第九章 平面直角坐标系【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 平面直角坐标系【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 坐标系中描点 题型六 坐标与图形综合 题型七 实际问题中用坐标表示位置 题型八 用方向角和距离确定物体的位置 题型九 根据方位描述确定物体的位置 题型十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型十一 由平移方式确定点的坐标 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 题型十五 坐标系中的平移 题型十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型十七 中点坐标 题型十八 点坐标规律探索 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点梳理一 平面直角坐标系有关概念 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 知识点梳理二 平面直角坐标系内点的坐标及其特征 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 知识点梳理三 利用坐标表示位置 1.建立平面直角坐标系表示地理位置： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定 单位长度 。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置： 以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。 知识点梳理四 点在坐标系中的平移 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 知识点梳理五 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点拨】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（25-26七年级下·湖南·月考）如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为_____． 【变式】（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 题型讲练二 求点到坐标轴的距离 【例2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）下列说法：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②已知平面直角坐标系中点，点，则轴；③的平方根是；④在平面直角坐标系中，点，点，点，若三角形的面积为4，则点的坐标为；⑤过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离．其中正确的是________（填写序号）． 【变式】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点在轴上，且轴，满足．一动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点首次回到点时停止），运动时间为秒（）． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)连接，若把长方形的面积分成的两部分，求出点的坐标； (3)点在运动过程中，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型讲练三 判断点所在的象限 【例3】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．已知，． (1)根据题意建立平面直角坐标系； (2)将向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到，请画出；并写出点的坐标________ (3)在图中找一个格点D，连接使． 【变式】（25-26八年级下·吉林长春·月考）在平面直角坐标系中，下列说法：①有序实数对和坐标平面内的点是一一对应的；②点在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为；③已知点，点，则轴；④若点在坐标轴上，则；⑤若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，则点P的坐标．其中正确的是________（填写序号）． 题型讲练四 已知点所在的象限求参数 【例4】（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点． (1)若点在轴上，则点的坐标为____； (2)若点是第二象限内的点，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【变式】（25-26七年级下·四川南充·月考）已知点，解答下列各题． (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 题型讲练五 坐标系中描点 【例5】（25-26七年级下·山东济宁·期中）平面直角坐标系中三角形的三个顶点坐标分别为：． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出三角形； (2)将三角形向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，在如图所示的平面直角坐标系中画出平移后的图形三角形，并写出的坐标． 【变式】（24-25七年级上·山东济南·开学考试）按要求，画一画． (1)在下面方格纸中画一个长方形，顶点分别为、、、 (2)在方格纸右侧画出长方形按缩小后的图形． 题型讲练六 坐标与图形综合 【例6】（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，，，，连接，，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【变式】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 题型讲练七 实际问题中用坐标表示位置 【例7】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，这是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据题目所给条件在图中建立平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是_____，图书馆是_____； (3)已知教学楼的位置是，在图中标出教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为_____． 题型讲练八 用方向角和距离确定物体的位置 【例8】（25-26七年级上·广东佛山·月考）看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【变式】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏______度的方向行1千米到达邮局；再向______行______千米到达广场；由广场向北偏______度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 题型讲练九 根据方位描述确定物体的位置 【例9】（25-26七年级下·北京·期中）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线是一组自南向北贯穿北京老城，由一系列建筑与空间构成的宏大建筑群．从南至北由15处核心遗产点构成，呈严格对称，居中纵贯的网格分布．五一小长假，某班组织中轴线北线的探秘之旅，在出发前，每位同学拿到了如下图所示的用坐标表示中轴线几处核心遗产点的示意图，已知人民大会堂的坐标是，端门的坐标是． (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下，写出太庙的坐标为___________； (3)甲同学给在人民大会堂的乙同学发消息说：“我在人民英雄纪念碑，就是你的东南方向．”甲同学又告诉在国家博物馆的丙同学：“我在你的西南方向．”请你根据这些信息： ①用点在图上表示人民英雄纪念碑的位置； ②在（1）的条件下，点坐标为___________． 【变式】（24-25七年级上·山西长治·开学考试）作图计算 下面每个小正方形的边长表示，请你按要求填空或作图． (1)图中点记作(___________，___________)，那么点在点的___________方向，距离___________处； (2)以边所在的直线为对称轴画出三角形的轴对称图形，记作三角形①； (3)画出三角形向右平移四格后的图形，记作三角形②；在这个过程中，三角形扫过的面积是___________； (4)把三角形按的比画在合适的位置，记作三角形③； (5)如果把三角形绕边旋转一周形成了一个几何体，它的体积是___________．（取） 题型讲练十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例10】（23-24八年级上·安徽滁州·月考）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式】点向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度对应点的坐标为______． 题型讲练十一 由平移方式确定点的坐标 【例11】（25-26七年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．连接，将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段（点与点对应）． (1)直接写出点，的坐标； (2)如图2，过点作轴于点，点在轴上，使与的面积相等，求的值： (3)如图3，在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】（25-26七年级下·河南濮阳·期中）如图1是市内某区域的平面示意图．小明建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示部分学校的位置．已知点，． (1)在图2中补全平面直角坐标系，并直接写出点B，C的坐标； (2)连接，将三角形沿直线平移，点C与点D重合，画出平移后的三角形（点B的对应点是点E）； (3)点M是x轴上一点，且满足三角形的面积等于4，直接写出点M的坐标． 题型讲练十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例12】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，长方形可以由长方形经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ （2）点是长方形上一点，写出点P的对应点的坐标． 【变式】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，已知，点轴，垂足为H，将线段平移至线段，点，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a，b满足． (1)A，B，C三点的坐标分别为________，________，________； (2)如图1，若点在线段上（不包括端点），求证：； (3)如图2，连接，动点P从点B开始在x轴上以每秒4个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒2个单位的速度向下运动，若经过t秒，三角形与三角形的面积相等，求t的值及点P，点Q的坐标． 题型讲练十三 已知图形的平移，求点的坐标 【例13】（25-26七年级下·天津西青·期中）如图，平面直角坐标系中有A，B，C三点． (1)写出图中点A，B，C的坐标； (2)把三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得三角形，在图中画出平移后的三角形，并写出点，，的坐标； (3)填空：若三角形内有一点经过上述平移后对应点为，则点的坐标为 ． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)图中点是线段上的一动点， ①连接，利用三角形面积探究，之间的数量关系； ②过点作直线轴，点在直线上，且，若三角形的面积为4，求出点的坐标． 题型讲练十四 已知平移后的坐标求原坐标 【例14】（23-24七年级下·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 【变式】（25-26七年级下·河南濮阳·期中）小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏． 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（   ） A． B． C．或 D．或 题型讲练十五 坐标系中的平移 【例15】（25-26七年级下·北京·期中）如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 【变式】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中如图1，点的坐标为，点的坐标为，且满足，将线段平移至线段，点的对应点在轴上，点的对应点． (1)直接写出 (2)若点在轴上且满足，求点的坐标． (3)如图2，点为线段上一点，点为线段上一点，点为线段上一点，和的平分线交于点，试探究和之间的数量关系，并说明理由． (4)如图3，过点作直线轴，点为直线上一点，若的面积为12，直接写出点的坐标． 题型讲练十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 【例16】（25-26七年级下·天津河西·期中）如图①，在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)①若有点，则三角形的面积为__________； ②若有点，当三角形的面积为8时，的值为__________； ③若有点，当三角形的面积为8时，的值为__________； (2)如图②，现在将线段向右平移4个单位，A，B的对应点分别为． ①若在轴上存在点，使得三角形的面积是三角形的3倍，求点的坐标； ②若有点在线段上（不含端点）运动时，则三角形与三角形面积之和的范围是大于__________小于__________． 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，连接，． (1)直接写出点的坐标； (2)若，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)点为轴上的一点，若三角形的面积等于四边形的面积的一半，求点的坐标． 题型讲练十七 中点坐标 【例17】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）定义：在平面直角坐标系中，若两点，所连线段的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题： （1）在平面直角坐标系中，若点，线段的中点的坐标为，则点的坐标为___________； （2）在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于___________． 【变式】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为 (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为_____ (2)已知，，为线段的中点，则点坐标为_____ (3)已知三点，，，第四个点与点、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，求点D的坐标． 题型讲练十八 点坐标规律探索 【例18】（25-26七年级下·北京·期中）如图，已知点则点的坐标为_____． 【变式】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，⋯⋯则点的坐标是__________． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点Q．则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，船位于船的北偏东，处．用方向角和距离描述船相对于船的位置，下列说法正确的是（    ） A．船位于船的北偏东，处 B．船位于船的南偏西，处 C．船位于船的北偏东，处 D．船位于船的南偏西，处 3．（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为，当蚂蚁爬了2026个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如果将点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，恰好落在原点处，那么______． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 6．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）2026年3月，张雪机车在世界超级摩托车锦标赛连续夺得两回合冠军，是中国品牌首次在此级别领跑完赛，获得人民日报以“追风赶月莫停留”为题的点赞．小军将“张”“雪”“机”“车”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“张”“雪”的坐标分别为，，则“车”的坐标为_____． 7．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)建立平面直角坐标系，使点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是__________； (2)过点作的平行线，点在点右侧且在格点上； (3)经过平移，三角形的顶点移到点，画出平移后的三角形． 8．（25-26七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是；点是内一点，当随着点平移到点时． (1)请画出平移后新； (2)直接写出三个顶点的坐标； (3)若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点，则点的坐标是 ，若连接线段，则这两条线段之间的关系是 ． 9．（25-26七年级下·河北唐山·期中）你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图所示的平面直角坐标系是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (2)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 10．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，设运动时间为秒． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____，点的坐标为_____，和位置关系是_____； (2)①用含有的代数式表示和的长度； ②当时，求的值． (3)当、分别在线段，上时，连接、，使，求出点的坐标； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 平面直角坐标系【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 坐标系中描点 题型六 坐标与图形综合 题型七 实际问题中用坐标表示位置 题型八 用方向角和距离确定物体的位置 题型九 根据方位描述确定物体的位置 题型十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型十一 由平移方式确定点的坐标 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 题型十五 坐标系中的平移 题型十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型十七 中点坐标 题型十八 点坐标规律探索 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点梳理一 平面直角坐标系有关概念 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 知识点梳理二 平面直角坐标系内点的坐标及其特征 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 知识点梳理三 利用坐标表示位置 1.建立平面直角坐标系表示地理位置： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定 单位长度 。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置： 以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。 知识点梳理四 点在坐标系中的平移 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 知识点梳理五 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点拨】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 写出直角坐标系中点的坐标 【例1】（25-26七年级下·湖南·月考）如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为_____． 【答案】 【思路引导】根据白棋①和黑棋②的坐标确定坐标轴和原点的位置，进而画出坐标系可得白棋③的坐标． 【规范解答】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则白棋③的位置应记为． 【变式】（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 【答案】(1)9 (2)或 (3)或 【思路引导】（1）过点C作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案； （3）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； （3）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为或点M的横坐标为， ∴点M的坐标为或； 题型讲练二 求点到坐标轴的距离 【例2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）下列说法：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②已知平面直角坐标系中点，点，则轴；③的平方根是；④在平面直角坐标系中，点，点，点，若三角形的面积为4，则点的坐标为；⑤过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】②⑤/⑤② 【思路引导】本题根据平面内直线的位置关系，平面直角坐标系中点的坐标特征，平方根的定义，三角形面积公式，点到直线的距离定义，逐一判断每个说法即可． 【规范解答】解：①在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，题目未说明在同一平面内，故①错误； ②点，点，两点纵坐标相等，因此轴，故②正确； ③，的平方根为，因此的平方根是，故③错误； ④点，点都在轴上，因此，的高为点的纵坐标， 由三角形面积公式得， 解得或， 因此点的坐标为或，故④错误； ⑤根据点到直线的距离定义，过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，故⑤正确． 【变式】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点在轴上，且轴，满足．一动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点首次回到点时停止），运动时间为秒（）． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)连接，若把长方形的面积分成的两部分，求出点的坐标； (3)点在运动过程中，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为或 (3)存在，的值为4或 【思路引导】（1）直接利用非负数的性质即可解答； （2）先根据坐标得到长方形的长和宽，再计算出长方形的面积，然后分两种情况讨论：当时和当时，分别根据三角形面积公式列方程解答即可； （3）分三种情况讨论：①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时，用t表示出此时点P到x轴的距离，建立方程解答即可． 【规范解答】（1）解：∵满足，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴长方形的面积为， ∵把长方形的面积分成的两部分， ∴一部分的面积为，一部分面积为， ∴可分两种情况讨论：当时和当时， ①当时， 此时点P在上，设点P的坐标为，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； ②当时， 此时点P在上，设点P的坐标为，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，若把长方形的面积分成的两部分，点P的坐标为或； （3）解：存在， ①当点P在上时，， 根据题意可知，此时，即， ∴， 解得； ②当点P在上时，此时点P到x轴的距离为8， 则， 解得， 根据题意，的最大值为， ∵， ∴不符合题意； ③当点P在上时，， 根据题意可知，此时，即， ∴， 解得； 综上所述，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，此时的值为4或． 题型讲练三 判断点所在的象限 【例3】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．已知，． (1)根据题意建立平面直角坐标系； (2)将向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到，请画出；并写出点的坐标________ (3)在图中找一个格点D，连接使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3)见解析 【思路引导】本题考查平移变换作图、平行线的性质、平面直角坐标系的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据点A坐标可知，点A在轴上，原点在A点右侧3个单位长度处，即以点B为原点，为轴建立平面直角坐标系； （2）利用平移变换的性质得到点、、的位置，再依次连接即可； （3）取格点D，连接，使得即可． 【规范解答】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求； （2）解：如图，即为所求； 则的坐标为； （3）解：如图，取格点D，连接， ， ， 点D即为所求． 【变式】（25-26八年级下·吉林长春·月考）在平面直角坐标系中，下列说法：①有序实数对和坐标平面内的点是一一对应的；②点在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为；③已知点，点，则轴；④若点在坐标轴上，则；⑤若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，则点P的坐标．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查平面直角坐标系的概念，坐标与图形性质，根据相关知识点，逐一判断每个说法即可． 【规范解答】解：①根据平面直角坐标系的概念，有序实数对和坐标平面内的点是一一对应的，故①正确． ②点在轴上，轴上点的横坐标为， ， 解得：， ， 点的坐标为，故②错误． ③点，点的纵坐标相等， 轴，故③正确． ④点在坐标轴上，则或， ，故④正确． ⑤点到轴的距离是，到轴的距离为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为或或或，故⑤错误． 综上，正确的是①③④． 题型讲练四 已知点所在的象限求参数 【例4】（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点． (1)若点在轴上，则点的坐标为____； (2)若点是第二象限内的点，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）根据轴上的点的横坐标为列出方程求出的值即可求解； （）根据第二象限内点的坐标符号特征判断出点横纵坐标的符号，再根据点到两坐标轴距离相等即横纵坐标的绝对值相等列出方程求解即可； 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵点在轴上， ∴点的横坐标为，即， 解得， 将代入纵坐标，得， ∴点的坐标为； （2）解：∵点是第二象限内的点， ∴，， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 【变式】（25-26七年级下·四川南充·月考）已知点，解答下列各题． (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）利用轴上点的纵坐标为的性质，列方程求解，再计算横坐标得到点的坐标； （2）利用平行于轴的直线上所有点纵坐标相等的性质，列方程求解，再计算横坐标得到点的坐标； （3）先根据点在第二象限可得，再根据点到轴、轴的距离相等可得，求出的值，代入计算即可得． 【规范解答】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， ． （2）解：直线轴， 点与点的纵坐标相等， ， ， 解得， ， ． （3）解：点在第二象限， ， 点到轴、轴的距离相等， ，即， 解得， 则． 题型讲练五 坐标系中描点 【例5】（25-26七年级下·山东济宁·期中）平面直角坐标系中三角形的三个顶点坐标分别为：． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出三角形； (2)将三角形向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，在如图所示的平面直角坐标系中画出平移后的图形三角形，并写出的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解； ，，． 【思路引导】（1）根据直接画出三角形即可． （2）根据平移的性质直接画出三角形，然后写出的坐标即可． 【规范解答】（1）解：三角形如下图所示： （2）解：三角形如下图： ，，． 【变式】（24-25七年级上·山东济南·开学考试）按要求，画一画． (1)在下面方格纸中画一个长方形，顶点分别为、、、 (2)在方格纸右侧画出长方形按缩小后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意直接描点再连线即可； （2）将原长方形的各边缩小为原来的即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作； （2）解：按缩小后的图形如图所示． 题型讲练六 坐标与图形综合 【例6】（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，，，，连接，，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【思路引导】根据点和点的坐标特征得到与轴的位置关系，推出的度数，再结合已知角相等得到与轴的位置关系，利用平行于轴的点纵坐标相等整理得到的值即可． 【规范解答】解：，， ，横坐标相等，轴， ， ， ， ， 轴， 轴， ，纵坐标相等，即， 整理得：． 【变式】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 【答案】(1)，， (2)平行 (3)或 【思路引导】本题主要考查平行线的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到、、，然后计算即可解答； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与y轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5以及点B、C的横坐标为4，可以求得m的值，然后根据m的值分两种情况求的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ，，， ，，． （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴． （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时，； 当时，． 综上，的面积为或． 题型讲练七 实际问题中用坐标表示位置 【例7】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，这是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先理解题意，结合表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，画出正确的平面直角坐标系，再读取表示乾清门的点的坐标，即可作答． 【规范解答】解：如图所示： ∴表示乾清门的点的坐标是， 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据题目所给条件在图中建立平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是_____，图书馆是_____； (3)已知教学楼的位置是，在图中标出教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为_____． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 (4)240 【思路引导】（1）因为已知旗杆和实验室的坐标，所以可以以这两个点为参照，确定平面直角坐标系的原点、x轴和y轴的位置，完成坐标系的建立． （2）建立好平面直角坐标系后，根据坐标的定义，读取食堂和图书馆对应的横、纵坐标，得到它们的坐标表示． （3）已知教学楼的坐标，根据平面直角坐标系中点的定位方法，在图中找到对应位置并标注． （4）先确定宿舍楼的坐标，再利用两点间距离公式计算出宿舍楼到教学楼的图上距离，又因为1个单位长度表示，所以用图上距离乘以30得到实际距离． 【规范解答】（1）解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是 建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：食堂，图书馆； （3）解：教学楼的位置是，如图所示； （4）解：因为1个单位长度表示， 那么由图可知，宿舍楼到教学楼的实际距离为． 题型讲练八 用方向角和距离确定物体的位置 【例8】（25-26七年级上·广东佛山·月考）看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【答案】(1)正南， (2)北偏西60° (3)见解析 【思路引导】本题考查了根据方向和距离确定物体的位置，掌握方向角的定义是解题的关键． （1）根据图形及方向角的定义解答即可； （2）根据图形及方向角的定义解答即可； （3）根据方向及距离标出超市位置即可； 【规范解答】（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为∶正南，； （2）解：书店在学校北偏西方向上， 故答案为∶北偏西； （3）解：由题意知超市在学校北偏东方向米处，则超市位置如图所示： 【变式】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏______度的方向行1千米到达邮局；再向______行______千米到达广场；由广场向北偏______度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 【答案】(1)南50；正东；2.7；东40； (2)公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 【思路引导】本题考查的是根据方向和距离，确定物体的位置； （1）依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”就可以直接填写答案； （2）先求出整个过程中的总路程，算出总时间，即可求出平均速度． 【规范解答】（1）解：4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行千米到达广场；由广场向北偏东40度的方向行0.8千米到达公园， 故答案为：南50；正东；2.7；东40； （2）整个过程的总时间为：（分钟）（小时） 整个过程的总路程为：（千米）， 所以平均速度为：（千米/时）， 答：公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 题型讲练九 根据方位描述确定物体的位置 【例9】（25-26七年级下·北京·期中）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线是一组自南向北贯穿北京老城，由一系列建筑与空间构成的宏大建筑群．从南至北由15处核心遗产点构成，呈严格对称，居中纵贯的网格分布．五一小长假，某班组织中轴线北线的探秘之旅，在出发前，每位同学拿到了如下图所示的用坐标表示中轴线几处核心遗产点的示意图，已知人民大会堂的坐标是，端门的坐标是． (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下，写出太庙的坐标为___________； (3)甲同学给在人民大会堂的乙同学发消息说：“我在人民英雄纪念碑，就是你的东南方向．”甲同学又告诉在国家博物馆的丙同学：“我在你的西南方向．”请你根据这些信息： ①用点在图上表示人民英雄纪念碑的位置； ②在（1）的条件下，点坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；②． 【思路引导】（1）根据人民大会堂的坐标是，可知天安门为原点，进而建立平面直角坐标系即可； （2）根据坐标系求解即可； （3）①根据方向角的定义即可找到A点位置；②根据A点位置求解即可． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系如图， （2）解：太庙的坐标为； （3）解：①A点如图所示， ②点坐标为． 【变式】（24-25七年级上·山西长治·开学考试）作图计算 下面每个小正方形的边长表示，请你按要求填空或作图． (1)图中点记作(___________，___________)，那么点在点的___________方向，距离___________处； (2)以边所在的直线为对称轴画出三角形的轴对称图形，记作三角形①； (3)画出三角形向右平移四格后的图形，记作三角形②；在这个过程中，三角形扫过的面积是___________； (4)把三角形按的比画在合适的位置，记作三角形③； (5)如果把三角形绕边旋转一周形成了一个几何体，它的体积是___________．（取） 【答案】(1)4，3；正北，3； (2)见解析； (3)见解析，15； (4)见解析； (5)． 【思路引导】本题考查了平移，圆锥的体积等知识，解题的关键是： （1）根据图形可求解； （2）根据平移的性质画出图形即可求解； （3）根据平移的性质画出图形即可； （4）根据比例关系画出图形即可； （5）由圆锥的体积公式可求解． 【规范解答】（1）解：图中点记作，那么点在点的正北方向，距离处； 故答案为：4，3；正北，3； （2）解∶ 以边所在的直线为轴画出三角形的轴对称图形，记作三角形①． （3）解∶ 如图，画出三角形向右平移四格后的图形，记作三角形②； 在这个过程中，三角形扫过的面积， 故答案为：15； （4）解∶ 如图，把三角形按的比画在合适的位置，记作三角形③； （5）如果把三角形绕边旋转一周形成了一个（圆锥），它的体积， 故答案为：． 题型讲练十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例10】（23-24八年级上·安徽滁州·月考）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，得新点坐标． 【规范解答】解：左平移3个单位长度，横坐标变为，向下平移2个单位长度，纵坐标变为，点B的坐标为； 故选：D 【考点剖析】本题考查直角坐标系平移与坐标变化；掌握平移方向与坐标加减的法则是解题的关键． 【变式】点向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度对应点的坐标为______． 【答案】 【思路引导】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案． 【规范解答】解：点向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度对应点的坐标为， 故答案为：． 【考点剖析】此题考查坐标与图形的变化，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 题型讲练十一 由平移方式确定点的坐标 【例11】（25-26七年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．连接，将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段（点与点对应）． (1)直接写出点，的坐标； (2)如图2，过点作轴于点，点在轴上，使与的面积相等，求的值： (3)如图3，在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路引导】（1）根据平移规律即可求解； （2）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解； （3）设点，①当时：得出， 或，根据列出方程，解方程求解即可；②当时：得出，，根据列出方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为，将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段 ∴，即 （2）解：∵ ∴ 解得或 （3）设点 ①当时： 情况1：如图 情况2：如图 （舍） ②当时： 综上所述：或 【变式】（25-26七年级下·河南濮阳·期中）如图1是市内某区域的平面示意图．小明建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示部分学校的位置．已知点，． (1)在图2中补全平面直角坐标系，并直接写出点B，C的坐标； (2)连接，将三角形沿直线平移，点C与点D重合，画出平移后的三角形（点B的对应点是点E）； (3)点M是x轴上一点，且满足三角形的面积等于4，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)或 【思路引导】（1）根据点A和点D的坐标确定坐标轴和原点的位置，据此画出平面直角坐标系，进而得到点B和点C的坐标即可； （2）根据点C与点D的坐标可得平移方式，根据平移方式可得点E和点F的坐标，进而画出对应的三角形即可； （3）根据三角形的面积公式可得，据此求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为或点M的横坐标为， ∴点M的坐标为或． 题型讲练十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例12】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，长方形可以由长方形经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ （2）点是长方形上一点，写出点P的对应点的坐标． 【答案】（1）长方形可以由长方形向右平移3个单位，然后向上平移2个单位得到； （2）． 【思路引导】本题考查了平移与坐标变化． （1）先确定出点A与点的坐标，然后依据点A与点的位置可确定出平移的方向和距离； （2）依据平移与坐标变化的规律求解即可． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴点由点A向右平移3个单位，然后向上平移2个单位得到． ∴长方形可以由长方形向右平移3个单位，然后向上平移2个单位得到； （2）点对应点的坐标为． 【变式】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，已知，点轴，垂足为H，将线段平移至线段，点，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a，b满足． (1)A，B，C三点的坐标分别为________，________，________； (2)如图1，若点在线段上（不包括端点），求证：； (3)如图2，连接，动点P从点B开始在x轴上以每秒4个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒2个单位的速度向下运动，若经过t秒，三角形与三角形的面积相等，求t的值及点P，点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)时，，；时，，． 【思路引导】本题考查坐标与图形变化平移，一元一次方程的实际应用，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）先根据非负性求出，确定平移方式即可求出； （2）根据求出的面积，再根据的面积+ 的面积＝的面积表示出的面积，即可证明； （3）分情况讨论：当点P在线段上，当点P在的延长线上时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴点向右平移4个单位，向下平移12个单位得到点， ∴点也向右平移4个单位，向下平移12个单位得到点， ∴， 故答案为：，； （2）解：的面积， 如图，连接． ∵的面积+的面积 的面积， ∴， ∴； （3）解：①当点P在线段上，， 解得． 此时，； ②当点P在的延长线上时，， 解得， 此时 ， 综上所述，时，，；时，，． 题型讲练十三 已知图形的平移，求点的坐标 【例13】（25-26七年级下·天津西青·期中）如图，平面直角坐标系中有A，B，C三点． (1)写出图中点A，B，C的坐标； (2)把三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得三角形，在图中画出平移后的三角形，并写出点，，的坐标； (3)填空：若三角形内有一点经过上述平移后对应点为，则点的坐标为 ． 【答案】(1)，，； (2)图见解析，，，； (3) 【思路引导】（1）根据点A，B，C在坐标系中的位置，即可写出点A，B，C的坐标； （2）利用平移的性质即可画出平移后的三角形，根据点，，在坐标系中的位置，即可写出点，，的坐标； （3）根据平移的性质即可得解． 【规范解答】（1）解：，，； （2）解：三角形如图所示， 点，，； （3）解：点经过上述平移后对应点的坐标为． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)图中点是线段上的一动点， ①连接，利用三角形面积探究，之间的数量关系； ②过点作直线轴，点在直线上，且，若三角形的面积为4，求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)①，②点的坐标为或． 【思路引导】（1）根据轴于点，可得，即可求出点的坐标，根据平移线段得到，得，即可求出点的坐标； （2）①连接，过点作轴于点，轴于点，求出各个线段的值，再运用，即可求出，之间的数量关系；②先根据①中，之间的数量关系，得，再过点作直线轴，与轴交于点，过点作轴于点，于点，连接，根据坐标求出各个线段的值，然后根据，进行分类讨论：（i）当在的左侧，（ii）当在的右侧，求出的值，在代入中，建立关于的方程，求解即可． 【规范解答】（1）∵，轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵平移线段使点与原点重合，点的对应点为点， ∴，， ∵由图可知，在轴的负半轴上， ∴； （2）①如图，连接，过点作轴于点，轴于点， ∵点是线段上的一动点， ∴，， ∴，， ∵由（1）得、， ∴，， ∴， ， ， ，即 ②∵由①得，即， ∴ 如图，过点作直线轴，与轴交于点，过点作轴于点，于点，连接， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∵由（1）得， ∴， ∵， ∴， 分类讨论： （i）当在的左侧，即为图中的位置， ∵，， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴； （ii）当在的右侧，即为图中的位置， ∵，， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 题型讲练十四 已知平移后的坐标求原坐标 【例14】（23-24七年级下·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见详解， (2) (3)7 【思路引导】本题考查了作图−平移，点的平移，网格三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用点平移的坐标规律写出点，，的坐标，然后描点即可； （2）把点向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点P，从而确定P点坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积． 【规范解答】（1）解：如图，为所作， ∵， ∴将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴； （2）解：由题意得点向左平移5个单位，向下平移1个单位得到点P， ∴点； （3）解：． 【变式】（25-26七年级下·河南濮阳·期中）小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏． 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】平面直角坐标系中一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可确定点P的纵坐标，在y轴上的点的横坐标为0，结合向右平移时横坐标加上平移距离可得点P的横坐标． 【规范解答】解：∵点P到x轴的距离为3个单位长度， ∴点P的纵坐标的绝对值为3，即点P的纵坐标为3或， ∵点P向右平移4个单位长度后落在y轴上， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 题型讲练十五 坐标系中的平移 【例15】（25-26七年级下·北京·期中）如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】先求出点的坐标，再由平移求解即可． 【规范解答】解：∵正方形在平面直角坐标系中， ∴轴，轴， ∵点， ∴， ∴，即 ∵，， ∴根据平移可得，点在新坐标系中对应的坐标为． 【变式】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中如图1，点的坐标为，点的坐标为，且满足，将线段平移至线段，点的对应点在轴上，点的对应点． (1)直接写出 (2)若点在轴上且满足，求点的坐标． (3)如图2，点为线段上一点，点为线段上一点，点为线段上一点，和的平分线交于点，试探究和之间的数量关系，并说明理由． (4)如图3，过点作直线轴，点为直线上一点，若的面积为12，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)当点E在直线左侧时，；当点E在直线右侧时，；理由见解析 (4)或 【思路引导】（1）根据非负数的性质求出a、b的值得到点A和点B的坐标，则可判断出平移方式，进而可得c的值； （2）求出的面积，得到的面积，根据三角形的面积公式求出的长，即可得到答案； （3）分两种情况：点E在直线左侧和点E在直线右侧，画出示意图讨论求解即可； （4）根据（1）可求出点D的坐标，再分三种情况：点E在y轴左侧，点E在y轴右侧，且在直线的左侧，点E在直线的右侧，分别画出示意图讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵将线段平移至线段，点的对应点在轴上，点的对应点， ∴平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴； （2）解：由（1）得点的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∴， ∵点在轴上且满足， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； （3）解：当点E在直线左侧时，；当点E在直线右侧时，；理由如下： 设， ∵和的平分线交于点， ∴； 如图所示，当点E在直线左侧时，过点H作， 由平移的性质可得， ∴ ∴， ∴； 同理可得； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在直线右侧时， 同理可得， ， ∴； 综上所述，当点E在直线左侧时，；当点E在直线右侧时，； （4）解：由（1）可得点D的坐标为； 如图所示，当点E在y轴左侧时，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； 如图所示，当点E在y轴右侧，且在直线左侧时，连接， 此时 ，不符合题意； 如图所示，当点E在直线右侧时，连接， 此时 ， ∴， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 题型讲练十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 【例16】（25-26七年级下·天津河西·期中）如图①，在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)①若有点，则三角形的面积为__________； ②若有点，当三角形的面积为8时，的值为__________； ③若有点，当三角形的面积为8时，的值为__________； (2)如图②，现在将线段向右平移4个单位，A，B的对应点分别为． ①若在轴上存在点，使得三角形的面积是三角形的3倍，求点的坐标； ②若有点在线段上（不含端点）运动时，则三角形与三角形面积之和的范围是大于__________小于__________． 【答案】(1)①3；②；③10或 (2)①或  ②3；4 【思路引导】（1）①根据点的坐标结合三角形面积公式求出结果即可； ②根据，，得出，根据三角形的面积为8，列出方程，解方程即可； ③分三种情况讨论：当点N在x轴上方时，当点N在x轴下方，在直线上方时，当点N在x轴下方，在直线下方时，分别画出图形，列出方程，解方程即可； （2）①先求出，根据三角形的面积是三角形的3倍，得出，设点D的坐标为，根据三角形面积公式得出，求出d的值，即可得出答案； ②设点P的纵坐标为，根据三角形面积公式得出，根据，求出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：①∵，， ∴轴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴轴， ∴， ∵三角形的面积为8，， ∴， 解得：； ③如图，当点N在x轴上方时，过点N作轴于点C， ∵，， ∴，，，，， ∵三角形的面积为8， ∴， 解得：； 如图，当点N在x轴下方，在直线上方时，过点N作轴于点C， ∵，， ∴，，，，， ∵三角形的面积为8， ∴， 解得：，不符合题意舍去； 如图，当点N在x轴下方，在直线下方时，过点N作轴于点C， ∵，， ∴，，，，， ∵三角形的面积为8， ∴， 解得：； 综上，n的值为10或； （2）解：①∵线段向右平移4个单位得到， ∴，且轴，，， ∵点D在x轴上， ∴点D到的距离为2， ∴， ∵三角形的面积是三角形的3倍， ∴， 设点D的坐标为， ∴， 解得：或， ∴此时点D的坐标为或； ②∵，，， ∴，， 设点P的纵坐标为，则： ， ∵， ∴， 即三角形与三角形面积之和的范围是大于3小于4． 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，连接，． (1)直接写出点的坐标； (2)若，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)点为轴上的一点，若三角形的面积等于四边形的面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【思路引导】（1）由到确定平移方式，再根据平移方式可得的坐标； （2）设秒后轴，则点的纵坐标为，点的纵坐标为，再利用，的纵坐标相等，构建方程求解即可； （3）记与轴的交点为，则，可得，结合求出，设，分两种情况：当点在直线上方时，当点在直线下方时，再利用面积公式建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：点的对应点的坐标为， 线段向左平移个单位，向下平移个单位得到线段， ，即； （2）设秒后轴， 由题意得点的纵坐标为，点的纵坐标为， 轴， 解得 时，轴； （3）如图，记与轴的交点为，则， ， ， ， ． 四边形的面积的一半为， 设， 如图，当点在直线上方时，由可知点在轴上方， 如图所示，过点作直线与轴平行，分别交线段，于点，由割补法可得， 解得， ； ②如图，当点在直线下方时， 同理可得     ， 解得， ； 综上点的坐标为或． 题型讲练十七 中点坐标 【例17】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）定义：在平面直角坐标系中，若两点，所连线段的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题： （1）在平面直角坐标系中，若点，线段的中点的坐标为，则点的坐标为___________； （2）在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于___________． 【答案】 8或0 【思路引导】（1）设点的坐标为，根据中点坐标公式计算即可； （2）根据中点坐标公式得，，根据题意分类讨论：当点在轴的负半轴上时和当点在轴的正半轴上时，利用中点坐标列方程即可求解． 【规范解答】解：（1）设点的坐标为， ∵点，线段的中点的坐标为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）依题意得：点的横坐标为：，纵坐标为：， 由点恰好位于轴上，且到轴的距离是2， 则当点在轴的负半轴上时： ， 解得：， ； 当点在轴的正半轴上时： ， 解得：， ； 综上所述，的值等于8或0． 【变式】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为 (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为_____ (2)已知，，为线段的中点，则点坐标为_____ (3)已知三点，，，第四个点与点、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路引导】（1）根据题意，即可得到中点的坐标： （2）设点的坐标，根据中点坐标的定义建立方程求解； （3）利用（2）中的方法进行分类讨论即可答题． 【规范解答】（1）解： ，， 线段的中点的坐标是，即； （2）解：设点的坐标，由题意得，， 解得，， 点的坐标为； （3）解：分类讨论： ①与中点重合时，则，， ，， 此时； ②与中点重合时，则， ，， 此时； ③与中点重合时，则， ，， 此时， 点的坐标为或或． 题型讲练十八 点坐标规律探索 【例18】（25-26七年级下·北京·期中）如图，已知点则点的坐标为_____． 【答案】 【思路引导】根据题意可得，从开始，点A的坐标依次在四个象限循环，然后求出点所在象限以及转动圈数即可． 【规范解答】解：由图象得，从开始，点A的坐标依次在四个象限循环， ∵， ∴点在第一象限，在转动的第507圈上， 又∵第一象限内点A的横纵坐标的绝对值相等， ∴的坐标为． 【变式】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，⋯⋯则点的坐标是__________． 【答案】 【思路引导】由题意该点按“上→右→下→下→右→上”的方向每6次一循环的规律移动，再进一步分析即可． 【规范解答】解：由题意该点按“上→右→下→下→右→上”的方向每6次一循环的规律移动， 且每移动一个循环向右移动2个单位长度（每移动3次向右移动1个单位长度）．， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，为． ， 点的横坐标为675， 点的坐标是． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点Q．则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】按照平移规则：左右平移只改变点的横坐标，右加左减，上下平移只改变点的纵坐标，下减上加，进行计算即可得到平移后点的坐标． 【规范解答】解：∵将点向右平移个单位，需给横坐标加，再向下平移个单位，需给纵坐标减， ∴点的坐标为，即． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，船位于船的北偏东，处．用方向角和距离描述船相对于船的位置，下列说法正确的是（    ） A．船位于船的北偏东，处 B．船位于船的南偏西，处 C．船位于船的北偏东，处 D．船位于船的南偏西，处 【答案】B 【规范解答】解：∵船位于船的北偏东，处． ∴船位于船的南偏西，处． 3．（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为，当蚂蚁爬了2026个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】计算出长方形的周长，2026除以此周长，根据余数情况确定出位置． 【规范解答】解：由A、B、C、D四点的坐标知，四边形是长方形，长为，宽为，其周长为个单位； 而，， ∴蚂蚁所处位置在线段上， 横坐标为，纵坐标为， 即蚂蚁所处位置的坐标为． 4．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如果将点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，恰好落在原点处，那么______． 【答案】1 【思路引导】利用平移变换的规律得到点P平移后的坐标，根据平移后恰好落在原点上，求出a和b，再代入计算． 【规范解答】解：∵点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到，即， 又∵平移后恰好落在原点上， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 【答案】 【思路引导】根据点到两坐标轴的距离相等列出方程，再结合第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，求解即可． 【规范解答】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 解得． 6．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）2026年3月，张雪机车在世界超级摩托车锦标赛连续夺得两回合冠军，是中国品牌首次在此级别领跑完赛，获得人民日报以“追风赶月莫停留”为题的点赞．小军将“张”“雪”“机”“车”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“张”“雪”的坐标分别为，，则“车”的坐标为_____． 【答案】 【思路引导】根据所给坐标建立平面直角坐标系，则“车”的坐标可得. 【规范解答】解：∵“张”“雪”的坐标分别为，， ∴如图建立平面直角坐标系，“车”的坐标为. 7．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)建立平面直角坐标系，使点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是__________； (2)过点作的平行线，点在点右侧且在格点上； (3)经过平移，三角形的顶点移到点，画出平移后的三角形． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据的坐标建立坐标系，再确定的坐标即可． （2）根据平移的性质确定格点即可． （3）根据顶点移到点确定平移方式，再确定即可． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． ∴ （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，三角形即为所求． 8．（25-26七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是；点是内一点，当随着点平移到点时． (1)请画出平移后新； (2)直接写出三个顶点的坐标； (3)若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点，则点的坐标是 ，若连接线段，则这两条线段之间的关系是 ． 【答案】(1)图见解析 (2)，， (3)，平行且相等 【思路引导】（1）先确定平移方式，再画出点，顺次连接即可； （2）根据点坐标的平移变换规律即可得； （3）设点的坐标是，则，求出的值即可，再根据平移的性质即可得． 【规范解答】（1）解：∵随着点平移到点， ∴平移方式是：先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 画出平移后新如图所示： ． （2）解：由（1）已得：平移方式是先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵， ∴，，， 即，，． （3）解：设点的坐标是， ∵三角形外有一点经过同样的平移后得到点， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 如图，连接线段， 由平移的性质得：线段与之间的关系是平行且相等． 9．（25-26七年级下·河北唐山·期中）你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图所示的平面直角坐标系是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (2)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 【答案】(1)黑棋③，白棋④ (2)或 【规范解答】（1）解：黑棋②的坐标为，说明黑棋②在原点， 白棋①的坐标为，说明，每个方格的单位长度为1， 黑棋③在y轴上，横坐标为0；距离原点黑棋②，有两个方格，纵坐标为2，所以黑棋③的坐标为； 白棋④向x轴作垂线，交点距离原点3个方格，所以横坐标为3；与黑棋③在同一水平线上，纵坐标与黑棋③相同，所以白棋④的坐标为 （2）解：下一步，黑棋要赢，同色5个形成一条直线，有两种下法可以做到 第一种下法：黑棋③的左上方，坐标为； 第二种下法：最右侧黑色棋子的右下方，坐标为． 10．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，设运动时间为秒． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____，点的坐标为_____，和位置关系是_____； (2)①用含有的代数式表示和的长度； ②当时，求的值． (3)当、分别在线段，上时，连接、，使，求出点的坐标； 【答案】(1)；；；平行 (2)①，；② (3)点的坐标为 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、偶次方和算术平方根的非负性、动点问题的路程表示以及三角形面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方和算术平方根的非负性求出、值，进而得到点A、B、C的坐标，观察点B和点C的坐标得到和位置关系； （2）①根据“路程速度时间”列式得到和； ②将①中和代入方程求解即可； （3）过点作于点，设时间经过秒，由（2）知，，，则，根据列出方程，求出的值，利用求解即可． 【规范解答】（1）解： 解得 、、， 直线在轴上， 点B和点C的纵坐标均为， 直线平行于轴， ； （2）解：①根据题意得，点沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，设运动时间为秒， 则，； ②， ， ； （3）解：过点作于点，设时间经过秒， 由（2）知，，， 、、， 、，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 点的坐标为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $