期末复习：平面直角坐标系中的新定义问题复习讲义-2025-2026学年人教版七年级数学下册

期末复习：平面直角坐标系中的新定义问题复习讲义 期末复习：平面直角坐标系中的新定义问题复习讲义 知识点解析 一、通用解题四步 1. 读定义，套公式：把题目陌生名词翻译成横、纵坐标计算式； 1. 设点坐标：动点设 ，定点直接代入数字； 1. 列式计算：去绝对值、解方程、求坐标； 1. 检验作答：坐标符合题意，写出最终点或取值范围。 基础备用公式 · 两点水平距离： · 两点竖直距离： · 中点坐标： 二、常见易错点 1. 距离一定带 绝对值，去掉绝对值要分两种正负讨论； 1. 变换点看清顺序：先变 x 还是先变 y，符号不要写反； 1. 纵坐标为 0 在 x 轴，横坐标为 0 在 y 轴，坐标轴上点特征牢记； 1. 求出多个解时全部保留，除非题目有限制条件（第一象限、正数等）； 1. 看清是“等于几倍”“和”“差”，文字顺序不能颠倒列式。 例题分析 例1．（25-26七年级下·福建南平·期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点，若点，则称点Q是点P的“双生点”． (1)若，求点P的“双生点”； (2)若点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，与点的“双生点”重合，求点P的坐标； (3)若点P在坐标轴上，点Q是点P的“双生点”，且的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)点的“双生点”为： (2)点的坐标为： (3)点的坐标为：，，， 【分析】此题考查了点的坐标、勾股定理、坐标系中点的平移等知识，熟练掌握“双生点”的定义是关键． （1）根据“双生点”的定义进行解答即可； （2）根据点的“双生点”为与平移得到互相重合建立方程组，解方程组即可得到答案； （3）根据点在坐标轴的位置分当在轴上、当点在轴上两种情况，利用是直角三角形结合三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 横坐标： 纵坐标： 所以点的“双生点”为：． （2）解：∵点的“双生点”为，点向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标为：． 由题意得：， 解得：， 所以点的坐标为：． （3）解：①当点在轴上，此时，点坐标为 双生点的横坐标：，纵坐标：，即． 的三个顶点为：，， ∵这是一个直角三角形，底为，高为 ． 解得：或． 对应点坐标：或； ②当点在轴上，此时，点坐标为 双生点的横坐标：，纵坐标：，即． 的三个顶点为： ∵这是一个直角三角形，底为，高为 解得：或． 对应点坐标：或 综上，点的坐标为：，，，． 例2．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 材料：在平面直角坐标系中，对于任意两点和，我们定义一种新的运算：这称为点和点之间的“曼哈顿距离”． (1)已知点，，求的值； (2)已知点，点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）设，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵点在轴上， ∴设， ∵， ∴， 解得或． ∴或． 例3．（25-26七年级下·北京·期中）小潘和小智在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系xOy中任意两点与的两种新的距离： ＊小潘定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点与点的“分解距离”，即； 若，则为点与点的“分解距离”，即． ＊小智定义了，的“和距离”，如下： 点，的“和距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系xOy中，已知点，． (1)________；________； (2)若点C的坐标为． ①当时，若，直接写出点C的坐标； ②将点C向左平移一个单位长度得到点D，点E满足，点F满足，若线段CD上存在点E或点F，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)4,7 (2)①或，②或 【分析】此题考查了新定义问题，坐标与图形． （1）根据“分解距离”和“和距离”的概念求解即可； （2）根据和画出点和点的轨迹，再利用的范围分 别算出线段与点轨迹和点轨迹相交时的范围，最后将范围合并即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，, ∵， ∴， ∴． （2）解：①当 时，点，点 ， ，， 分两种情况讨论： （ⅰ），此时 ， 解得或，即或． 时，， ，，； 时，，，，，舍去． （ⅱ），此时， 解得或，即或． 时，，，，； 时，，，，，舍去． 综上，点的坐标为：或． ②设，，则： 当时，，即或，且，即 ； 当时，，即或，且 ，即． 点的轨迹为以，，，为顶点的正方形的四条边， ∴； 设,,则， ∴点的轨迹为以，，，为顶点的正方形的四条边， ∴． 如图，正方形的四边为点的轨迹，正方形的四边为点的轨迹． 点，向左平移1个单位得， 线段上的点：， （ⅰ）与的轨迹相交： 且，解得； （ⅱ）与的轨迹相交： 且，解得； 综上：或． 例4．（25-26七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为． ①点的“长距”是 ； ②在点，，中，为点的“等距点”的是 ； ③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是 ； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ． 【答案】(1)①；②点；③或 (2)或 (3)①；② 【分析】（1）①根据题中定义即可解答； ②根据题中定义判断即可； ③根据，即可解答； （2）分情况讨论，即或，解出答案，再判断是否符合条件； （3）①根据图形即可解答； ②分点的“长距”为，，，三种情况，再找出所有符合条件的点，即可解答． 【详解】（1）解：①根据定义可得点的“长距”是； ②点的“长距”是，为点的“等距点”； 点的“长距”是，不是点的“等距点”； 点的“长距”是，不是点的“等距点”； ③、两点为“等距点”， ， 解得或； （2）解：，两点为“等距点”， <1>当时， 解得或， 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，符合条件； 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，不符合条件； <2>当时， 可得或， 解得或， 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，符合条件； 在时，， 点的“长距”为，点的“长距”为，不符合条件； 综上，或； （3）解：①根据图形可得当点在时，点的“长距”最小， “长距”为； ②点的横、纵坐标均为整数，且，两点为“等距点”， ∴点的横、纵坐标均为整数， 当点的“长距”为时，没有符合条件的点； 当点的“长距”为时，符合条件的有点，共个； 当点的“长距”为时，符合条件的有点，，，，，共个； 当点的“长距”为时，符合条件的有点，，，，，，，，，共个， 综上，所有可能满足条件的点的个数是个． 变式训练 变式1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)点是“完美点”，理由见解析 【分析】（1）根据长距的定义进行判断即可； （2）根据点的长距为4，得到，再根据点B在第四象限内，，求出的值，再代入求出点C的坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点的“长距”为2； （2）解：点C是“完美点”；理由如下： ∵点的长距为4，且点B在第四象限内， ∴，， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴点C的坐标为，即， ∴点C到x轴的距离为5，到y轴的距离为， ∴点是“完美点”． 变式2．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】（1）根据完美点的定义可得，求出答案； （2）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵点是“完美点”， ∴， 或， 解得或； （2）解：∵点的长距为4，， ∴． 又∵点C在第四象限内， ∴， ， 解得， ， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 变式3．（25-26七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称，两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为，点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是_____； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是_____． 【答案】(1)6或 (2)1或2 (3)①3；②15个 【分析】（1）先计算点的长距，因为、是等距点，所以的长距等于的长距，据此列含绝对值的方程求解． （2）分别写出和的长距表达式，因为两点是等距点，所以二者长距相等，分情况讨论的长距是还是，列方程求解后验证是否符合长距定义． （3）①先求出线段的解析式，设的坐标，写出其长距的表达式，利用函数性质或绝对值不等式求最小值。②先确定的长距的取值范围，再根据在三角形内部、横纵坐标为整数且与等距的条件，逐个筛选符合条件的的坐标，统计个数． 【详解】（1）解：、两点为“等距点”， ， 解得或； （2）解：，两点为“等距点”， ①当时， 解得或， 在时，， 点的“长距”为4，点的“长距”为4，符合条件； 在时，， 点的“长距”为4，点的“长距”为31，不符合条件； ②当时， 可得或， 解得或， 在时，， 点的“长距”为5，点的“长距”为5，符合条件； 在时，， 点的“长距”为3，点的“长距”为4，不符合条件； 综上，或； （3）解：①根据图形可得当点在时，点的“长距”最小，“长距”为3； ②点的横、纵坐标均为整数，且，两点为“等距点”， 点的横、纵坐标均为整数， 当点的“长距”为6时，没有符合条件的点； 当点的“长距”为5时，符合条件的有点，共1个； 当点的“长距”为4时，符合条件的有点，，，，，共5个； 当点的“长距”为3时，符合条件的有点，，，，，，，，，共9个， 综上，所有可能满足条件的点的个数是个 变式4．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________； (2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 (4)或 【分析】此题考查了坐标系中点的平移、坐标与图形等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）根据“双移点”的定义进行解答即可； （2）根据“双移点”写出答案即可； （3）求出点，设点D的坐标为，根据面积得到，即可求出答案； （4）求出，设点的坐标为，分两种情况，当点在线段的右侧时，当点在线段的左侧时，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， 即点的“双移点”为， 把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点， 即点的坐标为； 故答案为：， （2）∵先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， ∴对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为， 故答案为： （3）∵点是点的“双移点”， ∴点， 设点D的坐标为， ∵的面积为4， ∴ 解得或， ∴点的坐标为或； （4）∵点是点的“双移点”， ∴， 设点的坐标为， 当点在线段的右侧时， ∵的面积为9， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 当点在线段的左侧时， ∵的面积为9， 当点点在原点时，的面积为， ∴点在原点的左侧， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 综上可知，点的坐标为或 实战演练 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)2，3，2 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“短距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得，即可求出答案； （3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． ∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又∵，， ∴点的“短距”为2， 故答案为：2，3，2； （2）解：由条件可知， ∴或， 解得或． （3）解：点的长距为5，且点在第三象限内， ， 解得：， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是8， 是“完美点”． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：平面直角坐标系中的新定义问题复习讲义 期末复习：平面直角坐标系中的新定义问题复习讲义 知识点解析 一、通用解题四步 1. 读定义，套公式：把题目陌生名词翻译成横、纵坐标计算式； 1. 设点坐标：动点设 ，定点直接代入数字； 1. 列式计算：去绝对值、解方程、求坐标； 1. 检验作答：坐标符合题意，写出最终点或取值范围。 基础备用公式 · 两点水平距离： · 两点竖直距离： · 中点坐标： 二、常见易错点 1. 距离一定带 绝对值，去掉绝对值要分两种正负讨论； 1. 变换点看清顺序：先变 x 还是先变 y，符号不要写反； 1. 纵坐标为 0 在 x 轴，横坐标为 0 在 y 轴，坐标轴上点特征牢记； 1. 求出多个解时全部保留，除非题目有限制条件（第一象限、正数等）； 1. 看清是“等于几倍”“和”“差”，文字顺序不能颠倒列式。 例题分析 例1．（25-26七年级下·福建南平·期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点，若点，则称点Q是点P的“双生点”． (1)若，求点P的“双生点”； (2)若点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，与点的“双生点”重合，求点P的坐标； (3)若点P在坐标轴上，点Q是点P的“双生点”，且的面积为4，求点P的坐标． 例2．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 材料：在平面直角坐标系中，对于任意两点和，我们定义一种新的运算：这称为点和点之间的“曼哈顿距离”． (1)已知点，，求的值； (2)已知点，点在轴上，且，求点的坐标． 例3．（25-26七年级下·北京·期中）小潘和小智在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系xOy中任意两点与的两种新的距离： ＊小潘定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点与点的“分解距离”，即； 若，则为点与点的“分解距离”，即． ＊小智定义了，的“和距离”，如下： 点，的“和距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系xOy中，已知点，． (1)________；________； (2)若点C的坐标为． ①当时，若，直接写出点C的坐标； ②将点C向左平移一个单位长度得到点D，点E满足，点F满足，若线段CD上存在点E或点F，请直接写出t的取值范围． 例4．（25-26七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故为它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为． ①点的“长距”是 ； ②在点，，中，为点的“等距点”的是 ； ③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是 ； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是 ． 变式训练 变式1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 变式2．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 变式3．（25-26七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称，两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为，点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是_____； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是_____． 变式4．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________； (2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标． 实战演练 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $