专题02相交线与平行线 期末复习讲义（26大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题02相交线与平行线 期末复习讲义 期末复习◆重点 熟练运用对顶角、邻补角、垂线的性质完成角度计算，掌握垂线段最短与点到直线距离的定义。 精准识别同位角、内错角、同旁内角，明晰平行线判定与性质的区别，规范几何推理书写。 熟记平行公理及其推论，拐角类计算题采用过拐点作平行线的思路拆分角度求解 核心题型◆归纳 题型1.平面内两直线的位置关系 题型2.立体图形中平行的棱 题型3.相交线 题型4.对顶角的定义 题型5.对顶角相等 题型6.求一个角的余角 题型7.求一个角的补角 题型8.与余角、补角有关的计算 题型9.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型10.垂线的定义理解 题型11.画垂线 题型12.垂线段最短 题型13.点到直线的距离 题型14.同位角、内错角、同旁内角 题型15.同位角相等证两直线平行 题型16.直尺三角板画平行线 题型17.平行公理的应用 题型18.平行公理推论的应用 题型19.内错角相等证两直线平行 题型20.同旁内角互补证两直线平行 题型21.垂直同一直线的两直线平行 题型22.平行线三大性质的应用 题型23.平行线判定与性质综合求角度 题型24.平行线性质在生活中的应用 题型25.根据平行线性质探究角的关系 题型26.平行线判定与性质综合证明 重点知识◆梳理 【知识点一、对顶角】 定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． 性质：对顶角相等． 【知识点二、余角和补角的定义】 余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．如下图：∠1+∠2=90°，∠1与∠2互为余角. 补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．如上图：∠3+∠4=180°，∠3与∠4互为补角. 重点提示：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等． 【知识点三、垂线】 垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O． （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB． 垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）． 垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【重点提示】（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【知识点四、同位角、内错角、同旁内角的概念】 “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如下图． 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图， 同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． 同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角． 【知识点五、平行线的定义及画法】 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如下图直线A与B平行，记作A∥B． 【重点提示】（1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【平行线的画法】 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合． ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边． ③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点． ④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行． 【知识点六、平行公理及推论】 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． a∥b,b∥c⇒a∥c（平行传递）； 【知识点七、直线平行的判定】 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 几何语言：∵   ∠1＝∠2∴ a∥b 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 几何语言：∵   ∠1＝∠2 ∴   a∥b 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言：∵   ∠1＋∠2＝180°∴   a∥b 【知识点八、两直线平行的性质】   性质1：两直线平行，同位角相等； 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠2   性质2：两直线平行，内错角相等； 几何语言：∵a∥b，∴∠3=∠4   性质3：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言：∵a∥b，∴∠1+∠2=180° 【知识点九、平行线经典模型】 铅笔头模型（拐点向内） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向内凹陷，形成封闭图形； 核心结论：拐点处所有角的和为360°； 解题关键：过每个拐点作平行线，结合 “同旁内角互补” 推导。 猪蹄模型（拐点向外） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向外凸起，呈 “Z” 型； 核心结论：拐点处两个相关角相等（单拐点）；多拐点时，对应角的和相等； 解题关键：过拐点作平行线，结合 “内错角相等” 推导。 鹰嘴模型（拐点向上 / 向下） . 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向上或向下凸起； 核心结论：拐点处的角等于另外两个相关角的差； 题型解析◆精准备考 题型1.平面内两直线的位置关系 1．下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、平行线性质，逐个判断各说法的正误，统计正确的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则，则其补角为，余角为， ， ， 即一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，空间中还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“过直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 2．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都在格点上．连接点A、B得线段． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，共可得________条线段，在图中画出来； （2）在（1）中所连得的线段中，与平行的线段是________； （3）用三角尺或量角器度量、检验，及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？（请用“”表示出来）________． 【答案】 ，见详解 ，共3对， 【分析】本题考查了平行线的定义，垂线的定义，线段的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，且结合线段的定义，进行列式计算，即可作答． （2）运用数形结合思想以及平行线的定义，进行分析，即可作答． （3）用三角尺或量角器度量、检验，且结合垂线的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）连接C、D、E、F中的任意两点，则有条线段， ∴共可得条线段，如图所示： 故答案为：； （2）观察图中信息，结合网格特征，得在（1）中所连得的线段中，与平行的线段是； 故答案为：； （3）用三角尺或量角器度量、检验，及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有，共3对． 故答案为：，共3对． 3．如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，根据网格的特点可得，，再证明即可得到答案． 【详解】解：延长，由网格的特点可知交于M，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 题型2.立体图形中平行的棱 1．观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 2．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有_________条，这些棱都互相_________． 【答案】 4 平行 【分析】本题考查长方体棱的位置关系，解题关键是明确长方体棱的分组及垂直、平行的定义． 根据长方体的性质，与地面垂直的棱是竖直棱，数量为4条，且这些棱都互相平行． 【详解】教室的形状为长方体，长方体共有12条棱，分为长、宽、高三组，每组各4条． 地面可看作长方体的一个底面，与地面垂直的棱是连接底面和顶面的4条高，这4条棱垂直于底面所在平面． 因为这4条棱的方向完全相同， 所以它们互相平行． 综上，与地面垂直的棱有4条，这些棱都互相平行． 故答案为：4，平行． 3．如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【详解】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2） 解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 题型3.相交线 1．下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，交点叫做垂足 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线和相交线的性质， 根据垂直定义，相交和平行线的性质解答． 【详解】解：一条直线的平行线有无数条，所以A不正确； 因为平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以B正确； 因为过一点向一条直线作垂线，交点叫做垂足，所以C不正确； 因为过直线上一点可以作无数条直线和这条直线相交，所以D不正确． 故选：B． 2．三条直线相交，最多可以组成_______个直角． 【答案】12 【分析】本题考查了直线相交后角的个数问题，垂直定义．解题的关键是熟练掌握直角的定义．根据两条直线相交最多可以出现4个直角，得出三条直线相交，每两条直线都互相垂直时，最多出现的直角个数即可． 【详解】解：两条直线相交且互相垂直时，最多可以出现4个直角，先让两条直线互相垂直得到4个直角，在空间内，再让第三条直线与前面的两条直线都互相垂直，这样又可以得到个直角， ∴三条直线相交，最多可以组成个直角． 故答案为：12． 3．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义等知识，根据可得，问题随之得解． 【详解】位置关系：． 理由如下：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 题型4.对顶角的定义 1．下列图形中，和是对顶角的是（     ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据此定义进行判断即可. 【详解】解：A、和是对顶角，故本选项符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和不是对顶角，故本选项不符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意. 2．如图，与相交于点O，把分成两部分，则的对顶角为___________． 【答案】 【分析】根据对顶角定义进行求解即可． 【详解】解：的对顶角为． 3．如图，直线与相交于点，． (1)的对顶角是___________，的邻补角是___________； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据对顶角和邻补角的定义解答即可； （）根据邻补角的性质求出，再根据互余的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点，， ∴的对顶角是，的邻补角是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴． 题型5.对顶角相等 1．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据定义，分类画图求解即可； 【详解】解：如图，根据题意，得， ， ， ； 如图，根据题意，得， ， ， ； 故的度数为或； 2．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 【答案】/130度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，直线，，相交于点，，平分，，求的度数． 解：直线，相交于点（已知）， （___________）， （已知）， ， ， （___________）， ___________， 平分， ___________（___________）， ___________ ______________________ ___________． 【答案】见解析 【分析】根据对顶角的性质，垂直的定义，角平分线的性质和角度的相关计算解答即可． 【详解】解：直线，相交于点（已知）， （对顶角相等）， （已知）， ， ， （垂直的定义）， ， 平分， （角平分线的性质）， ． 题型6.求一个角的余角 1．若一个角等于它的余角，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出这个角的度数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 根据余角的定义，它的余角为， ∵这个角等于它的余角， ∴， 解得， 即这个角的度数为． 2．已知，与互余，则______． 【答案】 【详解】解：∵，与互余， ∴． 3．如图，直线，交于点，，平分，若，求． 【答案】 【分析】由，可以求解出，又有，则，而平分，可求解出，最后由与互补，即可得到答案． 【详解】解：∵直线，交于点，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型7.求一个角的补角 1．已知，则的补角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互为补角的两个角的和为，代入数值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 2．一个角的补角比它大，则这个角的度数为_______°． 【答案】50 【分析】本题考查了补角的定义，设所求的角为度，则它的补角为度，根据题意列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为度，则它的补角为度， 由题意，得： ， 解得：． 3．如图，，过O点作射线． (1)请画出的平分线； (2)如果，射线、分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线表示_________方向； (3)在（1）的条件下，当时，在图中找出所有与互补的角，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)北偏西 (3)，，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义画图即可； （2）过点O作，根据垂直的定义以及角平分线的定义求出与，然后求出，然后根据方位角的定义解答即可； （3）利用平角的定义可得，利用角平分线的定义求出，然后求出，从而得解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，过点O作， ∵， ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴射线表示北偏西方向； （3）解：∵ ∴，即与互补； ∵平分 ∴ ∴ ∴，即与互补， 综上，与互补的角有，． 题型8.与余角、补角有关的计算 1．如图，直线、交于点，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等求出的度数，再根据垂直的定义得出，最后利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 2．已知与互余，与互补，若，则的度数是______． 【答案】/140度 【分析】本题考查与余角、补角有关的计算，先根据互余的两个角的和为，求出的度数，再根据互补的两个角的和为计算即可得解． 【详解】解：与互余，， ， 与互补， ． 3．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的数量关系是_________，依据是________； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) 【分析】（1）由垂直的定义，依据同角的余角相等即可得到答案； （2）由已知条件和平角定义列方程求解得到，再结合对顶角相等求出，最后由垂直的定义，数形结合表示出要求的角度即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则，依据是同角的余角相等； （2）解：，， ， 则， ， ， ． 题型9.同(等)角的余(补)角相等的应用 1．如图，点在直线上，，，则下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C． D．与互补 【答案】D 【分析】根据垂线定义，得出，根据余角的定义，余角的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴与互余，与互余， 无法说明与互补，故D错误，符合题意． 2．如图，直线与相交于点O，∴，，∴，在此推理过程中，与相等的理由是__________． 【答案】同角的补角相等 【分析】本题考查了补角的性质，根据同角的补角相等解答即可． 【详解】∵直线与相交于点O， ∴，， ∴， 在此推理过程中，与相等的理由是同角的补角相等． 故答案为：同角的补角相等． 3．如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 【答案】(1) (2)将逐渐增大，理由见解析 【分析】（1）由同角的余角相等即可得到答案； （2）按照题意，作出图形讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：和均为直角， ， 则； （2）解：将逐渐增大． 理由如下： 若逐渐增大，应顺时针旋转，则可知最大值为，如图所示： 若继续旋转，将逐渐减小，与题中所给条件矛盾， 若逐渐增大，则将逐渐增大． 题型10.垂线的定义理解 1．如图，直线，相交于点O， 射线平分，．  若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用角平分线的性质得出，进而利用垂直的定义得出的度数． 【详解】解：平分，， ， ， ， ． 2．如图，已知，垂足为平分，__________． 【答案】/度 【分析】根据邻补角求得，根据角平分线的定义求得，根据垂直的定义可得，进而求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，直线相交于点平分平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义，角的和差关系求出，即可得证； （2）根据角平分线的定义，求出 ，进而求出，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ； （2）解：平分 ， ， ， 平分， ． 题型11.画垂线 1．如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由垂线的定义可知，只有C选项中的画图正确，符合题意． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据网格线的特征画图； （2）根据网格线的特征画图； （3）根据两点之间线段最短求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）∵两点之间线段最短， ∴直接连接即可， 如图，点即为所求． 【点睛】本题考查了作图，熟悉网格线的特征是解题的关键． 3．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据格点特点，相同，，则； （2）根据格点特点，四边形是正方形，则． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （3） 解：如图，直线即为所求． 题型12.垂线段最短 1．如图，从村庄到公路共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离近的理由是（     ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【详解】解：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短． ∴居民选择路线到公路的距离近的理由是垂线段最短． 2．如图，为了把小河里的水引到田地C处，作垂直于河岸，沿挖水沟可使水沟最短，其理论依据是_____． 【答案】垂线段最短 【分析】结合垂线段最短的原理进行作答即可． 【详解】解：依题意，作垂直于河岸，沿挖水沟可使水沟最短， 则理论依据是垂线段最短． 3．如图，点C在的边上，按要求作图并回答问题： (1)过点C作边的垂线交边于点D； (2)过点D作边的垂线段，垂足为E； (3)过点C作的平行线交边于点F； (4)比较三条线段，，的长度，并用“”连接．_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的作法画图即可； （2）根据垂线的作法画图即可； （3）根据平行线的作法画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，就是所作的垂线； （2）解：如图，就是所作的垂线段； （3）解：如图，就是所作的平行线； （4）解：． 依据是：垂线段最短． 题型13.点到直线的距离 1．如图，直角三角形中，，，，则点A到的距离为（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】利用等面积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：设点到的距离为， ， ， ，即点到的距离为． 2．如图，点A，B，C在直线l上，点P为直线l外一点，连接，且，若，，，则点P到直线l的距离是________． 【答案】4 【分析】根据“直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”进行解答． 【详解】解：垂线段最短，于点B，， 点到直线的距离是． 3．如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据网格即可找出格点，画出的平行线； （2）根据网格即可得图中满足要求的格点的个数； （3）根据网格即可找出格点，画的垂线，垂足为； （4）根据点到直线的距离定义即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作， （2）解：由图可知图中满足要求的格点D共可以找出个； （3）解：如图，点即为所求作； （4）解： 线段的长是点到直线的距离． 题型14.同位角、内错角、同旁内角 1．下列各图中，与不是同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：与不是同旁内角的是 2．如图，与是__________．（同位角，内错角，同旁内角） 【答案】同位角 【详解】解：由图可知，与是同位角． 3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变． (1)请写出图中的对顶角______，内错角______，同旁内角______； (2)若测得，，求筷子的水下部分向上弯折（）的度数． 【答案】(1)，，或 (2) 【分析】（1）根据对顶角的定义、内错角的定义和同旁内角的定义解答即可； （2）根据角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：图中的对顶角，内错角，同旁内角或； （2）解：， ， 又， ． 题型15.同位角相等证两直线平行 1．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 3．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 题型16.直尺三角板画平行线 1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 【答案】④②①③ 【分析】根据利用直尺和三角尺作平行线的基本作图步骤进行排序，即先贴合已知直线，再固定直尺，接着平移三角尺，最后画出平行线． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线 的步骤如下： 第一步：作直线 ，并用三角尺的一条边贴住直线 ，对应步骤④； 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺作为滑动的轨道，对应步骤②； 第三步：按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺，利用平移的性质保证同位角相等，对应步骤①； 第四步：沿三角尺的边作出直线 ，此时 ，对应步骤③． 综上所述，正确的操作顺序为④②①③． 3．如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线； (2)过点P画的垂线，垂足为H； (3)过点P画的垂线，交于点C；、、这三条线段大小关系是________，（用“<”号连接），理由是________． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． (3)如图，即为所求作的的垂线． ，，垂线段最短． 【分析】（1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型17.平行公理的应用 1．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 2．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图，涉及了平行线的 （1）作出的矩形的对角线即可； （2）根据平移特点即可完成作图； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ，故平行于同一条直线的两条直线平行； 线段的长度是点A到直线的距离； ，故垂线段最短 故答案为：平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 题型18.平行公理推论的应用 1．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 2．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．如图，在方格纸中，点是的边上的一点，点，，都在格点上． (1)过点画直线，交于点； (2)过点画的垂线，交于点； (3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度? （直接写出答案，不必说明理由） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了平行线的定义，垂线段最短以及点到直线的距离的定义等知识， （1）取网格点C，连接作直线过点N、C即可作答； （2）取网格点D，连接作直线过点P、D即可作答； （3）依据点到直线的距离的定义作答即可． 【详解】（1）作图如下： 即为所作； （2）作图如下： 即为所作； （4） 点到直线的距离是线段的长度． 题型19.内错角相等证两直线平行 1．如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 根据平行线的判定知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； B、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、，则，不能证明，故符合题意； D、，而，故，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 2．将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当______ 时，． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 如图①，当时，；如图②，当时，，得出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，当时，； 如图②，当时，， ∵， ∴， 即当时，， ∴当的度数为或时，， 故答案为：或． 3．如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴ 又∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角定义） ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 题型20.同旁内角互补证两直线平行 1．如图，，，则直线的位置关系是（   ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据对顶角的性质得到，可求得，即可根据平行线的判定判断结论． 【详解】解：和是对顶角，， ， ， ， ． 2．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带的边的结论是： _______（写出所有正确结论的序号） ①；②；③；④；⑤； 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行可判定①⑤，根据内错角相等，两直线平行可判定②，根据同旁内角互补可判断④． 【详解】解：①∵，∴，故①可以 ②∵，∴，故②可以， ③，无法得出，故③不可以， ④∵，∴，故④可以， ⑤∵，， ∴， ∴∴，故⑤可以， 故答案为：①②④⑤ 3．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)（已知） （   ）． 【答案】(1)，，同位角相等，两直线平行 (2)，，内错角相等，两直线平行 (3)，同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是做题的关键． （1）根据平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据平行线的判定方法即可得出答案； （3）根据平行线的判定方法即可得出答案． 【详解】（1）解：， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行． （2）解：， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，，内错角相等，两直线平行． （3）解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行． 题型21.垂直同一直线的两直线平行 1．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定等知识，平移的性质，平行线的判定，垂直的定义逐步判断各情境即可． 【详解】解∶①如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ②如图， 根据三角板的特征知∶， 无法得出， ∴不能说明，故作法不正确． ③如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ④如图， 根据平移的性质知∶ ， ∴，故作法正确； 故选∶B． 2．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 【答案】平行或重合 【分析】此题考查了平行线与垂线的关系，注意找到规律：四个一循环，是解此题的关键. 首先根据题意判断与，，，的关系，即可得到规律：四个一循环，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得：，其中或与或可能重合， 与的位置关系为平行或重合. 故答案为：平行或重合. 3．如图，在三角形中，，垂足为A，过点A画的垂线段，垂足为点C，过点C画直线CDOA，交线段于点D． (1)补全图形（按要求画图）； (2)求的度数： (3)如果，，，求点A到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)90° (3)2.4 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明CD⊥AB可得结论； （3）利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵，CDOA， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴． ∴点A到直线OB的距离是2.4． 【点睛】本题考查作图一复杂作图，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型22.平行线三大性质的应用 1．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平行线性质求角度，熟记平行线的性质是解决问题的关键． 由平行线的性质：同位角相等、同旁内角互补得到，，代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    由平行线的性质，可得，， ， 故选：D． 2．如图，平分，，，则______°，______°． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．先利用邻补角求出的度数，再由角平分线的定义求出和的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】， ， 平分， ， ， ，， 故答案为：；． 3．已知，直线分别交于点． (1)如图，已知． ①若，求； ②若，试说明平分； (2)如图，若的平分线与的平分线相交于点平分，平分，判断所在的直线有什么位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)所在的直线互相垂直．理由见解析 【分析】（1）①根据垂直的定义和性质，以及平行线的性质，得到的度数． ②根据垂直的定义和性质，平行线的性质以及平角的定义和性质，利用等量代换得证结论． （2）反向延长交于点，根据角平分线的定义以及对顶角相等，得到平分，平分，根据两直线平行同旁内角互补得证，继而得证结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：，所在的直线互相垂直， 理由：如图，反向延长交于点， ∵平分，平分，，， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴所在的直线互相垂直． 题型23..平行线判定与性质综合求角度 1．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．如图所示的是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质求出的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴． 2．自行车尾灯内部的角反射器由平面镜组成，其工作原理如图所示，当光线射向镜面时，经过两次反射，光线沿平行于的方向射出（此时，）．若，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据平角的定义得出，利用平行线的性质得出，然后利用平角的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．已知：如图，，C为上一点，平分，，，求的大小． 【答案】 【分析】首先求出，然后根据角平分线的概念得到，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴． 题型24.平行线性质在生活中的应用 1．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合相互契合的一种经典连接工艺．如图是卯眼构件的截面图，其中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴. 2．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 题型25.根据平行线性质探究角的关系 1．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由推出，故A不符合题意； B、由推出等于的对顶角，由对顶角相等得到，故B符合题意； C、由，不能得到，故C不符合题意； D、由，不能得到，故D不符合题意． 2．若和的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为_______ 【答案】或 【分析】根据平行线的性质，若两个角的两边分别平行，则两个角相等或互补，因此分类讨论两种情况，结合题目给出的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵和的两边分别平行， ∴分两种情况讨论： 如图， ∵， ∴， ∴； 当时，， 解得； 如图， ∵， ∴， ∴； 当时，， 解得； 综上，的度数为或． 3．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)； (2)这两个角相等或互补 (3)，或， 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设这两个角的度数分别为，分两种情况：和，根据题意分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； 如图②所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （3）解：设这两个角的度数分别为， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得 ， ∴； 综上所述，这两个角的度数分别为，或，． 题型26.平行线判定与性质综合证明 1．如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 2．已知：如图，，点是线段的延长线上一点，且．求证：． 完成下面的推理过程： 证明：∵， ∴．（理由：____________________） ∵， ∴______________________．（理由：____________________） ∴．（理由：___________________） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用两直线平行，同旁内角互补求得，推出，再利用内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（同角的补角相等） ∴．（内错角相等，两直线平行） 3．如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 理由见解析 (3) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得到， 等量代换得到， 即可判定； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质得到， 再根据已知条件得出，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相交线与平行线 期末复习讲义 期末复习◆重点 熟练运用对顶角、邻补角、垂线的性质完成角度计算，掌握垂线段最短与点到直线距离的定义。 精准识别同位角、内错角、同旁内角，明晰平行线判定与性质的区别，规范几何推理书写。 熟记平行公理及其推论，拐角类计算题采用过拐点作平行线的思路拆分角度求解 核心题型◆归纳 题型1.平面内两直线的位置关系 题型2.立体图形中平行的棱 题型3.相交线 题型4.对顶角的定义 题型5.对顶角相等 题型6.求一个角的余角 题型7.求一个角的补角 题型8.与余角、补角有关的计算 题型9.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型10.垂线的定义理解 题型11.画垂线 题型12.垂线段最短 题型13.点到直线的距离 题型14.同位角、内错角、同旁内角 题型15.同位角相等证两直线平行 题型16.直尺三角板画平行线 题型17.平行公理的应用 题型18.平行公理推论的应用 题型19.内错角相等证两直线平行 题型20.同旁内角互补证两直线平行 题型21.垂直同一直线的两直线平行 题型22.平行线三大性质的应用 题型23.平行线判定与性质综合求角度 题型24.平行线性质在生活中的应用 题型25.根据平行线性质探究角的关系 题型26.平行线判定与性质综合证明 重点知识◆梳理 【知识点一、对顶角】 定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． 性质：对顶角相等． 【知识点二、余角和补角的定义】 余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．如下图：∠1+∠2=90°，∠1与∠2互为余角. 补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．如上图：∠3+∠4=180°，∠3与∠4互为补角. 重点提示：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等． 【知识点三、垂线】 垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O． （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB． 垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）． 垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【重点提示】（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【知识点四、同位角、内错角、同旁内角的概念】 “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如下图． 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图， 同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． 同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角． 【知识点五、平行线的定义及画法】 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如下图直线A与B平行，记作A∥B． 【重点提示】（1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【平行线的画法】 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合． ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边． ③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点． ④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行． 【知识点六、平行公理及推论】 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． a∥b,b∥c⇒a∥c（平行传递）； 【知识点七、直线平行的判定】 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 几何语言：∵   ∠1＝∠2∴ a∥b 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 几何语言：∵   ∠1＝∠2 ∴   a∥b 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言：∵   ∠1＋∠2＝180°∴   a∥b 【知识点八、两直线平行的性质】   性质1：两直线平行，同位角相等； 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠2   性质2：两直线平行，内错角相等； 几何语言：∵a∥b，∴∠3=∠4   性质3：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言：∵a∥b，∴∠1+∠2=180° 【知识点九、平行线经典模型】 铅笔头模型（拐点向内） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向内凹陷，形成封闭图形； 核心结论：拐点处所有角的和为360°； 解题关键：过每个拐点作平行线，结合 “同旁内角互补” 推导。 猪蹄模型（拐点向外） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向外凸起，呈 “Z” 型； 核心结论：拐点处两个相关角相等（单拐点）；多拐点时，对应角的和相等； 解题关键：过拐点作平行线，结合 “内错角相等” 推导。 鹰嘴模型（拐点向上 / 向下） . 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向上或向下凸起； 核心结论：拐点处的角等于另外两个相关角的差； 题型解析◆精准备考 题型1.平面内两直线的位置关系 1．下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都在格点上．连接点A、B得线段． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，共可得________条线段，在图中画出来； （2）在（1）中所连得的线段中，与平行的线段是________； （3）用三角尺或量角器度量、检验，及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？（请用“”表示出来）________． 3．如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 题型2.立体图形中平行的棱 1．观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 2．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有_________条，这些棱都互相_________． 3．如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 题型3.相交线 1．下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，交点叫做垂足 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 2．三条直线相交，最多可以组成_______个直角． 3．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 题型4.对顶角的定义 1．下列图形中，和是对顶角的是（     ） A．B． C．D． 2．如图，与相交于点O，把分成两部分，则的对顶角为___________． 3．如图，直线与相交于点，． (1)的对顶角是___________，的邻补角是___________； (2)若与互余，求的度数． 题型5.对顶角相等 1．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 3．如图，直线，，相交于点，，平分，，求的度数． 解：直线，相交于点（已知）， （___________）， （已知）， ， ， （___________）， ___________， 平分， ___________（___________）， ___________ ______________________ ___________． 题型6.求一个角的余角 1．若一个角等于它的余角，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知，与互余，则______． 3．如图，直线，交于点，，平分，若，求． 题型7.求一个角的补角 1．已知，则的补角是（     ） A． B． C． D． 2．一个角的补角比它大，则这个角的度数为_______°． 3．如图，，过O点作射线． (1)请画出的平分线； (2)如果，射线、分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线表示_________方向； (3)在（1）的条件下，当时，在图中找出所有与互补的角，并说明理由． 题型8.与余角、补角有关的计算 1．如图，直线、交于点，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．已知与互余，与互补，若，则的度数是______． 3．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的数量关系是_________，依据是________； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 题型9.同(等)角的余(补)角相等的应用 1．如图，点在直线上，，，则下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C． D．与互补 2．如图，直线与相交于点O，∴，，∴，在此推理过程中，与相等的理由是__________． 3．如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 题型10.垂线的定义理解 1．如图，直线，相交于点O， 射线平分，．  若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，垂足为平分，__________． 3．如图，直线相交于点平分平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型11.画垂线 1．如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 3．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 题型12.垂线段最短 1．如图，从村庄到公路共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离近的理由是（     ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 2．如图，为了把小河里的水引到田地C处，作垂直于河岸，沿挖水沟可使水沟最短，其理论依据是_____． 3．如图，点C在的边上，按要求作图并回答问题： (1)过点C作边的垂线交边于点D； (2)过点D作边的垂线段，垂足为E； (3)过点C作的平行线交边于点F； (4)比较三条线段，，的长度，并用“”连接．_____，得此结论的依据是_____． 题型13.点到直线的距离 1．如图，直角三角形中，，，，则点A到的距离为（    ） A． B．6 C．8 D．10 2．如图，点A，B，C在直线l上，点P为直线l外一点，连接，且，若，，，则点P到直线l的距离是________． 3．如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 题型14.同位角、内错角、同旁内角 1．下列各图中，与不是同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与是__________．（同位角，内错角，同旁内角） 3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变． (1)请写出图中的对顶角______，内错角______，同旁内角______； (2)若测得，，求筷子的水下部分向上弯折（）的度数． 题型15.同位角相等证两直线平行 1．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 3．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 题型16.直尺三角板画平行线 1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A．B． C． D． 2．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 3．如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线； (2)过点P画的垂线，垂足为H； (3)过点P画的垂线，交于点C；、、这三条线段大小关系是________，（用“<”号连接），理由是________． 题型17.平行公理的应用 1．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 3．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 题型18.平行公理推论的应用 1．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 2．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 3．如图，在方格纸中，点是的边上的一点，点，，都在格点上． (1)过点画直线，交于点； (2)过点画的垂线，交于点； (3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度? （直接写出答案，不必说明理由） 题型19.内错角相等证两直线平行 1．如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当______ 时，． 3．如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 题型20.同旁内角互补证两直线平行 1．如图，，，则直线的位置关系是（   ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定 2．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带的边的结论是： _______（写出所有正确结论的序号） ①；②；③；④；⑤； 3．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)（已知） （   ）． 题型21.垂直同一直线的两直线平行 1．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 2．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 3．如图，在三角形中，，垂足为A，过点A画的垂线段，垂足为点C，过点C画直线CDOA，交线段于点D． (1)补全图形（按要求画图）； (2)求的度数： (3)如果，，，求点A到直线的距离． 题型22.平行线三大性质的应用 1．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，平分，，，则______°，______°． 3．已知，直线分别交于点． (1)如图，已知． ①若，求； ②若，试说明平分； (2)如图，若的平分线与的平分线相交于点平分，平分，判断所在的直线有什么位置关系，并说明理由． 题型23..平行线判定与性质综合求角度 1．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．如图所示的是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．自行车尾灯内部的角反射器由平面镜组成，其工作原理如图所示，当光线射向镜面时，经过两次反射，光线沿平行于的方向射出（此时，）．若，则的度数为__________． 3．已知：如图，，C为上一点，平分，，，求的大小． 题型24.平行线性质在生活中的应用 1．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合相互契合的一种经典连接工艺．如图是卯眼构件的截面图，其中，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 3．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 题型25.根据平行线性质探究角的关系 1．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 2．若和的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为_______ 3．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 题型26.平行线判定与性质综合证明 1．如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 2．已知：如图，，点是线段的延长线上一点，且．求证：． 完成下面的推理过程： 证明：∵， ∴．（理由：____________________） ∵， ∴______________________．（理由：____________________） ∴．（理由：___________________） 3．如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $