精品解析：陕西咸阳市彩虹学校2025-2026学年第二学期七年级第二次素养调研数学试题

彩虹初中2025~2026学年第二学期初一年级第二次素养调研 数学 （考试时间：120分钟总分：120分卷面分：3分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级、考场、座位号、考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的结果为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列数学符号中，可以看作是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在中，，，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 5. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，点上，连接，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是_______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 10. 红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在0.000007左右．数据0.000007用科学记数法表示为________． 11. 如图中和中，，添加一个条件，使，可以添加的条件是____________． 12. 一个等腰三角形，有两边长分别为和，则其周长为_____ ． 13. 如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 14. 如图所示，在中，平分交于点，点在的延长线上，过点作交的延长线于点，为上的一点，连接，且，，，若，则的度数为___________． 三、解答题（共小题，计78分．解答应写出过程） 15. 在中，，，求度数． 16. 如图所示，在边长为个单位长度的正方形网格中，作出该图形关于直线对称的图形． 17. 如图，已知和直线，请使用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，和关于直线对称，已知，，．求的度数及、的长度． 19. 如图，在与中，，，，点、、、在同一直线上，试说明：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，直线、相交于点，（，在直线同侧），若，，求的度数． 22. 近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目背景 依数学之托，解生活之谜 项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，； ③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为． 求这条河的宽度． 23. 一个袋中装有6个红球，18个白球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后； （1）从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？ （2）如果往袋中放入若干个红球（形状大小与袋中球完全一样），再取出相同数量的白球，从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，求放入了多少个红球？ 24. 如图，在与中，，平分，，分别为，的高． （1）试说明：； （2）已知，求的长． 25. 如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交，，的延长线于点，，，连接，． 试证明： （1）； （2）． 26. 【问题解决】 （1）如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 问题应用】 （2）如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彩虹初中2025~2026学年第二学期初一年级第二次素养调研 数学 （考试时间：120分钟总分：120分卷面分：3分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级、考场、座位号、考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的结果为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，掌握负整数指数幂的运算法则即可直接计算出结果． 【详解】解：对任意非零数和正整数，有 因此结果为，选C． 2. 下列数学符号中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，不符合题意． 3. 以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成三角形，反之则不能． 【详解】选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项B：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D：，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 4. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形“三线合一”性质求解即可． 【详解】解：在中，，，则由等腰三角形“三线合一”性质得到是底边上的中线， ． 5. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察折线统计图，随着试验次数的增加，频率波动幅度减小并趋于稳定，该稳定值即为概率的估计值． 【详解】解：观察折线统计图可知，随着摸棋子次数的增加，黑色棋子出现的频率逐渐稳定在  附近， 可估计摸到黑色棋子的概率为． 6. 如图，直线，点在上，连接，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，由得出，进而求出的度数，再由利用同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等边三角形性质和角平分线定义证明，从而得出，，再利用周角定义求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，进而推出；结合三角形内角和定理求出的度数；利用角平分线的定义及角的和差关系求出的度数，最后在中利用两锐角互余求出． 【详解】解：在中，，  ，  垂直平分，  ，，  ，  平分，  ， ， ，  ，即， 在中，． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是_______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】不可能 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此求解即可． 【详解】解；李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是不可能事件， 故答案为：不可能． 10. 红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在0.000007左右．数据0.000007用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示方法，对于绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图中和中，，添加一个条件，使，可以添加的条件是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合图形添加条件即可． 【详解】解：∵，， 添加，根据得到； 添加，根据得到； 故答案为：或． 12. 一个等腰三角形，有两边长分别为和，则其周长为_____ ． 【答案】12 【解析】 【分析】本题分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算得到符合条件的周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得，不满足三边关系，不能构成三角形，该情况舍去； 当腰长为时，三角形三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，，满足三边关系，可以构成三角形， 此时周长为． 13. 如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∴， ∵的长为， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 14. 如图所示，在中，平分交于点，点在的延长线上，过点作交的延长线于点，为上的一点，连接，且，，，若，则的度数为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】先证明，则，，再根据角的和差和角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 三、解答题（共小题，计78分．解答应写出过程） 15. 在中，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三个内角的关系设未知数，结合三角形内角和为列方程即可求解． 【详解】解：设，则，， 任意三角形的内角和为，即， ， 解得，即． 16. 如图所示，在边长为个单位长度的正方形网格中，作出该图形关于直线对称的图形． 【答案】如图的即为所作 【解析】 【分析】根据轴对称的性质作出相应格点关于直线l的对称点，再顺次连接即可. 【详解】略. 17. 如图，已知和直线，请使用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】作的角平分线交直线于点，连接即可． 【详解】略． 18. 如图，和关于直线对称，已知，，．求的度数及、的长度． 【答案】，，． 【解析】 【分析】由轴对称的性质可得：对应边相等，对应角相等，再作答即可． 【详解】解：和关于直线对称， ，，． 又，，， ，，． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键． 19. 如图，在与中，，，，点、、、在同一直线上，试说明：． 【答案】证明：在与中， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，推出，即可证明. 【详解】略. 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后再进行多项式除以单项式的运算即可化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， 当，时， 原式． 21. 如图，直线、相交于点，（，在直线同侧），若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对顶角相等得，再由角的和差得，再根据垂直的定义和角的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目背景 依数学之托，解生活之谜 项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，； ③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为． 求这条河的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，再利用等式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 一个袋中装有6个红球，18个白球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后； （1）从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？ （2）如果往袋中放入若干个红球（形状大小与袋中球完全一样），再取出相同数量的白球，从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，求放入了多少个红球？ 【答案】（1） （2）放入了10个红球 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，解题的关键是： （1）分析出题中从袋中随机摸出一个球共有24种等可能结果，其中取出红球包含4种情况，由概率公式求解即可得到答案； （2）设放入红球x个，由概率公式列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一只袋里放着6个红球、18个白球， ∴从袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含6种情况， ∴取出红球的概率为； 【小问2详解】 解：设放入红球x个， 根据题意，得， 解得， 答：放入了10个红球． 24. 如图，在与中，，平分，，分别为，的高． （1）试说明：； （2）已知，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，分别为，的高，即， ∴， ∵， ∴. 25. 如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交，，的延长线于点，，，连接，． 试证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，则，再根据角平分线的性质得，则，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据垂直平分线的性质得，则，根据外角的性质得，再根据角的和差和等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 【问题解决】 （1）如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】 （2）如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由如下： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据中线的定义得，再结合、，即可由证明； （2）由（1）知，则，再证明，则，然后由，等量代换即可得出结论； （3）先证明得，，再证明，得，进而可得结论． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $