期末复习：利用平行线的判定与性质探究角度关系复习讲义-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

期末复习：利用平行线的判定与性质探究角度关系复习讲义 期末复习：利用平行线的判定与性质探究角度关系复习讲义 知识点解析 一、基础定理 1. 平行线判定（由角推线平行） 1. 同位角相等 两直线平行 1. 内错角相等 两直线平行 1. 同旁内角互补 两直线平行 补充：垂直于同一直线的两条直线互相平行 2. 平行线性质（由线平行推角相等/互补） 已知 1. 同位角相等 2. 内错角相等 3. 同旁内角和为 二、通用解题思路 1. 找截线：锁定被第三条直线所截的两条目标直线； 1. 定角类型：分辨同位角、内错角、同旁内角； 1. 推理分两类： · 给角度大小 证平行（判定） 再导出其他角关系（性质） · 已知平行 直接用性质得角相等/互补 1. 复杂折线模型：过拐点作已知直线的平行线，拆分多组同位、内错角。 例题分析 例1．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， _______，______． 又， ______． 【问题解决】 (1)阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的数量关系，使问题得以解决． 【拓广延伸】 (2)如图②，已知，交于点M，，请探索和之间的数量关系； (3)如图③，若，点P不在与之间，请直接写出，，之间的数量关系． 例2．（25-26七年级下·广东江门·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯（探照灯的光束可近似看成一条射线），便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束与射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 例3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知直线，直线分别交于点E，F． (1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ； (2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数； (3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系． 例4．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)如图1，两直线m，n和直角三角形，其中，，，若，则的度数为_______； 【实践探究】 (2)如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，这个定值是__________． 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，如图3，过B作，请你完成后面的过程． 【拓展延伸】 (3)如图4，，点E在上，平分，，设，请直接用含的代数式表示． 变式训练 变式1．（25-26七年级下·山东济南·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 变式2．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 变式3．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，直线与线段、直线交于点B、E，，点F为直线上一点（不与点B，E重合），连接，过点F作射线，交于点G（G与D不重合）．       (1)若点F在线段上，且为钝角． ①补全图；②若，求的度数． (2)若点F在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 变式4．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在直角三角尺中，，点E在直线上，过点F作直线，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的角平分线与的角平分线交于点K，求的度数； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出与之间的数量关系． 实战演练 1．（25-26七年级下·江西九江·期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． 【初步体验】 (1)如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____； 【基础巩固】 (2)如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由； 【强化应用】 (3)如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点放在上．若，，请写出与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由． 2．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺中，，顶点在直线上． 【初步感知】 (1)如图①，直线交直角三角尺的边于点，若，，则直线与的位置关系是___________； 【问题探究】 (2)如图②，若，点B，D为直线和直线上任意一点，探究、与的数量关系．并说明理由． (3)如图③，利用（2）所得的结论，过直角三角尺的顶点作，平分平分，则= °； 【拓展延伸】 (4)如图④，将直角三角尺绕顶点转动，过点作，在转动过程中，当点F在直线CD的上方时，直接写出与之间存在的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：利用平行线的判定与性质探究角度关系复习讲义 期末复习：利用平行线的判定与性质探究角度关系复习讲义 知识点解析 一、基础定理 1. 平行线判定（由角推线平行） 1. 同位角相等 两直线平行 1. 内错角相等 两直线平行 1. 同旁内角互补 两直线平行 补充：垂直于同一直线的两条直线互相平行 2. 平行线性质（由线平行推角相等/互补） 已知 1. 同位角相等 2. 内错角相等 3. 同旁内角和为 二、通用解题思路 1. 找截线：锁定被第三条直线所截的两条目标直线； 1. 定角类型：分辨同位角、内错角、同旁内角； 1. 推理分两类： · 给角度大小 证平行（判定） 再导出其他角关系（性质） · 已知平行 直接用性质得角相等/互补 1. 复杂折线模型：过拐点作已知直线的平行线，拆分多组同位、内错角。 例题分析 例1．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， _______，______． 又， ______． 【问题解决】 (1)阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的数量关系，使问题得以解决． 【拓广延伸】 (2)如图②，已知，交于点M，，请探索和之间的数量关系； (3)如图③，若，点P不在与之间，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点M作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：和之间的数量关系为，理由： 过点M作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 例2．（25-26七年级下·广东江门·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯（探照灯的光束可近似看成一条射线），便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束与射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【答案】(1) (2)灯转动秒或秒时，两灯的光束互相平行 (3)与的数量关系不发生变化，其数量关系为：． 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差关系，平角的定义的运用，解决问题的关键是运用分类讨论思想进行求解，解题时注意利用角的和差关系．（1）根据平角的定义和题目已知条件，得出，即可得解；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分三种情况进行讨论：①在灯射线转到之前，时，②在灯射线转到之后，时，③当时，分别求得的值即可；（3）设灯射线转动时间为秒，得出，，可得与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． （2）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①在灯射线转到之前，，如图3， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵灯转动的速度是，灯转动的速度是， ∴， 解得；； ②在灯射线转到之后，又从转到时，，如图4， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵灯转动的速度是，灯转动的速度是， ∴， 解得；； ③同理，当，， 解得；（不合题意）， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：与的数量关系不发生变化．理由如下： 设灯转动时间为秒，如图5， ∵， ∴， 又∵，过点作， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知直线，直线分别交于点E，F． (1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ； (2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数； (3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)和之间存在的数量关系为 或 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质，内错角相等，求出，利用内错角相等得到，从而得到最终答案； （2）过点T作，利用平行线与角平分线的性质得到对应角相等，再进行等量代换进行求解； （3）因为点在直线上，所以先对点的位置进行分类，再过点作平行于的辅助线，然后利用平行线和角平分线的性质得到对应角相等，最后通过等量代换进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图③，过点T作，则， ∴，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：设， . ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，； ①如图④-1，当点Q在线段EF上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴， ∴． ②如图④-2，当点Q在的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴； ③如图④-3，当点Q在EF的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∴， ∴， 综上所述，和之间存在的数量关系为 或． 例4．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)如图1，两直线m，n和直角三角形，其中，，，若，则的度数为_______； 【实践探究】 (2)如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，这个定值是__________． 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，如图3，过B作，请你完成后面的过程． 【拓展延伸】 (3)如图4，，点E在上，平分，，设，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）根据平角的定义和平行线的性质求解即可； （2）根据“过拐点作平行线”的思路，作，即可得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求解； （3） 过点作， 延长，设，根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】（1）解：如图， ， ， ∵， ， ； （2）解：，理由如下，如图，过作， ∵， ∴， 则， ， ， 即， ； （3）解：如图， 过点作， 延长， 设， ， ∴， ，， ∵平分，， ∴， ∴， 同理：． 变式训练 变式1．（25-26七年级下·山东济南·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 【答案】(1) (2)与之间的数量关系为，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点F作平行于的直线，利用平行线的内错角相等，将和转化为同一个角的两部分． （2）利用推出，再利用平行线的性质即可求证． （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】（1）解：过点F作， ， ， ，， ． （2）解：设， 与是对顶角， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）∵， ∴设， 过点M作， ， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 变式2．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得，再由对顶角相等，可得，这样即可证明； （2）过点分别作的平行线，由可得再根据可计算出，然后再根据两直线平行，内错角相等，即可求出； （3）过点作的平行线，过点作作的平行线，首先利用平行线的内错角相等，将转化为，并将转化为，从而得出与、的关系，接着利用得到与、的关系。最后结合题目给出的条件以及角平分线的定义，通过代数运算和等量代换，最终推导出，从而证明平分． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：如图，过点分别作的平行线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：过点作的平行线，过点作的平行线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， 平分． 变式3．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，直线与线段、直线交于点B、E，，点F为直线上一点（不与点B，E重合），连接，过点F作射线，交于点G（G与D不重合）．       (1)若点F在线段上，且为钝角． ①补全图；②若，求的度数． (2)若点F在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①见详解；② (2) 【分析】（1）①依题意补全图形即可． ②作，由平行线的性质得，由垂直的定义得，进而求出，再证，根据平行线的性质可得答案． （2）作，同（1）利用平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：． 如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 即． 变式4．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在直角三角尺中，，点E在直线上，过点F作直线，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的角平分线与的角平分线交于点K，求的度数； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作，如图，根据平行线的判定和性质证明，即可得出答案； （2）同（1）题的方法可得，再结合角平分线的定义和（1）题的结论即可得解； （3）分两种情况，作，利用平行线的判定和性质解答即可. 【详解】（1）解：作，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：同（1）的方法可得， ∵的角平分线与的角平分线交于点K， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 当点H在线段上时，如图，作， ∴，， ∵， ∴ ∴； 当点H在射线上时，如图，作， ∴，， ∵， ∴ ∴； 综上，或. 实战演练 1．（25-26七年级下·江西九江·期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． 【初步体验】 (1)如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____； 【基础巩固】 (2)如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由； 【强化应用】 (3)如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点放在上．若，，请写出与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由． 【答案】(1)40 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，有关三角板的角度计算． （1）由平行线的性质求得，根据平角的性质列式计算即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质结合平角的性质，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺中，，顶点在直线上． 【初步感知】 (1)如图①，直线交直角三角尺的边于点，若，，则直线与的位置关系是___________； 【问题探究】 (2)如图②，若，点B，D为直线和直线上任意一点，探究、与的数量关系．并说明理由． (3)如图③，利用（2）所得的结论，过直角三角尺的顶点作，平分平分，则= °； 【拓展延伸】 (4)如图④，将直角三角尺绕顶点转动，过点作，在转动过程中，当点F在直线CD的上方时，直接写出与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)45 (4) 【分析】（1）根据对顶角相等得到，再由同旁内角互补证明直线平行即可； （2）如图：过作，则，由平行线的性质可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）利用（2）的结论可得，再根据角平分线的定义得到，再利用（2）的结论可得即可解答； （4）设．如图，过点F作．易得可得，再利用角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：由（2）的结论可得：， ∵平分平分， ∴， ∴， 利用（2）的结论可得：． （4）解：设． 如图，过点F作． ∵， ∴． ． ． ， ． ， ∴与之间存在的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $