精品解析：广东深圳市罗湖高级中学2025-2026学年第二学期高三5月质量监测数学试题

2025-2026学年第二学期高三5月质量监测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（ ） A. -5 B. 4 C. 5 D. -4 【答案】A 【解析】 【详解】由复数在复平面内对应的点的坐标为， 得，实部为. 2. 已知集合，集合，则中元素的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求出集合即可. 【详解】因为集合，集合， 所以，所以中元素的个数为3. 3. 数列满足，已知，则的前19项和（ ） A. 0 B. 8 C. 10 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】由等差中项得到数列为等差数列，再由等差数列的性质得到，由等差数列前项和公式结合等差中项得到 【详解】因为即，所以数列为等差数列， 因为且，所以，得， 所以. 故选：A. 4. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】 ． 故选：B 6. 已知函数，则的值为（ ） A. 29 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数的导函数为， 故，所以， 所以， 所以. 7. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 8. 已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由对任意的实数均成立， 可得. ，当且仅当，即时取等号.则. 故选：D 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，则下列正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时，则向量在向量上的投影向量为 D. 若向量与向量夹角为钝角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由坐标表示的模长公式计算模长即可判断A；由向量垂直的坐标表示即可判断B；根据投影向量定义直接计算即可判断C；根据向量夹角与数量积关系即可计算求解判断D. 【详解】选项由题，A正确， 选项若，则，解得，B错误， 选项当时，，，， 则投影向量为，C正确， 选项若向量与向量夹角为钝角，则且与不共线， 得，共线时，故且， D错误， 故选： AC 10. 在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D. 若，则三角形ABC为直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对题干信息利用正弦定理和余弦定理即可判断AB选项；根据题意结合三角函数值域可判断C选项；利用正弦定理和三角恒等变换可判断D选项. 【详解】对于A：因为，所以或，又， 故，若，又，则，与矛盾，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，由正弦定理将上述等式化简为， 根据余弦定理代入可得，将代入得，解得或（舍），故B正确； 对于C：由选项A可知，所以， 又，因为为锐角三角形， 所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为，由正弦定理及得， 所以， 又， 所以，又， 所以， 即，又，所以为锐角，可得， 所以，所以，所以，故D正确． 11. 已知，若不等式的解集为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的对称中心为 C. 过点可作一条直线与曲线相切 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解集得出参数判断A，应用对称中心定义判断B，先求出导函数再应用导数及两点求斜率列式计算判断C，先换元再结合一元二次不等式计算判断D. 【详解】A：因为不等式的解集为 即不等式的解集为， 所以方程的根为和（二重根）， 得，即，所以，故A错误； B：由选项A知， 则，所以， 即的一个对称中心为，故B正确： C：由选项A知，， 设过点的切线方程为，设切点为， 则，得， 整理得，即，解得，此时切点为， 说明过点只能作一条直线与曲线相切，故C正确； D：令，当时，则，只需. 而，由， 得，即，所以，故D正确. 故选：BCD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于_______. 【答案】2 【解析】 【分析】分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 13. 写出一个同时满足下列三个性质的函数_________． ①的图象在轴右侧； ②若，，则； ③、且，． 【答案】（答案不唯一，对数函数均满足题意）. 【解析】 【分析】取，验证该函数满足①②③，即可得出结论. 【详解】由①可知，函数的定义域为， 对于③，不妨设，由可得， 所以，函数在上为增函数， 对于②，若，，则， 可取，则当，时， ，满足②， 且函数是定义在上的增函数，满足①③. 故答案为：（答案不唯一，对数函数均满足题意）. 14. 在边长为1的正方体的8个顶点中，记任取两点的线段长为，则的期望为________． 【答案】 【解析】 【详解】的所有可能取值为， 从边长为1的正方体的8个顶点中，任取两点可得条线段， 其中长度为1的线段有12条，长度为的有12条，长度为的有4条， 因此， 所以的期望. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 （1）从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． （2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， 【答案】（1）②合适 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数①②③的性质及表中的数据，即可求解； （2）先将非线性回归方程转化成线性回归方程，再根据题设条件，利用最小二乘法，即可求解. 【小问1详解】 由表格可知，增大时，值整体呈上升趋势但存在局部波动，比较函数①②③， 选择②（）作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适. 【小问2详解】 对（）两边取以为底的对数可得， 设，则， ， ，所以， 故，即，所以. 16. 如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且. （1）证明：四点共面； （2）求的长； （3）在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面平面可得平面，建立空间直角坐标系，设，由，结合空间向量可得，进而得到，即可求证； （2）由（1）得，即可求解； （3）利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，易得， 则， 由，则，解得（舍去）或， 则， 则，则， 即，所以四点共面. 【小问2详解】 由（1）知，. 【小问3详解】 由（1）知，，，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面平面，则，解得， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求a的值； （3）证明：对一切的，都有． 【答案】（1）答案见解析 （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)求导，得，对分类讨论求解； (2) 对分类讨论求解； (3) 由（2）可知当时，，即，所以．则，故要证，即证．设，求导进行求解． 【小问1详解】 由题意可得的定义域为，且． 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 当时，由（1）知在上单调递增，又，所以当时，，则不符合题意． 当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 则． 又，且，所以，解得， 经检验，当时，恒成立． 综上，a的值为1． 【小问3详解】 证明：由（2）可知当时，，即， 则，所以，所以． 当时，， 则， 故要证，只需证， 即证． 设，则． 由（2）可知，则，即， 所以，所以在上单调递增，所以， 故对一切的，都有． 18. 已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. （1）求曲线E的方程； （2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或或 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率公式和通径公式求解即可； （2）根据直线与双曲线相交的弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）先根据直线与双曲线的交点情况得到直线的斜率的范围，并结合条件得到点的坐标关于的表达式，接下来一种方法是通过消去得到点的坐标满足，再结合得到，最后验证对应的斜率不在范围内，另一种方法是将点的坐标直接代入得到关于的方程，最后验证该方程无范围内的解，从而得出结论. 【小问1详解】 过右焦点且与轴垂直的直线为，代入双曲线方程得， 依题意有，又由离心率为，得，联立得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，由（1）得，所以，因为关于原点对称， 所以，可知直线的斜率不能为 （否则不存在），故可设其方程为，与双曲线方程联立， 整理得，可得且， 以及，所以， 解得或，所以直线的方程为或或. 【小问3详解】 若直线斜率不存在，则直线与双曲线右支无交点，不合题意， 故可设直线方程为，与双曲线方程联立， 整理得，设， 则有且，以及， 其中，所以，结合其它不等式解得， 设，由得，即， 变形得到，将代入， 解得①，代入得②， 解法一： 由①有③，代入②得到④，再由 得，将④代入，整理得， 解得，再由③可得， 因为，， 所以不存在满足条件的点. 解法二： 由得即， 将①②代入该方程得到， 整理得，即， 令，则在区间上单调递减， 又，故当时，恒成立， 即方程在内无解， 所以不存在满足条件的点. 19. 对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列． （1）已知数列满足：，判断是否是纯周期数列，并求； （2）记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足 ①若，证明：数列是纯周期数列； ②证明：不论为何值，总存在，使得． 【答案】（1）数列是周期为6的纯周期数列，2． （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过列举，确定函数周期，即可求解； （2）①分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想； 根据①的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可. 【小问1详解】 写出数列的前几项： 1，3，2，，，，1，3，2，，，，1…， 数列是周期为6的纯周期数列，． 【小问2详解】 证明：①时，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 时，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 时，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 根据上述计算得出猜想： 当时，数列为常数列也是纯周期数列． 下面进行验证： 当时，， 此时数列为常数列，也是纯周期数列． ②首先，根据①的分析，发现当时，数列为常数列， 也是纯周期数列，满足题意； 接下来证明，当时，也存在，使得， 因为，所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可． 当时，显然存在值为1的项， 当时，有或， 若为偶数，则， 若为奇数时，则， ， 所以，即无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且， 类似的，可得无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且取得等号）； 所以无论为奇数还是偶数，均有； 若，则恒为奇数且， 于是，假设数列的且， 所以恒为奇数且， 由于中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数． 设为第一个值为的项，而， 故， 这与“是第一个值为的项”相矛盾， 所以数列除第一项外，还存在不属于区间的项． 假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾， 所以数列除第一项外，存在不属于区间和的项， 以此类推，数列一定存在小于值为2的正整数的项，即存在值为1的项，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高三5月质量监测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（ ） A. -5 B. 4 C. 5 D. -4 2. 已知集合，集合，则中元素的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 数列满足，已知，则的前19项和（ ） A. 0 B. 8 C. 10 D. 19 4. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的值为（ ） A. 29 B. C. 5 D. 7. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 9 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，则下列正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时，则向量在向量上的投影向量为 D. 若向量与向量夹角为钝角，则 10. 在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D. 若，则三角形ABC为直角三角形 11. 已知，若不等式的解集为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的对称中心为 C. 过点可作一条直线与曲线相切 D. 当时， 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于_______. 13. 写出一个同时满足下列三个性质的函数_________． ①的图象在轴右侧； ②若，，则； ③、且，． 14. 在边长为1的正方体的8个顶点中，记任取两点的线段长为，则的期望为________． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 （1）从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． （2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， 16. 如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且. （1）证明：四点共面； （2）求的长； （3）在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求a的值； （3）证明：对一切的，都有． 18. 已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. （1）求曲线E的方程； （2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 19. 对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列． （1）已知数列满足：，判断是否是纯周期数列，并求； （2）记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足 ①若，证明：数列是纯周期数列； ②证明：不论为何值，总存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $