6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦直线的方向向量、平面的法向量及平面方程，通过长方体模型问题引入，从定义（方向向量为直线非零共线向量，法向量为垂直平面非零向量）到求法（待定系数法等），构建空间向量刻画几何位置的学习支架。 特色在于问题驱动与通性通法结合，以正方体、四棱锥为例，培养数学抽象、直观想象和数学运算素养。课中助力教师系统教学，课后练习题与提示帮助学生巩固，查漏补缺。

6.3　空间向量的应用 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 【基础落实】 知识点一 共线 知识点二 垂直于　n⊥α 知识点三 2.A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）√ 2.AB　＝（1，1，3），又（2，2，6）＝2（1，1，3）＝2，∴（1，1，3）和（2，2，6）均为直线l的方向向量，故选A、B. 3.C　显然a与b不平行，设该平面的一个法向量为n＝（x，y，z），则有即令z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝（－2，1，1）. 【典例研析】 【例1】　（0，0，1）　（0，1，1）（答案不唯一）　解析：∵DD1∥AA1，＝（0，0，1），∴直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）.∵BC1∥AD1，＝（0，1，1），∴直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）. 跟踪训练 1.A　∵A（0，y，3）和B（－1，2，z），∴＝（－1，2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0. 2.（－3，1，1）或（3，1，1）　解析：设P（x，y，z），则＝（x，y－1，z－1），因为∥v，所以＝λv，即解得x＝λ，y＝z＝1，所以P（λ，1，1），｜｜＝＝3，解得λ＝±3.所以点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）. 【例2】　解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），E，C（1，，0）， 于是＝，＝（1，，0）. 设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量， 则即所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝（，－1，）. 母题探究 　解：建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（1，，0），所以＝（1，，－1），即为直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z）， 因为D（0，，0），所以＝（0，，－1）. 由即 所以令y＝1，则z＝. 所以平面PCD的一个法向量为n＝（0，1，）. 跟踪训练 　证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0）， ∴＝（1，1，2），＝（－2，2，0）， ＝（－2，0，1）， ∴·＝－2＋2＝0， ·＝－2＋2＝0， ∴⊥，⊥，即OB1⊥AC，OB1⊥AP. ∵AC∩AP＝A，AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC， ∴OB1⊥平面PAC. ∴是平面PAC的一个法向量. 【例3】　解：（1）由题意知＝（－1－1，0－（－1），0－（－2））＝（－2，1，2）. 所以直线BC的一个方向向量为（－2，1，2）（答案不唯一）. （2）因为平面α经过点A（1，2，3），且M（x，y，z）是平面α内的任意一点， 则有＝（x－1，y－2，z－3）， 又因为是平面α的法向量， 所以⊥，从而·＝0， 即（－2，1，2）·（x－1，y－2，z－3）＝0， 整理可得2x－y－2z＋6＝0，即为所求. 跟踪训练 　解：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0， 将点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4）分别代入，得∴2A＝3B＝4C， ∴取A＝6，得B＝4，C＝3，D＝－12， ∴经过A，B，C三点的平面的方程为6x＋4y＋3z－12＝0. 随堂检测 1.B　＝（3，0，－2）＝（9，0，－6），故选B. 2.A　由题意得a∥b，所以解得x＝－1. 3.A　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由＝（－1，0，0），＝（1，－1，－1），可得即取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝（0，1，－1）. 4.解：由题意，得B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2），A1（0，0，2）， 则＝（－1，1，0），＝（0，0，2），＝（－1，0，2）. （1）设平面BCC1B1的一个法向量为n＝（x1，y1，z1）， 则即 取x1＝y1＝1，z1＝0，则n＝（1，1，0）， 所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝（1，1，0）. （2）设平面A1BC的一个法向量为m＝（x2，y2，z2）， 则即 取x2＝y2＝2，z2＝1，则m＝（2，2，1）， 所以平面A1BC的一个法向量为m＝（2，2，1）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 课标要求 1.能用向量语言表述直线和平面（数学抽象）. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量（数学抽象）. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量（直观想象、数学运算）. 　　如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1. 【问题】　（1）能不能利用空间向量及一点确定直线AB在空间中的位置？ （2）怎样借助空间向量及一点来刻画空间平面的位置？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线的方向向量 　把直线l上的向量e（e≠0）以及与e　　　的非零向量叫作直线l的方向向量. 　　提醒：与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 知识点二　平面的法向量 　如果表示非零向量n的有向线段所在直线　　　　平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作　　　　.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量. 知识点三　平面方程的表示 1.在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示. 2.设平面α经过点P（x0，y0，z0），M（x，y，z）是平面α内任意一点，则平面α的法向量为n＝（A，B，C）的平面方程为　　　　　　　　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.（　　） （2）在空间中，由直线l上的一定点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点.（　　） （3）空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.（　　） 2.〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　） A.（2，2，6） B.（1，1，3） C.（3，1，1） D.（－3，0，1） 3.已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（　　） A.（1，－1，1） B.（2，－1，1） C.（－2，1，1） D.（－1，1，－1） 题型一｜直线的方向向量 【例1】　在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　　，直线BC1的一个方向向量为　　　　. 通性通法 直线方向向量的选取方法 （1）在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量； （2）与共线的非零向量均可作为直线的方向向量. 【跟踪训练】 1.已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（　　） A.0 B.1 C. D.3 2.已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线上的一点，若｜｜＝3，则点P的坐标是　　　　. 题型二｜平面的法向量 【例2】　（链接教科书第29页例1）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量. 通性通法 利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的一个法向量为n＝（x，y，z）； （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量，； （3）列方程组：由列出方程组； （4）解方程组： （5）赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值（常取±1）； （6）得结论：得到平面的一个法向量. 【跟踪训练】 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：是平面PAC的一个法向量. 题型三｜平面方程的表示 【例3】　（链接教科书第30页例2）已知A（1，2，3），B（1，－1，－2），C（－1，0，0）. （1）写出直线BC的一个方向向量； （2）设平面α经过点A，且是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 通性通法 求平面方程的两种方法 （1）法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即n·＝0求解，其中n为平面的法向量，为平面内的任意向量； （2）待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，然后代入相关点解方程即可. 【跟踪训练】 　在空间直角坐标系中，已知点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），试求出经过A，B，C三点的平面的方程. 1.若A（0，2，1），B（3，2，－1）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A.（－3，0，－6） B.（9，0，－6） C.（－2，0，2） D.（－2，1，3） 2.已知向量a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x＝（　　） A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 3.已知A（0，1，1），B（－1，1，1），C（1，0，0），则平面ABC的一个法向量为（　　） A.（0，1，－1） B.（－1，0，1） C.（1，1，1） D.（－1，0，0） 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面BCC1B1的一个法向量； （2）求平面A1BC的一个法向量. 提示：完成课后作业　第六章　6.3　6.3.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $