6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦直线的方向向量与平面的法向量核心知识点，从长方体模型问题引入，系统梳理方向向量共线属性、法向量垂直定义，通过待定系数法等方法讲解求法，延伸至平面方程表示，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以实例驱动，结合正方体、四棱锥等模型培养直观想象，通过定义辨析、例题解析提升数学抽象与数学运算能力。母题探究与跟踪训练设计，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，体现用数学思维分析问题、用数学语言表达几何关系的学科特色。

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 课标要求 1.能用向量语言表述直线和平面（数学抽象）. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量（数学抽象）. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量（直观想象、数学运算）. 　　如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1. 【问题】　（1）能不能利用空间向量及一点确定直线AB在空间中的位置？ （2）怎样借助空间向量及一点来刻画空间平面的位置？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线的方向向量 　把直线l上的向量e（e≠0）以及与e　共线　的非零向量叫作直线l的方向向量. 　　提醒：与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 知识点二　平面的法向量 　如果表示非零向量n的有向线段所在直线　垂直于　平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作　n⊥α　.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量. 知识点三　平面方程的表示 1.在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示. 2.设平面α经过点P（x0，y0，z0），M（x，y，z）是平面α内任意一点，则平面α的法向量为n＝（A，B，C）的平面方程为　A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.（　√　） （2）在空间中，由直线l上的一定点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点.（　√　） （3）空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.（　√　） 2.〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　） A.（2，2，6） B.（1，1，3） C.（3，1，1） D.（－3，0，1） 解析：AB　＝（1，1，3），又（2，2，6）＝2（1，1，3）＝2，∴（1，1，3）和（2，2，6）均为直线l的方向向量，故选A、B. 3.已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（　　） A.（1，－1，1） B.（2，－1，1） C.（－2，1，1） D.（－1，1，－1） 解析：C　显然a与b不平行，设该平面的一个法向量为n＝（x，y，z），则有即令z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝（－2，1，1）. 题型一｜直线的方向向量 【例1】　在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为（0，0，1），直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）（答案不唯一）. 解析：∵DD1∥AA1，＝（0，0，1），∴直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）.∵BC1∥AD1，＝（0，1，1），∴直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）. 通性通法 直线方向向量的选取方法 （1）在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量； （2）与共线的非零向量均可作为直线的方向向量. 【跟踪训练】 1.已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（　　） A.0 B.1 C. D.3 解析：A　∵A（0，y，3）和B（－1，2，z），∴＝（－1，2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0. 2.已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线上的一点，若｜｜＝3，则点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）. 解析：设P（x，y，z），则＝（x，y－1，z－1），因为∥v，所以＝λv，即解得x＝λ，y＝z＝1，所以P（λ，1，1），｜｜＝＝3，解得λ＝±3.所以点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）. 题型二｜平面的法向量 【例2】　（链接教科书第29页例1）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），E，C（1，，0）， 于是＝，＝（1，，0）. 设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量， 则即所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝（，－1，）. 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（1，，0），所以＝（1，，－1），即为直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z）， 因为D（0，，0），所以＝（0，，－1）. 由即 所以令y＝1，则z＝. 所以平面PCD的一个法向量为n＝（0，1，）. 通性通法 利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的一个法向量为n＝（x，y，z）； （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量，； （3）列方程组：由列出方程组； （4）解方程组： （5）赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值（常取±1）； （6）得结论：得到平面的一个法向量. 【跟踪训练】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：是平面PAC的一个法向量. 证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0）， ∴＝（1，1，2），＝（－2，2，0），＝（－2，0，1）， ∴·＝－2＋2＝0， ·＝－2＋2＝0， ∴⊥，⊥，即OB1⊥AC，OB1⊥AP. ∵AC∩AP＝A，AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC， ∴OB1⊥平面PAC. ∴是平面PAC的一个法向量. 题型三｜平面方程的表示 【例3】　（链接教科书第30页例2）已知A（1，2，3），B（1，－1，－2），C（－1，0，0）. （1）写出直线BC的一个方向向量； （2）设平面α经过点A，且是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 解：（1）由题意知＝（－1－1，0－（－1），0－（－2））＝（－2，1，2）. 所以直线BC的一个方向向量为（－2，1，2）（答案不唯一）. （2）因为平面α经过点A（1，2，3），且M（x，y，z）是平面α内的任意一点， 则有＝（x－1，y－2，z－3）， 又因为是平面α的法向量， 所以⊥，从而·＝0， 即（－2，1，2）·（x－1，y－2，z－3）＝0， 整理可得2x－y－2z＋6＝0，即为所求. 通性通法 求平面方程的两种方法 （1）法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即n·＝0求解，其中n为平面的法向量，为平面内的任意向量； （2）待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，然后代入相关点解方程即可. 【跟踪训练】 　在空间直角坐标系中，已知点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），试求出经过A，B，C三点的平面的方程. 解：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0， 将点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4）分别代入，得∴2A＝3B＝4C， ∴取A＝6，得B＝4，C＝3，D＝－12， ∴经过A，B，C三点的平面的方程为6x＋4y＋3z－12＝0. 1.若A（0，2，1），B（3，2，－1）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A.（－3，0，－6） B.（9，0，－6） C.（－2，0，2） D.（－2，1，3） 解析：B　＝（3，0，－2）＝（9，0，－6），故选B. 2.已知向量a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x＝（　　） A.－1　　B.1或－1 C.－3　　D.1 解析：A　由题意得a∥b，所以解得x＝－1. 3.已知A（0，1，1），B（－1，1，1），C（1，0，0），则平面ABC的一个法向量为（　　） A.（0，1，－1） B.（－1，0，1） C.（1，1，1） D.（－1，0，0） 解析：A　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由＝（－1，0，0），＝（1，－1，－1），可得即取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝（0，1，－1）. 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面BCC1B1的一个法向量； （2）求平面A1BC的一个法向量. 解：由题意，得B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2），A1（0，0，2）， 则＝（－1，1，0），＝（0，0，2），＝（－1，0，2）. （1）设平面BCC1B1的一个法向量为n＝（x1，y1，z1），则即 取x1＝y1＝1，z1＝0，则n＝（1，1，0）， 所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝（1，1，0）. （2）设平面A1BC的一个法向量为m＝（x2，y2，z2），则即 取x2＝y2＝2，z2＝1，则m＝（2，2，1）， 所以平面A1BC的一个法向量为m＝（2，2，1）. 1. 在空间直角坐标系O-xyz中，下列向量是y轴方向向量的是（　　） A.（1，1，1） B.（0，－1，0） C.（1，2，0） D.（0，1，1） 解析：B　y轴方向向量可以表示为（0，k，0）（k≠0），所以（0，－1，0）是y轴方向向量. 2.已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝（3，1，2），则下列各点中，在平面α内的是（　　） A.P（1，－1，1） B.Q C.M D.N 解析：B　对于B，＝，则n·＝（3，1，2）·＝0，∴n⊥，则点Q在平面α内. 3.从点A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取线段长｜｜＝34，则B点的坐标为（　　） A.（18，17，－17） B.（－14，－19，17） C. D. 解析：A　设B点坐标为（x，y，z），则＝λa（λ＞0），即（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），因为｜｜＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17. 4.已知直线l1的方向向量a＝（2，4，x），直线l2的方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且a⊥b，则x＋y的值是（　　） A.－3或1 B.3或－1 C.－3 D.1 解析：A　由题意得解得或故x＋y＝－3或x＋y＝1. 5.在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是（　　） A.（1，1，） B.（1，，1） C.（1，1，1） D.（2，－2，1） 解析：A　因为P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），所以＝（1，0，－2），＝（－1，1，0），设平面PAB的一个法向量为n＝（x，y，1），由则解得所以n＝（2，2，1）.又（1，1，）＝n.因此，平面PAB的一个法向量为（1，1，）. 6.〔多选〕在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　　） A.平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0） B.平面B1CD的一个法向量为（1，1，1） C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） 解析：AC　∵＝（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝（－1，0，0），而（1，1，1）·＝－1≠0，∴（1，1，1）不是平面B1CD的法向量，∴ B不正确；∵＝（0，1，－1），＝（－1，0，1），（1，1，1）·＝0，（1，1，1）·＝0，B1C∩CD1＝C，B1C，CD1⊂平面B1CD1，∴（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；∵＝（0，1，1），而·（0，1，1）＝2≠0，∴（0，1，1）不是平面ABC1D1的法向量，∴D不正确. 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中： （1）直线AB的方向向量有8个； （2）平面AA1B1B的法向量有8个. 解析：（1）直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个. （2）平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个. 8.已知直线l1的一个方向向量为（－5，3，2），另一个方向向量为（x，y，8），则x＝－20，y＝12. 解析：∵直线的方向向量平行，∴＝＝，∴x＝－20，y＝12. 9.已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是x＋2y－3z＝0. 解析：由题意得e⊥，则·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝0，故x＋2y－3z＝0. 10.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE，AD的一个方向向量. 解：＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋＝a＋b＋c， 所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c. ＝＋＝＋ ＝＋ ＝＋＝b＋c， 所以直线AE的一个方向向量为b＋c. 11.〔多选〕已知平面α内两向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－1），且c＝ma＋nb＋（4，－4，1），若c为平面α的一个法向量，则（　　） A.m＝－1 B.m＝1 C.n＝2 D.n＝－2 解析：AC　c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋（0，2n，－n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－n＋1），由c为平面α的一个法向量，得得解得 12.若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝（x，y，z），则x∶y∶z＝2∶3∶－4. 解析：∵A，B，C，∴＝，＝.又∵∴解得∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶－4. 13.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（－3，4），且法向量为n＝（1，－2）的直线方程为1×（x＋3）＋（－2）×（y－4）＝0，即x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B（1，2，3），且法向量为m＝（－1，－2，1）的平面α的方程为x＋2y－z－2＝0. 解析：根据法向量的定义，得m⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥m.因为＝（1－x，2－y，3－z），m＝（－1，－2，1），所以（x－1）＋2（y－2）＋（3－z）＝0，即x＋2y－z－2＝0. 14.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系. （1）求平面ABCD的一个法向量； （2）求平面SAB的一个法向量； （3）求平面SCD的一个法向量. 解：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1）. （1）∵SA⊥平面ABCD， ∴＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量. （2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SAB， ∴＝（，0，0）是平面SAB的一个法向量. （3）在平面SCD中，＝（，1，0），＝（1，1，－1）. 设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z）， 则n⊥，n⊥， ∴ 得方程组 ∴ 令y＝－1，得x＝2，z＝1， ∴n＝（2，－1，1）. ∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量. （答案不唯一） 15.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）. （1）求证：是平面ABCD的法向量； （2）求平行四边形ABCD的面积. 解：（1）证明：因为·＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0，·＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. （2）因为｜｜＝＝， ｜｜＝＝2， ·＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6， 所以cos＜，＞＝＝， 故sin＜，＞＝， S▱ABCD＝｜｜·｜｜sin＜，＞＝8. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $