精品解析：2026年江苏省镇江市丹阳市中考二模考试数学试题

2026年丹阳市初中结业学科学业水平测试模拟评价 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，掌握倒数的定义是解决本题的关键． 根据倒数的定义，一个数的倒数是指与之相乘结果为1的数，据此求解即可． 【详解】解：∵的倒数为， ∴， 故选：A． 2. 要使分式有意义，的取值应满足（　　） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 得． 故选C． 3. 2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定与值是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：A 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂的乘除、幂的乘方以及同类项的加法，熟练掌握同底数幂的乘除（指数相加减）、幂的乘方（指数相乘）以及同类项加法（系数相加）是解题关键 【详解】对于A：∵ ，而非，∴ A错误； 对于B：∵ ，∴ B正确； 对于C：∵ ，而非，∴ C错误； 对于D：∵ ，而非，∴ D错误； 故选：B 5. 在“少年强则国强”这句话中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】这句话中总共6字，“强”出现了2次，则答案可求． 【详解】∵“少年强则国强”这句话共6个字，“强”出现了2次， ∴“强”字出现的频率是 故选：B． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键． 6. 下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形，分别判断四个几何体的俯视图即可得出答案． 【详解】解：A、长方体的俯视图是矩形，故本选项符合题意； B、圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意； C、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意； D、三棱锥的俯视图是带点的三角形，故本选项不符合题意． 7. 如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的对角相等可得，再由四边形是圆内接四边形，可得，得出的度数，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ． 8. 如图，一棵垂直于地面的大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的距离是5米，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（ ）米 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原来树的长度是的长．已知的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：∵在中，，米， ∴． ∴米． 9. 已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的性质，当时，，且随增大而增大；当时，，且随增大而增大，通过分析各选项中的取值范围，判断三点、、的横坐标正负及对应值的大小关系． 【详解】A选项：当时，， 三点均在第二象限， 随着增大而增大， ， 故A选项错误； B选项：当时，，， 点、在第二象限，点在第四象限， ，， ， 故B选项正确； C选项：当时，，， 点在第二象限，点、在第四象限， ，， 故， 故C选项错误； D选项：当时，， 三点均在第四象限， ， 故D选项错误． 故选：B． 10. 已知二次函数．其图象上有一段连续曲线，对应的自变量取值范围为，且满足．该段曲线被两条平行于轴的直线、完全包含（即曲线上任意一点都在两直线之间或直线上）．若直线与之间的距离为16，则的最大值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标与开口方向，要使最大，需区间端点对应函数的最小、最大值，结合两直线距离得到的最大值，解方程求横坐标即可得到结果． 【详解】解：， ∵抛物线开口向上，顶点坐标为，且 ∴区间上函数的最小值为，在顶点处取得要使最大，需过顶点，对应函数最大值，两直线距离为，可得 ∴对应的值为， 令，得， 整理得， 解得，， 则取最大值时，，， 可得． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解决本题的关键． 13. 一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是__________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径． 【详解】解：扇形的弧长为， 解得，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式． 14. 如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为、、，让转盘自由转动1次，则指针落在扇形的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率的求法，根据概率公式，指针落在扇形C的概率等于扇形C的圆心角与整个圆周角的比值，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意得，整个转盘被分成3个扇形，圆周角为，扇形C的圆心角为， 所以指针落在扇形C的概率是． 15. 已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． 16. 如图，在边长为4的等腰中，点是线段的中点，点关于的对称点是点，连接，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可得，，结合中点的定义可得，从而证得为等腰三角形，利用角度关系证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点 由题意可知，为等腰直角三角形，， 点是线段的中点 在中，由勾股定理得 ， 是等腰三角形 ， 在和中 ， 即 解得 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值化简、特殊角的三角函数值和零指数幂的运算，先分别化简各部分，再按实数运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，原不等式组的解为． 19. 为了解自己所在公司职员的体重健康状况，某员工在公司内随机抽取男、女职员各20人．通过测量得到他们的体重和身高，然后计算得到每位职员的数值，数据记录如下： 20名男职员的值：15.4，15.8，16.5，17.8，18.9，21，21，21，23.2，24.5，24.5，24.5，24.5，25，25，27，27.9，28.2，29.1，29.4； 女职员体重指数为“正常”的值：18.5，19，19，19，20，20，21，21.3，22.4，23.6． 相关统计图、表如下： 男、女职员BMI值 性别 平均数 中位数 众数 正常所占百分比 男 23.02 20.45 女 20.56 19 （1）填空：______，______，______； （2）若该公司共有职员200人，其中男女比例为，估计该公司体重指数是“正常”的人数； （3）综合上表中的统计量，你认为该公司哪个性别的职员体重健康状况较好？请说明理由，并给体重健康状况较差的职员提出一条合理的建议． 【答案】（1）19.5，24.5， （2）估计该公司共有80人体重指数是“正常”； （3）该公司的女职员的平均值、中位数以及众数均比男职员的低，且平均值位于正常范围的中间值， 女职员体重健康状况较好． 建议：健康状况较差的职员建议多运动，注意良好的饮食与睡眠（合理即可）． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和“正常”所占百分比的定义求解即可； （2）根据公司中男女比例以及体重指数是“正常”的人数占比求解即可； （3）根据平均数、中位数以及众数分析，再给出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：由数据可知，20名女职员体重指数的中位数为第10和11名指数的平均数， 女职员中体重过低有6人，则第10和11名为指数正常中的第4和5名的平均数， ； 20名男职员体重指数中，出现了次，次数最多， ； ∵女职员中体重指数为正常的人数有10人， ∴； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该公司共有80人体重指数是“正常”； 【小问3详解】 解：略． 20. 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． （1）小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率（请用“画树状图”或“列举”等方法给出分析过程）； （2）小明从家到学校，通过这3个十字路口时至少有2个绿灯的概率为 ．（请直接写出答案） 【答案】（1）解：设红灯为红，绿灯为绿， 列举通过前2个十字路口的所有等可能结果如下： 红红，红绿，绿红，绿绿 ∵共有4种等可能的结果，其中两个路口都是绿灯的结果有1种 ∴通过前2个十字路口时都是绿灯的概率为． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：画树状图如图，表示红灯，表示绿灯， ∵至少有2个绿灯的结果共有4种，总共有8种等可能结果 ∴通过3个十字路口时至少有2个绿灯的概率为． 21. 已知四边形，，，垂足分别为、，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则平行四边形的面积为____． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由已知垂直关系得到，再利用证明两个直角三角形全等，得到一组对边相等，结合平行关系根据平行四边形判定定理完成证明． （2）根据正切定义设未知数，结合勾股定理求出和的长度，再计算平行四边形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴是直角三角形， ∵， 设，（） 由勾股定理得 ∵ ∴， 解得 ∴， 平行四边形的面积为． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）点是双曲线第一象限内分支上的一点，且在点上方，若的面积是面积的2倍，则点的坐标是 ． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）设直线与y轴交于点D，作轴交于点E，先求出点D的坐标是，得到，设点C的坐标是，点E的坐标是，则，再根据题意列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：点坐标为， 把点的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； 把点的坐标为代入得：， 解得：， ； 把、两点的坐标代入中得： ，解得：， 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，设直线与y轴交于点D，作轴交于点E， 当时，， ∴点D的坐标是， ∴， ∴， 设点C的坐标是， ∴点E的横坐标是， ∴点E的坐标是， 则， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C的坐标是． 23. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，． （1）求盲区线段的长； （2）点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由． 参考数据：，，，，， 【答案】（1）盲区中线段的长约为； （2）解：驾驶员不能看到障碍物，理由如下： 如图，过点作交于点， 根据题意可得四边形为矩形， ， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ， 驾驶员不能看到障碍物． 【解析】 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）过点作交于点，计算的长度，比较即可． 【小问1详解】 解：在直角三角形中，， 答：盲区中线段的长约为； 【小问2详解】 略． 24. 如图1，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，， ①求的半径； ②如图2，点是线段上一点，请仅用一把无刻度的直尺在线段找一点，使得点与点关于对称，（不写作法，保留作图痕迹，如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚），若点是线段的中点，则 ． 【答案】（1）证明：连接，， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）①的半径为5； ②点如图所示， ； 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，推出，得到，据此即可证明是的切线； （2）①在中，解直角三角形求得，则，在中，解直角三角形得到，设，则，由勾股定理列式计算即可求解； ②连接和相交于点，连接并延长交于点，则点与点关于对称；证明，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴的半径为5； ②图略， ∵点与点关于对称，又， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 25. 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． （1）图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． （2）图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于点，设的半径为，由可得，；根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长； （2）延长，交于点，易证明四边形是矩形，则，在和中，利用三角函数计算出和即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点，设的半径为， 由题意可知，， ，， ， 弓形高，， ，， 在中，， ， 解得， ， 即圆心 到的距离为． 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在中，， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ． 即的长度约为． 26. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； （3）如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 【答案】（1）； （2） （3）①；②的最小值为8． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由，得到，得到，，由题意得，据此求解即可； （3）①联立得，利用根与系数的关系即可求得； ②求得，利用不等式的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线经过点和， 将代入，得， 将代入，得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：先求解抛物线与x轴的另一个交点A， 令，即， 解得或， 结合A在B左侧得； ∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，整理得， ∵点在第一象限， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 联立直线与抛物线方程得，， 整理得：， 该方程的两个根为点P、Q的横坐标m、n， 由一元二次方程根与系数的关系得； ②∵点，， ∴， ∵， ∴m、n异号，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴， 答：的最小值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年丹阳市初中结业学科学业水平测试模拟评价 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 要使分式有意义，的取值应满足（　　） A. B. C. D. 且 3. 2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在“少年强则国强”这句话中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一棵垂直于地面的大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的距离是5米，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（ ）米 A. B. C. D. 9. 已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知二次函数．其图象上有一段连续曲线，对应的自变量取值范围为，且满足．该段曲线被两条平行于轴的直线、完全包含（即曲线上任意一点都在两直线之间或直线上）．若直线与之间的距离为16，则的最大值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若，则______． 12. 分解因式：__________． 13. 一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是__________cm． 14. 如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为、、，让转盘自由转动1次，则指针落在扇形的概率是_____． 15. 已知实数、满足，且，则_____． 16. 如图，在边长为4的等腰中，点是线段的中点，点关于的对称点是点，连接，则的长是_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 为了解自己所在公司职员的体重健康状况，某员工在公司内随机抽取男、女职员各20人．通过测量得到他们的体重和身高，然后计算得到每位职员的数值，数据记录如下： 20名男职员的值：15.4，15.8，16.5，17.8，18.9，21，21，21，23.2，24.5，24.5，24.5，24.5，25，25，27，27.9，28.2，29.1，29.4； 女职员体重指数为“正常”的值：18.5，19，19，19，20，20，21，21.3，22.4，23.6． 相关统计图、表如下： 男、女职员BMI值 性别 平均数 中位数 众数 正常所占百分比 男 23.02 20.45 女 20.56 19 （1）填空：______，______，______； （2）若该公司共有职员200人，其中男女比例为，估计该公司体重指数是“正常”的人数； （3）综合上表中的统计量，你认为该公司哪个性别的职员体重健康状况较好？请说明理由，并给体重健康状况较差的职员提出一条合理的建议． 20. 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． （1）小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率（请用“画树状图”或“列举”等方法给出分析过程）； （2）小明从家到学校，通过这3个十字路口时至少有2个绿灯的概率为 ．（请直接写出答案） 21. 已知四边形，，，垂足分别为、，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则平行四边形的面积为____． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）点是双曲线第一象限内分支上的一点，且在点上方，若的面积是面积的2倍，则点的坐标是 ． 23. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，． （1）求盲区线段的长； （2）点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由． 参考数据：，，，，， 24. 如图1，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，， ①求的半径； ②如图2，点是线段上一点，请仅用一把无刻度的直尺在线段找一点，使得点与点关于对称，（不写作法，保留作图痕迹，如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚），若点是线段的中点，则 ． 25. 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． （1）图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． （2）图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 26. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； （3）如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $