过点 ，方向向量 ，空间外一点 。 距离： 几何含义：平行四边形面积÷底边长 解题步骤 1. 在直线上任取一点 ，写出 坐标； 1. 求直线方向向量 ； 1. 计算在上的投影，求它的模长； 1. 由勾股定理得点到直线的距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解. 【详解】空间内三点，，，， 因为， 由， 所以， 所以点到直线的距离. 故选：D. 例2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量法求点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 例3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为_______， 【答案】 【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】，，， ，， 则点C到直线AB的距离为. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可. 【详解】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. 变式2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】/ 【详解】由，，， 可得，， 则，，与同方向的单位向量为， 则点到直线的距离为. 变式3．（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. 【答案】2 【详解】依题意，，所以点到直线l的距离 考点二 点到平面距离问题 【知识点解析】 核心公式 平面任意一点 ，平面法向量 ，外部点 ： 步骤 1. 建系，取平面内一点 ，写出向量 ； 1. 求平面两个不共线向量，解方程组得法向量 ； 1. 求数量积绝对值，除以法向量模长； 1. 结果即为垂线段距离。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为2，为棱的中点，为平面内的一点，在中，已知，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先根据条件确定点坐标，利用空间向量证明线面平行. （2）先求平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】（1）以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为棱的中点，所以. 因为为平面内的一点，且，所以可设，. 因为，所以. 所以. 所以. 又因为，，平面，且， 所以平面. 所以为平面的法向量. 因为，且平面， 所以平面. （2）因为，. 设平面的法向量为， 则，令可得. 所以. 所以点到平面的距离为. 例2．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【详解】（1） 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； （2）方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； （3） 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． 例3．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.    (1)试判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的余弦值； (3)求B到平面的距离. 【答案】(1)不垂直，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理判断. （2）先求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）利用点到平面距离的向量公式求解即可. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， 则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    由，得， ，而，即向量不垂直， 所以直线与直线不垂直. （2），设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量， 因此，由图知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）由（2）知平面的法向量，而， 所以B到平面的距离. 【变式训练】 变式1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正三棱柱中，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)通过证明平面，从而得到； (2)方法1，利用等体积法求解；方法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）在正三棱柱中， 因为是正三角形，是的中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）方法一： 在正中，因为，所以，． 连接，因为平面，所以是直线与平面的所成角， 所以，所以． 在正三棱柱中，，， 所以，． 在中，由余弦定理， 得，所以， 所以的面积． 设点到平面的距离是，则， 解得，所以点到平面的距离是． 方法二： 设，过作交于点， 由（1）平面，平面，所以． 又因为， 所以以为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． ,,, 设，因为平面， 所以是平面的一个法向量． 因为，所以，所以． 因为，， 设平面的法向量， 因为，令，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为，所以， 所以点到平面的距离是． 变式2．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在中，平面分别是线段的中点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量公式即可求解； （2）由点到平面距离的向量公式即可求解． 【详解】（1）因为平面， 所以以点为坐标原点，为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 分别是线段的中点， 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． （2）， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，所以， 点到平面的距离， 所以点到平面的距离为． 变式3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在正方体中，，，分别是，的中点．    (1)与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可） (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线面夹角的定义即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可． 【详解】（1）由正方体得，平面，四边形为正方形， 连接，则与平面所成角即为， 因为是中点，所以， 在中，．    （2）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 所以直线与所成角的余弦值为． （3）设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为．    2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：点到直线距离问题、点到平面距离问题复习讲义 期末复习：点到直线距离问题、点到平面距离问题复习讲义 考点目录 点到直线距离问题 点到平面距离问题 考点一 点到直线距离问题 【知识点解析】 核心公式 设直线过点 ，方向向量 ，空间外一点 。 距离： 几何含义：平行四边形面积÷底边长 解题步骤 1. 在直线上任取一点 ，写出 坐标； 1. 求直线方向向量 ； 1. 计算在上的投影，求它的模长； 1. 由勾股定理得点到直线的距离。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 例3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为_______， 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 变式3．（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. 考点二 点到平面距离问题 【知识点解析】 核心公式 平面任意一点 ，平面法向量 ，外部点 ： 步骤 1. 建系，取平面内一点 ，写出向量 ； 1. 求平面两个不共线向量，解方程组得法向量 ； 1. 求数量积绝对值，除以法向量模长； 1. 结果即为垂线段距离。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为2，为棱的中点，为平面内的一点，在中，已知，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 例2．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 例3．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.    (1)试判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的余弦值； (3)求B到平面的距离. 【变式训练】 变式1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正三棱柱中，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 变式2．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在中，平面分别是线段的中点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 变式3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在正方体中，，，分别是，的中点．    (1)与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可） (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $