第九章 平面直角坐标系【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 平面直角坐标系【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 坐标系中描点 题型六 坐标与图形综合 题型七 实际问题中用坐标表示位置 题型八 用方向角和距离确定物体的位置 题型九 根据方位描述确定物体的位置 题型十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型十一 由平移方式确定点的坐标 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 题型十五 坐标系中的平移 题型十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型十七 中点坐标 题型十八 点坐标规律探索 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点梳理一 平面直角坐标系有关概念 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 知识点梳理二 平面直角坐标系内点的坐标及其特征 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 知识点梳理三 利用坐标表示位置 1.建立平面直角坐标系表示地理位置： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定 单位长度 。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置： 以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。 知识点梳理四 点在坐标系中的平移 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 知识点梳理五 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点拨】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（24-25七年级下·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足． (1)点A，B的坐标分别为______、______． (2)如图①，平移线段至，使点A的对应点为，与y轴交于点H，连接，若，求的度数． (3)平移线段至，使点F在y轴负半轴上，如图②，分别作与的平分线、交于点G，求的度数． 【变式】（25-26七年级下·重庆·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为__________；点到点的距离的最小值为__________； (2)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时直线也随之停止．在移动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (3)连接，，，当的面积为3时，直接写出的值． 题型讲练二 求点到坐标轴的距离 【例2】（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）先阅读下列一段文字，再解答问题： 已知在平面内有两点．其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点距离公式可简化为或． (1)已知点，则_________； (2)已知点C，D在平行于y轴的直线上，点C的纵坐标为3，点D的纵坐标为，则________； (3)已知点M和（1）中的点A有轴，且，求点M的坐标； (4)已知点和（1）中的点A，B，则线段中相等的两条线段是_________． 【变式】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如图中的两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为，在点，，中是点的“等距点”的是______ (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)在（2）的条件下，在备用图中画出这些“等距点”，并求出所围成的凸多边形的面积． 题型讲练三 判断点所在的象限 【例3】（25-26七年级下·北京西城·月考）如图，直线，在某平面直角坐标系中，x轴 ，y轴 ，点A的坐标为，点B的坐标为，则坐标原点为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·湖南长沙·月考）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标，并说出点所在的象限． 题型讲练四 已知点所在的象限求参数 【例4】（25-26八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求的值； (2)如果轴，且，求的值． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，其中满足． (1)填空：___________，___________； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示三角形的面积； (3)在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的动点，当满足三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点的坐标． 题型讲练五 坐标系中描点 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为，点E的坐标为． (1)在图中画出这个平面直角坐标系； (2)求点B，C，D的坐标； (3)如果该平面直角坐标系中另有一点，请你在图中描出点F． 【变式】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，其中，满足． (1)求、两点的坐标； (2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值； (3)如图2，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为、，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型讲练六 坐标与图形综合 【例6】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图1，平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于点B． (1)_______，______． (2)求三角形的面积． (3)如图2，若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】（25-26七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 题型讲练七 实际问题中用坐标表示位置 【例7】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图是2026年米兰一科尔蒂纳冬奥会的吉祥物蒂娜（），建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·陕西延安·期中）园林部门为了对某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵（分别用表示），古槐树6棵（分别用表示）．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区示意图（如图所示），建立适当的平面直角坐标系，将4棵古松树的位置用坐标表示为． (1)根据建立的平面直角坐标系，写出6棵古槐树的位置所对应的坐标； (2)已知在的北偏西，115米处，试用表示方向的角和距离描述相对于的位置． 题型讲练八 用方向角和距离确定物体的位置 【例8】24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表）．慧慧说：“超市的坐标是．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．” (1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴； (2)写出学校、少年宫的坐标； (3)写出超市到少年宫的距离； (4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为，请写出图书馆相对于公园的位置． 【变式】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点 处，那么点的位置在点的________距点 处． 题型讲练九 根据方位描述确定物体的位置 【例9】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）画一画，填一填 (1)画出将图①绕点逆时针旋转后的图形，旋转后点的位置用数对表示是（______）． (2)将图②按放大为原来的两倍，放大后的图形与原来的图形的面积之比为______． (3)图③中点是圆心，是圆的直径，．如果每个小方格表示边长为2厘米的小正方形，那么点在点的______偏______，______方向______厘米处． 【变式】（23-24六年级上·北京房山·期中）如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．    (1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置； (2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置； (3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ． 题型讲练十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例10】在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，，，，，连接，以为边在轴上方作正方形． (1)直接写出，两点的坐标； (2)将正方形向右平移个单位长度，得到正方形． ①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时的值； ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形和三角形重叠的区域（不含边界）为，若区域内恰有个整点，直接写出的取值范围． 题型讲练十一 由平移方式确定点的坐标 【例11】（25-26七年级下·四川南充·期中）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，并画出三角形； (2)将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形，请画出平移后的三角形，并直接写出的坐标； (3)求三角形的面积． 【变式】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 题型讲练十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例12】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，点，轴，垂足为H，将线段平移至线段，点，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． (1) ， ． (2)如图1，若点在线段上，证明：． (3)如图2，连，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．在运动过程中，三角形与三角形的面积有什么数量关系？写出你的猜测并证明． 【变式】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，且满足关系式 (1)请求出、两点的坐标； (2)点在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若的面积为16，求线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，为轴上一个动点，若的面积等于的面积，请直接写出点的坐标． 题型讲练十三 已知图形的平移，求点的坐标 【例13】（25-26七年级下·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)有点． ①请你描出点，，；并顺次连接点、、，组成三角形； ②若在线段上任意取一点，并将三角形向右平移个单位，向下平移个单位，点也随之平移，点的对应点为点．那么点的坐标可以为__________（写出一个即可），则点的坐标为__________； (2)若点也通过（1）中的平移方法得到对应点，则__________． 【变式】（25-26七年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点为，，． (1)直接写出点 D 的坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，，将长方形沿x轴向左平移个单位长度，得到长方形，记长方形和重叠的区域(不含边界)为W． ①当时，在图中画出长方形，并写出区域W内整点的坐标； ②若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围． 题型讲练十四 已知平移后的坐标求原坐标 【例14】24-25九年级上·海南儋州·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式】平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是_______． 题型讲练十五 坐标系中的平移 5（25-26七年级下·广东广州·期中）已知的平方根是，的立方根是3，c是的整数部分． (1)求的平方根； (2)点，点，点，且，求点的坐标． 【变式】（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点A、N位于x轴负半轴，点B、Q位于y轴负半轴． (1)如图1，则________°（填度数）； (2)如图2，的三个顶点坐标分别为，，，平移得到（点A与点E对应，点B与点F对应，点C与点G对应）． ①若点E的坐标为，点F的坐标为，求点G的坐标； ②如图3，在①的条件下，与y轴交于点M，在x轴上有一点，动点H从点D以每秒3个单位向x轴负半轴运动，运动时间为t秒，运动过程中当的面积与的面积相等时，求t的值． 题型讲练十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 【例16】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，点，其中满足，将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至，连接． (1)请直接回答：___________，___________，的坐标是___________，的坐标是___________； (2)连接交于点，求的长； (3)如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为秒，射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，其中点P从C点出发，在线段，上以3个单位长度每秒的速度沿着运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒的速度沿着线段向O点运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达点O时，另一点也停止运动．设运动时间为t，当点P在上时，t取何值时，三角形的面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记三角形的面积为，记三角形的面积为，若，求N点的坐标． 题型讲练十七 中点坐标 【例17】在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得的中点落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式】在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 题型讲练十八 点坐标规律探索 【例18】（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第208次跳动至点对应的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第90次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，一个智能机器人从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其移动路线为：第一次向上移动1个单位到达，第二次向右移动1个单位到达，第三次向下移动1个单位到达，第四次向右移动1个单位到达，……．则第2026次移动后所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，当点的横、纵坐标都是整数时，这样的点称为格点（也叫整点）．四个顶点都是格点的四边形称为格点四边形．过点（）分别向轴，轴作垂线，垂足为，．有如下三个结论： ①当时，格点四边形的面积与在边上的格点个数满足； ②当格点四边形内部（不含边界）只有两个格点时，格点四边形的面积与在边上的格点个数满足； ③格点四边形的面积，在内部（不含边界）的格点数与在边上的格点个数满足． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 4．（2026·河南驻马店·一模）数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 5．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移2个单位长度，得点 ； 接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为________． 6．（25-26七年级下·湖北十堰·期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后，到达点，则Q点的坐标为_____． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）马年奔腾，万象更新．在中国象棋中，在棋盘上，“马”走“日”字，即“马”只能沿棋盘上的“纵日”或“横日”的对角线行走．为了定量研究“马”的行走规律，融融同学在棋盘上建立如图所示的平面直角坐标系． 融融将“马”按图1的方式从走到，并用坐标描述为：→→→→→． 经过不断的尝试，他发现无论走何种路线，“马”从走到所需步数都是奇数，其中为整数且．并给出如下证明： 证明：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步， ∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴纵坐标变化总量为 ∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数， 为偶数． ∴是奇数，因此是奇数， ， ∴是奇数，即一共走了奇数步． (1)在图中画出一种从走到步数更少的走法并用坐标描述； (2)请根据前面的推理，将处省略的步骤补充完整． 9．（23-24七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且． (1)求，的值； (2)在轴的正半轴上存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的一半，求出点的坐标；在坐标轴的其他位置是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的一半仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标； (3)如图，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 10．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示两点的“美好距离”． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是___________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是___________； (2)已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，则点与点的“美好距离”的最小值是___________；当与的“美好距离”取最小值时，点的横坐标的最小值是___________； (3)已知，定义平面内的一个动点满足，则称动点为两点间的“美好连接点”． ①若，请在图2中画出两点间的“美好连接点”所覆盖的区域： ②已知点坐标为，直线过点且垂直于轴，直接写出当直线上存在两点间“美好连接点”时，的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 平面直角坐标系【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 坐标系中描点 题型六 坐标与图形综合 题型七 实际问题中用坐标表示位置 题型八 用方向角和距离确定物体的位置 题型九 根据方位描述确定物体的位置 题型十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型十一 由平移方式确定点的坐标 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 题型十五 坐标系中的平移 题型十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型十七 中点坐标 题型十八 点坐标规律探索 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点梳理一 平面直角坐标系有关概念 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 知识点梳理二 平面直角坐标系内点的坐标及其特征 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 知识点梳理三 利用坐标表示位置 1.建立平面直角坐标系表示地理位置： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定 单位长度 。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置： 以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。 知识点梳理四 点在坐标系中的平移 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 知识点梳理五 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点拨】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（24-25七年级下·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足． (1)点A，B的坐标分别为______、______． (2)如图①，平移线段至，使点A的对应点为，与y轴交于点H，连接，若，求的度数． (3)平移线段至，使点F在y轴负半轴上，如图②，分别作与的平分线、交于点G，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）由非负性的性质求出a、b的值即可得到答案； （2）先判断出平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，则点F的坐标为，可证明，，据此根据平行线的性质即可得到答案； （3）过点O作，过点G作，根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，最后根据平行线的性质求出 ． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵平移线段至，使点A的对应点为，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵， ∴点F的坐标为，即， ∴轴，即， ∴， 由平移的性质可得， ∴； （3）解：过点O作，过点G作， 根据平移可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【变式】（25-26七年级下·重庆·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为__________；点到点的距离的最小值为__________； (2)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时直线也随之停止．在移动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (3)连接，，，当的面积为3时，直接写出的值． 【答案】(1)；2 (2)或 (3)或或 【思路引导】（1）求出的长即可得； （2）分两种情况：①，②，根据移动距离之间的等量关系建立方程，解方程求出的值即可； （3）分三种情况：①，②和③，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵在长方形中，， ∴点的坐标为； ①当点在线段（含端点）上时， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，点到点的距离的最小值为； ②当点在线段（含端点）上时， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，点到点的距离的最小值为； ∵， ∴在整个运动过程中，点到点的距离的最小值为2． （2）解：由题意可知，点的纵坐标为2，点第一次移动到点所需时间为秒，点移动到点所需时间为秒，点第二次移动到点所需时间为秒， ①当点沿移动，即时， 则直线移动的距离与点移动的距离之和等于， ∴， 解得，符合题设， ∴此时， ∴此时点的坐标为； ②当点沿移动，即时， 则点移动的距离减去直线移动的距离等于， ∴， 解得，符合题设， ∴此时， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． （3）解：①如图1，当点沿移动，即时，则， ∵的面积为3， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，当点沿移动，即时，则， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得，符合题设； ③如图3，当点沿移动，即时，则， ∵的面积为3， ∴， 解得，符合题设； 综上，的值为或或． 题型讲练二 求点到坐标轴的距离 【例2】（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）先阅读下列一段文字，再解答问题： 已知在平面内有两点．其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点距离公式可简化为或． (1)已知点，则_________； (2)已知点C，D在平行于y轴的直线上，点C的纵坐标为3，点D的纵坐标为，则________； (3)已知点M和（1）中的点A有轴，且，求点M的坐标； (4)已知点和（1）中的点A，B，则线段中相等的两条线段是_________． 【答案】(1)5 (2)6 (3)点的坐标为或 (4) 【思路引导】（1）根据两点间的距离公式直接计算即可； （2）根据两点间的距离公式直接计算即可； （3）设的坐标为，根据公式得，解得或，即可求出点M的坐标； （4）根据两点间的距离公式计算线段的长，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由两点间的距离公式可得； （2）解：由两点间的距离公式可得； （3）解：设的坐标为， ∵点M和（1）中的点有轴，， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （4）解：由两点间的距离公式可得，，， ∴． 【变式】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如图中的两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为，在点，，中是点的“等距点”的是______ (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)在（2）的条件下，在备用图中画出这些“等距点”，并求出所围成的凸多边形的面积． 【答案】(1)点的“等距点”的是点 (2)或 (3) 【思路引导】（1）先求到轴的距离中最大值，则距离相等的点即为所求； （2）分为最大值和为最大值时来讨论； （3）先在坐标中画出“等距点”，再用割补法，用矩形面积减去两个三角形面积即可． 【规范解答】（1）解：点到轴的距离中最大值为4， 点到轴的距离中最大值为4， 点到轴的距离中最大值为5， 点到轴的距离中最大值为4， 为点的“等距点”的是点． （2）解：①当为最大值时， 若， 则（不符合题意，舍去）， 若， 则， ②当为最大值时， 若， 则， 若， 则（不符合题意）， 或． （3）解：由（2）知， 当时，“等距点”分别是，， 当时，“等距点”分别是，， 如图所示， ． 题型讲练三 判断点所在的象限 【例3】（25-26七年级下·北京西城·月考）如图，直线，在某平面直角坐标系中，x轴 ，y轴 ，点A的坐标为，点B的坐标为，则坐标原点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据点和点的坐标，可以作出相应的平面直角坐标系，然后即可判断哪个选项符合题意． 【规范解答】解：∵， ∴A在第二象限， ∴原点在点A的右方3个单位，下方6个单位处， ∵， ∴B在第四象限， ∴原点在点B左方6个单位，上方3个单位处， 又∵x轴 ，y轴 ， ∴如下图，为坐标原点． 【变式】（25-26七年级下·湖南长沙·月考）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标，并说出点所在的象限． 【答案】(1) (2) (3)，点在第一象限，或，点在第二象限． 【思路引导】（1）根据点在轴上，可知其横坐标为零，据此建立等式求出的值，即可得到点的坐标； （2）根据直线轴，即的纵坐标相同，据此建立等式求出的值，即可得到点的坐标； （3）根据点到轴、轴的距离相等，分情况建立方程求出的值，即可得到点的坐标，再结合象限内坐标特点即可推出点所在的象限． 解题的关键在于根据题意找出坐标应满足的条件，并据此建立方程． 【规范解答】（1）解：点在轴上，且点， ， 解得， 点的坐标为； （2）解：点的坐标为，直线轴，且点， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：点到轴、轴的距离相等， ， 当时， 解得， ， 点的坐标为， ； 点在第一象限． 当时， 解得， ， 点的坐标为， ； 点在第二象限． 题型讲练四 已知点所在的象限求参数 【例4】（25-26八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求的值； (2)如果轴，且，求的值． 【答案】(1) ， (2) ， 或 【思路引导】（1）根据y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0求解m，n； （2）根据平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等得到n的值，再根据的长度得到横坐标差的绝对值为6，求解m即可． 【规范解答】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得； ∵点在x轴上， ∴， 解得． （2）解：∵轴， ∴点P和点Q的纵坐标相等，即， 解得； ∵， ∴两点横坐标差的绝对值等于6，即， 化简得，即， ∴或， 解得或． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，其中满足． (1)填空：___________，___________； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示三角形的面积； (3)在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的动点，当满足三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点的坐标． 【答案】(1)，3 (2) (3)或 【思路引导】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）根据（1）所求可得点A和点B的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据m的值，结合（2）求出的面积，进而得到的面积，根据建立方程求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，且M在第三象限， ∴， ∴的面积； （3）解：当时，，， ∵三角形的面积是三角形的面积的3倍， ∴三角形的面积为9； ∵， ∴， ∴ 解得， ∵， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 题型讲练五 坐标系中描点 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为，点E的坐标为． (1)在图中画出这个平面直角坐标系； (2)求点B，C，D的坐标； (3)如果该平面直角坐标系中另有一点，请你在图中描出点F． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查平面直角坐标系： （1）根据点A和点E的坐标及位置，确定坐标原点，进而建立坐标系； （2）根据各点在坐标系中的位置可写出坐标； （3）根据坐标在坐标系中描点即可． 【规范解答】（1）解：平面直角坐标系如下图所示： （2）解：由图可得； （3）解：如图，点即为所求． 【变式】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，其中，满足． (1)求、两点的坐标； (2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值； (3)如图2，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为、，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点的坐标为或． 【思路引导】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性，求出、的值，进而得到、两点的坐标． （2）利用割补法表示出的面积，结合面积为列方程求解的值． （3）由与的面积相等，列出方程可求的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴，． （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交直线于点， 则， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． （3）解：存在，理由如下： ，， ，，， 与的面积相等， ， 或， 当时，如图， ， ，与的面积相等， ， ， ， ； 当时，如图， 则， ，与的面积相等， ， ， ； 综上所述：点的坐标为或． 题型讲练六 坐标与图形综合 【例6】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图1，平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于点B． (1)_______，______． (2)求三角形的面积． (3)如图2，若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4 (2)16 (3)存在，P点坐标是或 【思路引导】（1）根据平方数和算术平方根的非负性，可得，，即得答案； （2）由（1）知，，，可得，，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）设，则，再利用面积列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：， ，， ，． （2）解：由（1）知，，， ，， 轴， ， ，， 三角形的面积为． （3）解：存在，点或 设，则， 若三角形和三角形的面积相等， 则， 解得或， 点P坐标是或． 【变式】（25-26七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【思路引导】本题根据“幸运点”的定义即横纵坐标之和为6，结合平面直角坐标系中象限的坐标特征，点到直线的距离计算，三角形面积公式，逐一判断各结论即可． 【规范解答】∵ “幸运点”满足横纵坐标之和为6，即对任意“幸运点”，有 ① 第一象限内，满足的点有无数个，故①正确； ② 第三象限内， 则 ，不存在满足条件的点，故②正确； ③ ∵ ， ∴直线为，平行于y轴， ∵点是“幸运点”且在坐标轴上， 若在x轴，则，得，即 ，到的距离为 ； 若在轴，则，得，即 ，到的距离为； ∴点到直线的距离为或，故③错误； ④ ∵ ， ∴ ，平行于轴， 设 ，则，在第一象限或坐标轴上， 故，得， 三角形 的面积 ， 当最大为时，最大， ， 当最小为时，最小， ， ∴ ，故④正确； ⑤ ∵点在第二象限，横坐标为，是“幸运点”， ∴ 的纵坐标为 ， ， 整理得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 题型讲练七 实际问题中用坐标表示位置 【例7】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图是2026年米兰一科尔蒂纳冬奥会的吉祥物蒂娜（），建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据点的坐标和点的坐标建立直角坐标系，即可得到答案． 【规范解答】解：根据点的坐标和点的坐标建立直角坐标系， 则点的坐标是． 【变式】（24-25七年级下·陕西延安·期中）园林部门为了对某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵（分别用表示），古槐树6棵（分别用表示）．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区示意图（如图所示），建立适当的平面直角坐标系，将4棵古松树的位置用坐标表示为． (1)根据建立的平面直角坐标系，写出6棵古槐树的位置所对应的坐标； (2)已知在的北偏西，115米处，试用表示方向的角和距离描述相对于的位置． 【答案】(1)，，，，，； (2)在的南偏东，且相距115米处 【思路引导】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）先根据点坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系即可；写出6棵古槐树的坐标即可； （2）据方位角的概念，可得答案． 【规范解答】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示∶ 有平面直角坐标系可知：6棵古槐树的坐标分别为∶，，，，，； （2）解：∵在的北偏西，115米处， ∴在的南偏东，115米处． 题型讲练八 用方向角和距离确定物体的位置 【例8】24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表）．慧慧说：“超市的坐标是．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．” (1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴； (2)写出学校、少年宫的坐标； (3)写出超市到少年宫的距离； (4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为，请写出图书馆相对于公园的位置． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) (4)同意，见解析，东北方向上，且距离为 【思路引导】（1）根据超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系解答即可． （2）根据坐标系，直接写出学校、少年宫的坐标即可； （3）超市的坐标是，少年宫的坐标是，两地距离为（米）； （4）根据公园、图书馆、超市点坐标即可判定都在一三象限的象限角的平分线上，即可写出图书馆相对于公园的位置． 本题考查了坐标系的建立，平移的应用，写出点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． 【规范解答】（1）解：超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系如下： （2）解：根据前面建立的坐标，得学校的坐标为，少年宫的坐标为． （3）解：根据题意，得超市的坐标是，少年宫的坐标是， 故两地距离为（米）． （4）解：同意， ∵超市的坐标是，图书馆的坐标是，公园的坐标是， ∴都在一三象限的象限角的平分线上， 由此可以判定，图书馆在公园的东北方向上，且距离为． 【变式】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点 处，那么点的位置在点的________距点 处． 【答案】北偏东30°方向 【思路引导】本题考查了坐标确定位置，正确地识别图形是解题的关键． 根据点的位置在点的东南方向距点 处，于是得到点的位置． 【规范解答】解：∵圆的直径是 ∴, ∵点的位置在点的东南方向距点 处， ∴点的位置在点的北偏东方向距点处， 故答案为：北偏东方向． 题型讲练九 根据方位描述确定物体的位置 【例9】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）画一画，填一填 (1)画出将图①绕点逆时针旋转后的图形，旋转后点的位置用数对表示是（______）． (2)将图②按放大为原来的两倍，放大后的图形与原来的图形的面积之比为______． (3)图③中点是圆心，是圆的直径，．如果每个小方格表示边长为2厘米的小正方形，那么点在点的______偏______，______方向______厘米处． 【答案】(1)画图见解析， (2) (3)北；东；30；6 【思路引导】题目主要考查作旋转图形，放大图形，等边三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，作出旋转后的图形，读出点的坐标即可； （2）画出放大后的图形，然后求出面积及比值即可； （3）根据题意及等边三角形的判定得出为等边三角形，再由其性质确定，厘米，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示：旋转后点的位置用数对表示是， 故答案为：； （2）如图所示，放大后的图为图④，面积为， 图②的面积为， 面积之比为：， 故答案为：； （3）由题意得：厘米， ∵， ∴厘米， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在点的北偏东，方向6厘米处， 故答案为：北；东；30；6． 【变式】（23-24六年级上·北京房山·期中）如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．    (1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置； (2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置； (3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ． 【答案】(1)，图见解析； (2)图见解析； (3)东，南（或南，东），． 【思路引导】本题考查了学生对数对位置的掌握与应用． （1）从图上即可得出学校的位置； （2）根据题干描述在图上标出小桥的位置即可； （3）从第二小题得到的图上，即可判断出公园位于小桥位置． 【规范解答】（1）解：学校的位置用数对表示是，公园的位置是如图：    （2）解：∵小桥在学校东偏北方向处， ∴用数对表示小桥的位置为：，如图：    （3）解：如图可知，    则公园位于小桥的东偏南或南偏东方向上，距离是． 题型讲练十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例10】在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”，即可求解． 【规范解答】解：∵将点)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，，，，，连接，以为边在轴上方作正方形． (1)直接写出，两点的坐标； (2)将正方形向右平移个单位长度，得到正方形． ①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时的值； ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形和三角形重叠的区域（不含边界）为，若区域内恰有个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②2＜t≤3或6≤t＜7 【思路引导】（1）由正方形的性质可得，，，即可求解； （2）由题意可得，借助面积法来建立关于的方程即可求解； 由平移的性质可得点，利用图形可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点，点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴点，点． （2）解：如图， ∵，，将正方形向右平移个单位长度， ∴， 连接， ∴， 则， ∴； 如图， ∵将正方形ABCD向右平移t个单位长度， ∴点A'（-5+t，0），点B'（-1+t，0）， ∵区域W内恰有3个整点， ∴1≤-5+t＜2或1＜-1+t≤2， ∴2＜t≤3或6≤t＜7． 【考点剖析】本题考查平移的性质、面积法，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 题型讲练十一 由平移方式确定点的坐标 【例11】（25-26七年级下·四川南充·期中）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，并画出三角形； (2)将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形，请画出平移后的三角形，并直接写出的坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的坐标为 (3)4 【思路引导】（1）在坐标系中描出，，三点，连接，，即可画出三角形； （2）根据平移方法将三角形三点同时向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，即可得到三角形；将点向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度按照“左减右加，上加下减”的平移规律即可得出的坐标； （3）用，，三点所在的格点长方形的面积减去三个小三角形的面积即可得到三角形的面积． 【规范解答】（1）解：如图，，，三点及三角形即为所求； （2）解：如图，三角形即为所求； 由图可得，的坐标为； （3）解：三角形的面积 ． 【变式】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)； (2)秒 (3)当点在线段上时，； 当点在的延长线上时，； 当点在的延长线上时， 【思路引导】（1）根据点的平移规律求解即可． （2）根据轴得出、两点纵坐标相等这一关系，再结合两点的运动速度和初始坐标列出方程求解． （3）需要分三种情况讨论点在直线上的位置，然后根据三角形外角的性质得出与、的数量关系． 【规范解答】（1）解：已知点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即， 点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即． 故答案为：． （2）解：设运动时间为秒，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向下运动，所以点的纵坐标为， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向上运动， 所以点的纵坐标为， 当轴时，、两点纵坐标相等，即， 移项可得，合并同类项得，两边同时除以， 解得． （3）解：当点在线段上时，过点作，如图， 因为， 所以，可得，， 所以． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 题型讲练十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例12】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，点，轴，垂足为H，将线段平移至线段，点，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． (1) ， ． (2)如图1，若点在线段上，证明：． (3)如图2，连，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．在运动过程中，三角形与三角形的面积有什么数量关系？写出你的猜测并证明． 【答案】(1)4；3 (2)见详解 (3)在运动过程中， 【思路引导】（1）根据算术平方根及偶次幂的非负性可进行求解； （2）连接，由（1）可知：，，然后可得，进而问题可求解； （3）连接，由题意可知，然后可得，进而问题可求解． 【规范解答】（1）解：∵，且 ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）可知：，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示： 由题意可知：， 由，，可知：点A先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B， ∴， ∴， ∴在运动过程中，． 【变式】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，且满足关系式 (1)请求出、两点的坐标； (2)点在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若的面积为16，求线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，为轴上一个动点，若的面积等于的面积，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，非负数的性质，熟知点的坐标平移变化规律是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a、b的值即可得到答案； （2）根据轴得到点C纵坐标为3，据此可得向上平移了4个单位长度，则可得到点D到的距离为4，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）由（2）可得点C的坐标为，则可推出点D到y轴的距离为6，求出，据此根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵轴， ∴点C的纵坐标为3，， ∵将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点， ∴向上平移了个单位长度， ∴点D的纵坐标与点A的纵坐标之差为4， ∴点D到的距离为4， ∵的面积为16， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得点C的坐标为， ∴点C与点B的横坐标之差为， ∴点D与点A的横坐标之差为6， ∴点D到y轴的距离为6， ∵， ∴， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 题型讲练十三 已知图形的平移，求点的坐标 【例13】（25-26七年级下·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)有点． ①请你描出点，，；并顺次连接点、、，组成三角形； ②若在线段上任意取一点，并将三角形向右平移个单位，向下平移个单位，点也随之平移，点的对应点为点．那么点的坐标可以为__________（写出一个即可），则点的坐标为__________； (2)若点也通过（1）中的平移方法得到对应点，则__________． 【答案】(1)①见解析②， (2) 【思路引导】（1）①根据坐标描点，连线即可；②选取上的一点，按照平移方法求的坐标即可； （2）根据平移的方法列方程求解即可. 【规范解答】（1）解：①如图所示： ②解：∵将三角形向右平移个单位，向下平移个单位， ∴向右平移个单位，向下平移个单位得到； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴. 【变式】（25-26七年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点为，，． (1)直接写出点 D 的坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，，将长方形沿x轴向左平移个单位长度，得到长方形，记长方形和重叠的区域(不含边界)为W． ①当时，在图中画出长方形，并写出区域W内整点的坐标； ②若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①图见解析，区域W内整点的坐标为；②或 【思路引导】（1）直接由图写出点 D 的坐标； （2）①根据题意画出长方形，即可写出区域W内整点的坐标； ②根据整点定义结合平移的性质即可解决问题． 【规范解答】（1）解：由图可知，； （2）解：①当时，长方形如图所示： 区域W内整点的坐标为； ②区域W内恰有3个整点，如图所示， ∴或． 题型讲练十四 已知平移后的坐标求原坐标 【例14】24-25九年级上·海南儋州·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查坐标与图形变化—平移，逆向思考，把点向下平移个单位长度后即可得到点的坐标．解题的关键是掌握点平移的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此解答即可． 【规范解答】解：∵在平面直角坐标系中，把点向下平移个单位长度后的坐标为，即， ∴点的坐标为． 故选：C． 【变式】平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是_______． 【答案】 【思路引导】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解． 【规范解答】解：设原来的位置坐标是， ∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是， ∴，， 解得：，， ∴原来的位置坐标是． 故答案为：． 题型讲练十五 坐标系中的平移 5（25-26七年级下·广东广州·期中）已知的平方根是，的立方根是3，c是的整数部分． (1)求的平方根； (2)点，点，点，且，求点的坐标． 【答案】(1)的平方根是； (2)或． 【思路引导】（1）直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案； （2）求得，由，，可得到点的坐标为或． 【规范解答】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， 解得：，， ∵， ∴的整数部分是2， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：∵，， ∴， ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴点的坐标为或，即或． 【变式】（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点A、N位于x轴负半轴，点B、Q位于y轴负半轴． (1)如图1，则________°（填度数）； (2)如图2，的三个顶点坐标分别为，，，平移得到（点A与点E对应，点B与点F对应，点C与点G对应）． ①若点E的坐标为，点F的坐标为，求点G的坐标； ②如图3，在①的条件下，与y轴交于点M，在x轴上有一点，动点H从点D以每秒3个单位向x轴负半轴运动，运动时间为t秒，运动过程中当的面积与的面积相等时，求t的值． 【答案】(1)270 (2)①；②或 【思路引导】（1）利用邻补角的性质，三角形内角和定理及角度和差关系即可得解； （2）①根据平移的性质分别求得a，b的值，从而得到点E，F的坐标，同理即可求得点C对应的点G坐标； ②过E点作x轴的平行线，交y轴负半轴于点J，过F点作的延长线的垂线，垂足为点K，连接，利用割补法求面积在平面直角坐标系中求出的长度，从而得到的面积，根据题意设，结合题意列出绝对值方程即可求解t的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ，， ． （2）解：①由平移的性质得：， 解得：， ，， 即平移后横坐标加1，纵坐标减3， ， ； ②由①得，， 如图，过E点作x轴的平行线，交y轴负半轴于点J，过F点作的延长线的垂线，垂足为点K，连接， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ∵动点H从点D以每秒3个单位向x轴负半轴运动，运动时间为t秒，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：或． 题型讲练十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 【例16】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，点，其中满足，将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至，连接． (1)请直接回答：___________，___________，的坐标是___________，的坐标是___________； (2)连接交于点，求的长； (3)如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为秒，射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)；3；；； (2) (3)是定值；3． 【思路引导】（1）利用非负数的性质，构建方程组即可解决问题． （2）利用面积法求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：如图2-1中，当点N在线段上时，连接．如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【规范解答】（1）解：， ，， ，， ，， 由平移的性质得， 将点、分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至、， ， （2）解：如图1中， 由题意得，，，， ∴， 即， 解得 ∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图2-1中，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接． ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，其中点P从C点出发，在线段，上以3个单位长度每秒的速度沿着运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒的速度沿着线段向O点运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达点O时，另一点也停止运动．设运动时间为t，当点P在上时，t取何值时，三角形的面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记三角形的面积为，记三角形的面积为，若，求N点的坐标． 【答案】(1)，， (2)t的值为或 (3) 【思路引导】（1）先利用非负性求出a，b，进而得出点A，B坐标，利用垂直确定出点C坐标； （2）由题意可得，当P在上时，，用含t的式子表示出，根据三角形的面积为2求解即可； （3）连接，过M点作轴，垂直于x轴，根据的面积得到，，结合，得到的面积为16，从而可计算出的长，即可得到点N的坐标． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，， ，， 、， 、， ∴， ∴； （2）解：，， ∴点P运动的时间，点Q运动的时间， ∵当其中一点到达点O时，另一点也停止运动 ∴ ∴当P在上时，，即， 点P的横坐标为，点Q的横坐标为， ， ， ， 或； 当P在上时，t取或时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2； （3）解：连接，过M点作轴，垂直于x轴， ， ∴， ∵M到x轴的距离为1，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型讲练十七 中点坐标 【例17】在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得的中点落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先求出线段的原中点坐标，再根据原中点与对应中点的坐标确定平移规律，最后根据平移规律计算点A的对应点坐标． 【规范解答】解：∵， ∴ 线段的中点的坐标为 ∵平移后的对应点为 ∴平移规律为横坐标减，纵坐标减 ∴点对应点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 【变式】在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中点的坐标与线段长度的计算，根据点的坐标，分别计算相关线段长度，并判断各结论是否正确，①通过计算中点坐标验证；②直接计算长度；③④通过解绝对值方程判断解的个数． 【规范解答】解：点，，，轴，点Q的纵坐标为m，故， ①当时，，，，线段的中点坐标为，与点B坐标相同，故B是的中点，①正确； ②，为定值，与m无关，故②正确； ③，，设，即，解得（唯一解），故③正确； ④设，即，解得或，有两个解，故④错误． 综上所述，正确结论为①②③． 故答案为：①②③． 题型讲练十八 点坐标规律探索 【例18】（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第208次跳动至点对应的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据点的跳动，找到规律从， ，，开始，每4个点作为一组，每组对应的点的横坐标每次加3，纵坐标每次加2，按照规律求解即可． 【规范解答】解：由题意及图，得 ， ，，，， ，，，……， ∴从， ，，开始，每4个点作为一组，每组对应的点的横坐标每次加3，纵坐标每次加2， ∵， ∴点对应点，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 【变式】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第90次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先观察图形可发现：前n次改变方向需要运动n个单位长度，由此可得运动长度，则是第12次改变方向后再运动12次到达的点，且观察图形可发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同，则是第三个运动周期的终点，然后根据每个周期终点的坐标间的规律求解即可． 【规范解答】解：观察图形可发现：第一次改变方向需要运动1个单位长度； 第二次改变方向需要运动2个单位长度； 第三次改变方向需要运动3个单位长度； 第四次改变方向需要运动4个单位长度； 第五次改变方向需要运动5个单位长度；； ∴第n次改变方向需要运动n个单位长度； ∴前n次改变方向需要运动n个单位长度， 当时，， 当时，， ∴是第12次改变方向后再运动12次到达的点， 观察图形发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同， 且是第三个运动周期的终点， 起点，第一个周期的终点， 第二个周期的终点，如图， ∴周期的终点的横坐标依次加2，纵坐标也是依次加2， ∴第三个周期的终点，的坐标为，即为 ． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，一个智能机器人从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其移动路线为：第一次向上移动1个单位到达，第二次向右移动1个单位到达，第三次向下移动1个单位到达，第四次向右移动1个单位到达，……．则第2026次移动后所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意得到每4次移动为一个循环周期，每个周期向右移动2个单位长度，纵坐标按循环变化，计算得到余数后即可确定对应坐标． 【规范解答】解：根据题意可得前几次移动后点的坐标： 可知移动4次为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标依次为． 第2026次移动是第507个循环的第2次移动， 横坐标为，纵坐标为， 即第2026次移动后点的坐标为． 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据移动，找出点移动时横坐标的规律为第次，横坐标为，纵坐标的规律为的循环，由此即可求解． 【规范解答】解：第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， ∴点移动时横坐标的规律为第次，横坐标为，纵坐标的规律为的循环， ∴第2025次运动后，横坐标为， ， ∴纵坐标为， ∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是． 3．（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，当点的横、纵坐标都是整数时，这样的点称为格点（也叫整点）．四个顶点都是格点的四边形称为格点四边形．过点（）分别向轴，轴作垂线，垂足为，．有如下三个结论： ①当时，格点四边形的面积与在边上的格点个数满足； ②当格点四边形内部（不含边界）只有两个格点时，格点四边形的面积与在边上的格点个数满足； ③格点四边形的面积，在内部（不含边界）的格点数与在边上的格点个数满足． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】根据题意画出格点四边形，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：①如图，当时，，， 格点四边形的边上的格点个数 格点四边形的面积 满足，故①正确； ②如图，格点四边形内部（不含边界）只有两个格点时， 格点四边形的边上的格点个数 格点四边形的面积 ∴格点四边形的面积与在边上的格点个数不满足；故②不正确， 如图， 1 2 3 4 5 6 观察图形，发现规律：满足，故③正确 4．（2026·河南驻马店·一模）数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 【答案】 【思路引导】首先根据端点，两点的坐标确定坐标原点的位置和单位长度，建立直角坐标系，即可求解出点的坐标． 【规范解答】解：∵端点，两点的坐标分别为，， ∴小方格的边长为1个单位长度，且点A在x轴负半轴1个单位，y轴正半轴2个单位， 点C在x轴正半轴3个单位，y轴正半轴1个单位， 由此建立坐标系如图： ∴点B的坐标为． 5．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移2个单位长度，得点 ； 接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【思路引导】观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果． 【规范解答】解：下标为偶数的点在第一象限，，，，⋯， ∴， 当时，， ∴按此做法进行下去，则点的坐标为． 6．（25-26七年级下·湖北十堰·期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后，到达点，则Q点的坐标为_____． 【答案】 或 【思路引导】先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第2025次时，共计向下平移了1013次，向右平移了1012次，即可解答． 【规范解答】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到， 此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到， 此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位， 因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 故横、纵坐标之和除以3所得余数是0的点不能通过平移得到，即“和点”反向运动2026次的前2025次只能是向右或向下平移1个单位，最后一次是左右或者向下方向， 若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后，到达点，则按照“和点”反向运动2026次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意， 那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第2025次时，共计向下平移了1013次，向右平移了1012次，此时坐标为，即， 则最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故Q点的坐标为或． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据点与点的纵坐标相等求出的值即可； （2）先得出，再得出，进而可得，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为，直线轴， ∴点与点的纵坐标相等，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵点在第二象限， ∴， ∵点到轴、轴的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）马年奔腾，万象更新．在中国象棋中，在棋盘上，“马”走“日”字，即“马”只能沿棋盘上的“纵日”或“横日”的对角线行走．为了定量研究“马”的行走规律，融融同学在棋盘上建立如图所示的平面直角坐标系． 融融将“马”按图1的方式从走到，并用坐标描述为：→→→→→． 经过不断的尝试，他发现无论走何种路线，“马”从走到所需步数都是奇数，其中为整数且．并给出如下证明： 证明：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步， ∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴纵坐标变化总量为 ∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数， 为偶数． ∴是奇数，因此是奇数， ， ∴是奇数，即一共走了奇数步． (1)在图中画出一种从走到步数更少的走法并用坐标描述； (2)请根据前面的推理，将处省略的步骤补充完整． 【答案】(1)路线为：，画图见解析； (2)见解析． 【思路引导】（）根据题意找出路线，然后画出图形即可； （）根据规律即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，路线为：； （2）解：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步， ∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴纵坐标变化总量为 ∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数， 为偶数， ∴是奇数，因此是奇数， ∵横坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴横坐标变化总量为 ∵从走到点横坐标变化总量为是偶数，且 为偶数， ∴是偶数，因此是偶数， ∴是奇数，即一共走了奇数步． 9．（23-24七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且． (1)求，的值； (2)在轴的正半轴上存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的一半，求出点的坐标；在坐标轴的其他位置是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的一半仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标； (3)如图，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 【答案】(1)， (2) ；存在，点的坐标，或 (3)不变， 【思路引导】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可求解； （2）先求出，从而，再根据面积公式，求得，再根据点在轴的正半轴上，即可求解；分类讨论：在轴的负半轴上时；在轴上时，根据面积公式，可求，再根据在轴的正、负半轴上，即可求解； （3）根据题意，得轴，从而，再根据角平分线的定义和邻补角的定义，可得，进而，最后计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ，， ，； （2）解： ，， ，， ， ， ， 三角形的面积是三角形的面积的一半， ， ，则， 点在轴的正半轴上， ； 当点在轴的负半轴上时，； 当点在轴上时， ，， ，则， 点在轴的正半轴上时，； 点在轴的负半轴上时，； 综上所述：在坐标轴的其他位置存在点，点的坐标，或； （3）解：不变，， 轴，轴轴， ， 轴， ， 平分，， ， ， ， ． 10．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示两点的“美好距离”． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是___________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是___________； (2)已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，则点与点的“美好距离”的最小值是___________；当与的“美好距离”取最小值时，点的横坐标的最小值是___________； (3)已知，定义平面内的一个动点满足，则称动点为两点间的“美好连接点”． ①若，请在图2中画出两点间的“美好连接点”所覆盖的区域： ②已知点坐标为，直线过点且垂直于轴，直接写出当直线上存在两点间“美好连接点”时，的最大值． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)2； (3)①图见解析；② 【思路引导】（1）①根据点位于轴上，可以设点的坐标为，由“美好距离”的定义可以确定，据此可以求得的值，可得点的坐标； ②设点的坐标为，根据，即可得出点与点的“美好距离”最小值； （2）根据直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，设点的坐标为，由，即可得出点与点的“美好距离”的最小值；根据点与点的“美好距离”的最小值即可求解； （3）①由，则，可得，由，，，可得，，分四种情况：，时，，时，，时，，时，进行讨论即可求解； ②由①可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵点为轴上的一个动点， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． ②设点的坐标为， 根据题意得， 当时，点与点的“美好距离”为； 当，即时，点与点的“美好距离”为； ∴点与点的“美好距离”的最小值为． （2）解：∵直线过且平行于轴，是直线上的一个动点， ∴设点的坐标为， ∵点的坐标是， 根据题意得， 当，即时，点与点的“美好距离”为； 当，即时，点与点的“美好距离”为2； ∴点与点的“美好距离”的最小值为2． 当与的“美好距离”取最小值时，， ∴， ∴点的横坐标的最小值是． （3）解：①∵， ∴， 由题意可得，， 设点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，，，， 解得，， 当，时，， 当时，则，解得， 则，解得， ∴； 当时，则，不符合题意； 当时，则，解得， 则，解得， ∴； 当，时，， ∴，则，； 当，时，， ∴，则，； 当，时，， ∴， ∴当，，，，都符合题意； ∴如图，四边形即为两点间的“美好连接点”所覆盖的区域． ②同理得， 当，时，， 当时，则，解得， 则，解得， ∴； 当时，则，解得， 则，解得， ∴； ∴， 解得， ∴的最大值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $