精品解析：广东茂名市第十中学2026届高三下学期5月模拟预测数学试题

2025-2026学年度高中数学5月临门一脚 数学 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 26 C. D. 30 5. 若函数（）是奇函数，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 6. 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，则（ ） A. 6322 B. C. 6321 D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与所成角的余弦值为 10. 已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有一个 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 第II卷（非选择题） 三､填空题 12. 已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 13. 盒中有编号从1到10的10张卡片，其中奇数号卡片的正面为黑色，偶数号卡片的正面为白色，反面完全相同，每张卡片被抽到的概率相同．现从中随机抽取4张，则这4张卡片的编号之和恰好为16的概率为________；若抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色相同的概率为________． 14. 已知，为曲线（，）上的两点，则________． 四､解答题 15. 某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了80位会员，得到的数据如表所示（单位：人）： 年龄 是否喜欢健身操 合计 喜欢健身操 不喜欢健身操 青年 15 25 40 中年 20 20 40 合计 35 45 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？ （2）已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为，，；且小邹在这三种项目中达到“训练标准”的概率依次为，，．若小邹某次训练未达到目标，求他选择的是“瑜伽”项目的概率。 附：，． 16. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 19. 在抛物线中，过点的直线交抛物线于两点．当直线的斜率为1时，． （1）求抛物线的标准方程； （2）设抛物线的焦点为，直线上有一动点，其横坐标为． （i）若且直线经过的内心，求直线的方程； （ii）对任意满足题设条件的直线，是否存在动点，使得直线经过的内心且同时与相切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中数学5月临门一脚 数学 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数， 所以. 2. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解. 【详解】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是. 故选：D 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 26 C. D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式展开的通项公式，分别求出中项和项的系数，结合前一因式的系数求和即可得到的系数. 【详解】二项式的展开式通项为，其中 的展开式中项来源于两部分： 因式乘以的项：取，对应系数为； 因式乘以的项：取，对应系数为； 将两部分系数求和，得的系数为. 5. 若函数（）是奇函数，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先求得定义域，结合奇函数的性质取特殊求解即可，注意检验． 【详解】由题知，，定义域为， 由是奇函数得（负根舍去）， 则，，符合题意． 故. 6. 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最小正周期可得，据此可得对称中心，然后验证选项可得答案. 【详解】因最小正周期为，则，结合，可得. 则，其对称中心横坐标满足， 所以对称中心可为：. 选项A：令，得，不符合； 选项B：令，得，不符合； 选项C：令，得，不符合； 选项D：令，得，符合要求. 7. 若函数，则（ ） A. 6322 B. C. 6321 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 二､多选题 9. 在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，又与相交，可得与为异面直线；对B：借助菱形性质可得，再利用三角形全等可得，由等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：求出、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误. 对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 10. 已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】对A和B，利用抛物线的定义及性质，即可求解；对C，设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义得，即可求解；对D，根据数量积的运算及选项C中的结果，得到，即可求解. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，所以A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，消去得，则，， 所以，， 所以， 又，则，所以没有最大值，故C错误， 对于D，由选项C知，，则为钝角，故D正确． 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有一个 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D. 【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误； 由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，B正确； 因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 显然，， 函数在，上单调递增，且当时，，当时，， 由，可得，是等腰三角形，D正确． 第II卷（非选择题） 三､填空题 12. 已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】联立双曲线方程和抛物线方程，代入，，得到关于离心率的齐次式，求出答案 【详解】双曲线的右焦点坐标为， 的焦点坐标为，故，， 联立与得， 又，故， 满足，故， 即，化简得， 方程每项除以得，解得， 因为，所以不合要求，舍去， ，故. 13. 盒中有编号从1到10的10张卡片，其中奇数号卡片的正面为黑色，偶数号卡片的正面为白色，反面完全相同，每张卡片被抽到的概率相同．现从中随机抽取4张，则这4张卡片的编号之和恰好为16的概率为________；若抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色相同的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第1空：利用组合数公式计算从10张卡片中抽取4张的总情况数，通过枚举法找出编号之和为16的所有情况数，再用古典概型公式计算概率.第2空：在“编号之和为16”的条件下，结合条件概率公式，筛选出颜色相同（全奇或全偶）的情况数，计算条件概率. 【详解】从10张卡片中抽取4张，共有（种）情况， 其中满足编号之和为16的有：，，，，， ，，，，共9种情况， 故编号之和为16的概率为． 正面颜色相同，即4张卡片的编号同为奇数或同为偶数，只有符合题意， 故抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色相同的概率为． 14. 已知，为曲线（，）上的两点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式及过点坐标，可得周期表达式，根据周期公式，可得的表达式，赋值，可得的值，代入点坐标，结合正弦函数的图象与性质，可得的表达式，赋值，可得值. 【详解】因为的最大值为，最小值为，且，， 所以，k为非负整数，解得，k为非负整数， 又，，所以，k为非负整数， 令，得，符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意， 则，因为过点， 所以，解得， 令，得符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，故. 四､解答题 15. 某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了80位会员，得到的数据如表所示（单位：人）： 年龄 是否喜欢健身操 合计 喜欢健身操 不喜欢健身操 青年 15 25 40 中年 20 20 40 合计 35 45 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？ （2）已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为，，；且小邹在这三种项目中达到“训练标准”的概率依次为，，．若小邹某次训练未达到目标，求他选择的是“瑜伽”项目的概率。 附：，． 【答案】（1）不能认为是否喜欢健身操与年龄有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）运用列联表进行独立性检验，通过计算卡方统计量与临界值比较，判断两个分类变量之间是否存在关联； （2）使用全概率公式计算未达标总概率，再通过贝叶斯公式反推在未达标条件下选择特定项目的条件概率. 【小问1详解】 零假设为：是否喜欢健身操与年龄无关联． 根据列联表中的数据，计算得到， 所以根据小概率值的独立性检验，不能认为是否喜欢健身操与年龄有关联． 【小问2详解】 设表示“选动感单车”；表示“选瑜伽”；表示“选普拉提”；表示“未达到目标”． ，，，， ， ， 小邹训练没有达标的条件下，他选择瑜伽的概率为: ． 16. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合勾股定理可得，，可得平面，即可证面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 因为，，则， 即，且，， 且四边形是菱形，，则，， 又因为，则，即， 且平面，平面，， 可得平面，且平面，所以平面平面． 【小问2详解】 以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【小问1详解】 因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 19. 在抛物线中，过点的直线交抛物线于两点．当直线的斜率为1时，． （1）求抛物线的标准方程； （2）设抛物线的焦点为，直线上有一动点，其横坐标为． （i）若且直线经过的内心，求直线的方程； （ii）对任意满足题设条件的直线，是否存在动点，使得直线经过的内心且同时与相切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线与抛物线相交的弦长的值，再结合根与系数关系可得抛物线方程； （2）（i）将直线经过的内心这一条件转化为，再用坐标表示并结合根与系数关系可得直线方程；（ii）先根据直线经过的内心可得，再用导数求分别过A，B两点的切线方程，进而求切线的交点，可得，所以重合，故存在所求点. 【小问1详解】 由题可知直线的斜率存在，设 （1）当直线的斜率为1时，，如图： 联立，消去得，， . 所以 化简得，所以或（舍） 所以求抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）的方程知，，所以，如图： 因为直线经过的内心，所以，即， ，，即. 又代入上式得，，，得， 而，所以，即直线的方程为． （ii）假设存在满足经过的内心，则，而 所以，，又代入上式得， ，，而，所以，所以． 联立，所以 抛物线的标准方程为，所以，点处的切线为， 而，代入得，即. 故，同理点处的切线为 设与交点为，由，，解得， 即，． 所以重合，即存在满足条件的对任意直线都成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $