期末复习：利用平行线的性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行线性质求角度与判定证明综合应用，通过基础例题与变式题覆盖折叠、三角尺摆放等期末高频题型，渗透数学眼光与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用平行线的性质求角度|4例+4变式|含折叠、三角尺摆放、探照灯等情境，涉及角度计算与平行判定条件判断|从性质直接应用到结合折叠、实际情境的角度转化，体现性质与判定的互逆关联| |利用平行线的判定与性质证明|3例+3变式|含补全证明过程、汉字“互”抽象、台球反弹模型，涉及多步推理|从简单平行证明到综合应用（如同旁内角互补、等量代换），构建“角关系→平行→角关系”的推理链条|

期末复习：利用平行线的性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 期末复习：利用平行线的性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的判定与性质证明 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，直线，若，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南洛阳·三模）将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图是一个探照灯的截面图，它可以使点射出的光线经抛物面反射得到平行光，即．若，，则_______． 例4．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在墙上安装某一管道需经过两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，若第一个弯道处，那么第二个弯道处的度数是 _________． 变式1．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·辽宁本溪·期中）4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式3．（2026·重庆·二模）如图， ，若，则的度数是_____． 变式4．（25-26七年级下·北京石景山·月考）将一块三角板（，）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①，；②；③；④；⑤．能判断直线的有______（填序号）． 考点二 利用平行线的判定与性质证明 例1．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 例2．（25-26七年级下·河南许昌·期中）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．求证：． 请将以下证明过程补充完整 证明：如图2，延长交于点P， （已知）， （ ① ） 又（已知） ② （等量代换） ③ ④ （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （ ⑤ ） （同角的补角相等）． 例3．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）小明在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点滚向挡板，碰着上的点后进行第一次反弹滚向挡板（、为定点），碰着上的点后进行第二次反弹滚向点．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小明完善证明过程． (1)因为， 所以． 所以，， 又因为， 所以____________________（____________________）， 同理，，又因为， 所以（____________________）， 所以（等量代换）， 又因为， 所以， 所以________， 所以（____________________）． 【引申拓展】 (2)如图3，小明把挡板固定，将挡板绕点逆时针旋转至直线，若，球从打到挡板和球从打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则___________（用含的代数式表示）； ②当___________时，． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 变式2．（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式3．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：利用平行线的性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 期末复习：利用平行线的性质求角度、利用平行线的判定与性质证明专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的判定与性质证明 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，直线，若，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平角的定义求出，再结合平行线的性质得，即可作答． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ． 例2．（2026·河南洛阳·三模）将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺中，，， ， ， ， ， ，选项符合题意． 例3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图是一个探照灯的截面图，它可以使点射出的光线经抛物面反射得到平行光，即．若，，则_______． 【答案】150 【分析】过点作，利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等），拆分进行求解． 【详解】解：过点作， ， ， 根据两直线平行，内错角相等： ，， ． 例4．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在墙上安装某一管道需经过两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，若第一个弯道处，那么第二个弯道处的度数是 _________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质直接求解即可． 【详解】解：拐弯后的管道与拐弯前的管道平行， ． 变式1．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又由题意可知，， ∴． 变式2．（25-26七年级下·辽宁本溪·期中）4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，作，则有，通过角度的和差关系求解即可； 【详解】解：，， ， 如图，延长至，作， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 变式3．（2026·重庆·二模）如图， ，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，求出的同旁内角的度数，再根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：如图，设的同旁内角为， ∵ ， ， ， ， ． 变式4．（25-26七年级下·北京石景山·月考）将一块三角板（，）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①，；②；③；④；⑤．能判断直线的有______（填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】根据平行线的判定和性质及角的和差逐一判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意． 考点二 利用平行线的判定与性质证明 例1．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得内错角相等，结合，推出内错角相等，从而证明； （2）过点作，过点作，两线交于点；由得，由得；再利用两直线平行，内错角相等，完成角的等量代换，证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）证明：过点作，过点作，两线交于点． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴， 即． 例2．（25-26七年级下·河南许昌·期中）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．求证：． 请将以下证明过程补充完整 证明：如图2，延长交于点P， （已知）， （ ① ） 又（已知） ② （等量代换） ③ ④ （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （ ⑤ ） （同角的补角相等）． 【答案】①两直线平行，内错角相等； ②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形填空即可． 【详解】证明：如图2，延长交于点P， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （同角的补角相等）． 例3．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）小明在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点滚向挡板，碰着上的点后进行第一次反弹滚向挡板（、为定点），碰着上的点后进行第二次反弹滚向点．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小明完善证明过程． (1)因为， 所以． 所以，， 又因为， 所以____________________（____________________）， 同理，，又因为， 所以（____________________）， 所以（等量代换）， 又因为， 所以， 所以________， 所以（____________________）． 【引申拓展】 (2)如图3，小明把挡板固定，将挡板绕点逆时针旋转至直线，若，球从打到挡板和球从打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则___________（用含的代数式表示）； ②当___________时，． 【答案】(1)；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 (2)①；② 【分析】（1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）①解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， ． ②解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，结合已知可得，即可根据平行线的判定证明结论； （2）根据平行线的性质得，结合角平分线的定义，得到，再结合（1）中的结果，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知， ． 变式2．（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 变式3．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $