期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 考点目录 线面角的向量求法 面面角的向量求法 考点一 线面角的向量求法 【知识点解析】 1. 定义范围 设直线与平面夹角为 ，。 直线方向向量 ，平面法向量 。 线面角是直线与其在平面内投影的夹角， 与 、 的夹角互余。 1. 计算公式 ⚠️ 易错：用正弦，不是余弦 1. 标准步骤 ① 建空间直角坐标系，写出直线上两点坐标，求方向向量 ； ② 在平面内取两组不共线向量，解方程组求出平面一个法向量 ； ③ 代入公式算出 ； ④ 写出角度（特殊角直接写度数，非特殊保留反三角函数）。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，且． (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)若点在线段上运动（不含线段端点），且．当直线与平面所成角最大值时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由面面夹角的余弦公式即可求解； （2）设，由线面夹角的向量公式即可求解． 【详解】（1）因为平面， 在菱形中，，所以，则为等边三角形， 取中点，所以，又，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 平面的一个法向量为， 得到， 设平面的一个法向量， 所以，即， 取，则，所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． （2）由题意得而点在线段上运动， 得到， 且， ， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 取，则， 所以， 设直线与平面所成角为，要使最大，即最大， 所以 ， 因为函数在上单调递减， 所以，则， 所以当时，取到最大值， 所以当直线与平面所成角取最大值时，的值为． 例2．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)①由题意得，， 在中，因为， 所以， 同理，， 在中，因为， 所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②. (2) 【分析】（1）①应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明即可； ②先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （2）先建系，再设点，再求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式结合值域计算求解； 【详解】（1）①略； ②以为原点，以所在直线分别为轴，以过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设与平面所成角为， 所以，所以与平面所成角的正弦值； （2）设，因为，所以， 所以，且，所以， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，所以， 设与平面所成角为， 所以， 设，所以， 令，所以 ，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是； 例3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面平面，，，是线段上异于点，的动点. (1)当是线段的中点时，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线定理，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）连接，交于点. 因底面为边长为2的正方形，则是的中点. 又是的中点，则得. 又平面， 平面，所以平面. （2） 取的中点，连接，易得. 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 故可以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 则. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，故可取. 因 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）由余弦定理求出，并利用勾股定理逆定理证得，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）由四边形为矩形，得，又，平面， 则平面，而平面，所以. （2）在中，， 由余弦定理得， 则，于是，由（1）得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得，又D为的中点， 则， 于是，设平面的法向量为， 则，取，得，， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． (1)证明：面平面； (2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等边三角形的中线性质与翻折前后的垂直不变性，证明垂直于平面，再由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点与向量的坐标，通过求解平面的法向量，利用线面角的向量公式计算出直线和平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，，由翻折性质，翻折至，垂直关系不变，故 ， 又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面. （2）如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，，又，所以即为二面角的平面角，即. 则，，，. ，，，设平面的法向量， 则，即，令，则，所以 ， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式3．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在三棱台中，，，，，，平面. (1)若平面平面，求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）先得到线面平行，由线面平行的性质得到线线平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值. 【详解】（1）因为，，所以为的中位线， 故，又，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以 （2）因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 考点二 面面角的向量求法 【知识点解析】 1. 定义范围 二面角平面角 ，两个平面法向量 。 1. 余弦公式 · 二面角 与法向量夹角相等或互补： · 锐二面角： · 钝二面角：（符号相同） 1. 判断锐钝方法 观察立体图形两个面张开形态： 开口小→锐角；开口大→钝角；垂直时 。 1. 解题步骤 ① 分别求两个平面的法向量 ； ② 计算法向量夹角余弦； ③ 看图判定二面角取原值还是绝对值； ④ 写出二面角大小。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． (1)当时，证明：平面平面； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用菱形的性质，线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）取中点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在菱形中，由，得是正三角形，由为中点，得， 在图二中，，由，得， 又平面，因此平面，由，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）由（1）得平面，取的中点为，连接，由，得为正三角形， 则，作，则平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 例2．（2026·江苏镇江·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，,,且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)在平面内作于点，连接． 由与，得， ∴． 又平面平面，平面平面， ，平面，∴平面． 又平面，∴． 又， 在中， ，即， ∴，故，即， 又，且，平面， ∴平面． ∵平面，∴， 又三棱柱中，四边形为平行四边形， 又，∴四边形为菱形，∴， 又，平面， ∴平面． (2) 【分析】（1）作于点，证明平面，得，求出，再由线面垂直的判定定理证平面，得，再由即可得证. （2）如图建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，， 以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 ， ， ， ， 则 ， 设为平面的一个法向量， 则， ． 由（1）知平面，且 ， 故令为平面的一个法向量． 记平面与平面夹角为， 故， 即平面与平面夹角的余弦值为． 例3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 设的中点为，连接，， 因为，是，的中点，所以在中，，， 因为为正方形，为中点，所以，， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）先证明出四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）因为平面，，平面，所以，， 在正方形中，， 所以以为正交基底建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以即 解得，取，得，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式训练】 变式1．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，，由面面垂直的性质证明平面，建立空间直角坐标系，根据空间向量求解即可； （2）先求出平面的法向量 ，利用空间向量的夹角公式求解即可． 【详解】（1）取的中点为，连接，． 因为，所以． 又因为平面，平面平面，且平面平面， 所以平面因为平面，所以． 因为，所以， 如图，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，， 得 ， ，， 则 ，由，则 ， 所以平面的法向量可以取 ． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． （2）设平面的法向量为，由（1）知， 则，即，令，可得，，即 ， 所以， 因为平面与平面的夹角为锐角，所以其余弦值为， 所以平面与平面的夹角的大小为． 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，且. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，根据异面直线所成角的余弦值求解即可. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦值即可求解. 【详解】（1）连接AC，底面ABCD是边长为的菱形，，故是等边三角形，. 以为原点，为轴，在平面内过点A作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 由，得.，. 因为，， 模长，. 所以异面直线所成角的余弦值为. （2）对平面，取向量，， 设法向量，由， 可取，. 对平面，取向量，， 设法向量，由， 可取，. 因此余弦值. 变式3．（2026·江苏苏州·三模）如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形.，，，，，. (1)证明：； (2)已知是线段上的一点，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理可得，再由面面垂直的性质可得平面，然后由线面垂直的性质即可证明； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求面面角，列式求出即可． 【详解】（1）因为，，， 所以，则， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）由（1）知，平面，因为平面， 所以，同理，又因为， 所以可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴正方向， 建立如下图所示空间直角坐标系， 得，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设， 则，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 由，得， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 考点目录 线面角的向量求法 面面角的向量求法 【知识点解析】 考点一 线面角的向量求法 1.定义范围 直与平面夹g00，引 直线方向向量s,平面法向量n。 线面角是直线与其在平面内投影的夹角，日与s、n的夹角互余。 2. 计算公式 sin=lcos(,n)n Is1-Inl △易错：用正弦，不是余弦 3.标准步骤 ①建空间直角坐标系，写出直线上两点坐标，求方向向量S: ②在平面内取两组不共线向量，解方程组求出平面一个法向量； ③代入公式算出sinθ： ④写出角度（特殊角直接写度数，非特殊保留反三角函数）。 【例题分析】 例1.(25-26高二下·江苏扬州阶段检测)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2, ∠ABC=120°，PDL平面ABCD,且PD=V6 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 M D (I)求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值： (2)若点M在线段PB上运动（不含线段端点），且PM=PB.当直线BC与平面ACM所成角最大值时，求入的 值. 创2.(2026江苏扬州模拟预测)如图，长方形4BCD中，B=25,8C=5,若E为线段CD的中点，将 △ADE沿AE翻折至△PAE, D Q)若PB-V6 ①证明：平面PAE⊥平面ABCE: ②求AB与平面PBE所成角的正弦值： (2)求PC与平面PAB所成角的正弦值的范围. 例3.(25-26高二下江苏苏州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，平面 PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E是线段PC上异于点P,C的动点 2 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 E (I)当E是线段PC的中点时，求证：PA/1平面BDE; (2)求直线PE与平面PBD所成角的正弦值， 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高二下江苏南京阶段检测)如图，在六面体ABCEF中，D为AB的中点，四边形CDFE为矩形， EC⊥BC,BC=6AB=6N2,∠ABC=45 且 >B D (I)求证：EC⊥AB, (2)若AE=10,求直线BF与平面AEF所成角的余弦值. 变式2.(25-26高二下江苏无锡期中)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,E为AB的中点，将△ADE 沿DE翻折至△ADE,得到四棱锥A-BCDE, E B E D (I)证明：面ABE⊥平面BCDE; (2)当二面角A'-DE-C为120°时，求CA'和平面ADE所成角的正弦值. 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 变式3.(24-25高二下江苏宿迁·期中)在三棱台 48C-ABG中，4C1CB,4C=CB=2C8,D=D丽 平面ABC AE=EBCD=CDCD⊥ B D DEB∩_ACB=MN (1)若平面 平面 DE//MN ,求证： 2求直线4C与平面4G 所成角的正弦值. 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 考点二 面面角的向量求法 【知识点解析】 1.定义范围 二面角平面角a∈[0，π]，两个平面法向量n1,n2。 2.余弦公式 n1'n2 cos(m.n 二面角Q与法向量夹角相等或互补： ·锐二面角：c0sc=cos(n1,n2川 。钝二面角：cosa=cos(n1,n2}(符号相同) 3.判断锐钝方法 观察立体图形两个面张开形态： 开口小→锐角；开口大→钝角；垂直时C0s=0。 4.解题步骤 ①分别求两个平面的法向量n1,n2: ②计算法向量夹角余弦： ③看图判定二面角取原值还是绝对值： ④写出二面角大小。 【例题分析】 例1.(25-26高二下江苏泰州阶段检测)已知菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2,E为AD中点，如图一所示， 现将△ABE沿着BE折起，使得点A到达点P,如图二所示. 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 P(4) E B 图一 图二 )当PD=V 2时，证明：平面P8C1平面PBE, (2)当PD=1时，求平面PBC与平面PCD所成角的余弦值， 例2.(2026江苏镇江模拟预测)如图，在三棱 ABC-ABG中，平面 B84+平面4BC,B=1C=M-5 3 AC=4V2,且c0s∠AAB= A C AC⊥ ABC (1)证明： 平面 (2)求平面 6G与平面48C夹角的余弦值。 例3.(25-26高二下江苏扬州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形， M,N分别是AB,PC的中点. 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 DL- M B (1)求证：MN∥平面PAD: (2)若PD=AD=2,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 【变式训练】 变式1.(2425高二上江苏南通阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD, PA=PD ABLAD AB=1 AD=2 AC=CD=5 D (I)求直线PC与平面PAB所成角的余弦值； (2)求平面PBC与平面PAB夹角的大小. 变式2.(25-26高二下·江苏徐州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ∠ABC=60,P1=LPM士平面48CD,且E=2硬 E B (I)求直线CE与直线PD所成角的余弦值： (2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值， 9 期末复习：线面角的向量求法、面面角的向量求法复习讲义 变式3.(2026·江苏苏州三模)如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形 ADIIBC,AB⊥BC, 4B-AD-78C-2.ABMEF 4B-EF 4F-BF2 2 (I)证明：CD⊥BF: V58 CM (2)已知M是线段CE上的一点，当平面BDF与平面ADM夹角的余弦值为29时，求CE的值. 10