精品解析：广东珠海市实验中学2026届高三五月测试数学试卷

2026届高三五月测试题 数学试卷 说明：本试题共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助补集与交集定义计算即可得. 【详解】由，，则， 又，故. 2. 已知复数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由求出即可得出. 【详解】由，可得，解得或0， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，将两侧同时平方，可得，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】因为， 所以，则， 则， 因为，所以，即向量的夹角为. 4. 为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】设脱碳处理的次数为，则脱碳处理次后的碳排放浓度为， 由题意可得，则，即， 由于，所以的最小值为， 故至少需要脱碳处理的次数为. 5. 龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（ ）（参考数据：取，） A. 46米 B. 48米 C. 50米 D. 52米 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再由直角三角形边角关系求解. 【详解】依题意，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， 所以（米）. 6. 如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】函数的图象与直线的交点满足， 则或， 解得或， 设对应横坐标为，则 ， ， ，解得． 7. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，可得，根据概率的加法公式，可得，结合全概率公式及条件概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 又， 所以， 由，得， 所以. 8. 已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得，由题意得，根据函数单调性计算可解. 【详解】由，设切点， 则切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得 显然，在单调递增， 所以，时，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 一组数据的第80百分位数是11.5 C. 已知随机变量，若，则 D. 在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 【答案】AB 【解析】 【分析】将样本中心代入回归方程，求出a值，可判断A的正误，根据百分位数的求法，可判断B的正误；根据二项分布的方差公式，可得，根据变量间的关系，计算求解，可判断C的正误；根据计算公式，代入求解，可判断D的正误. 【详解】选项A：将代入回归方程，得，解得，故A正确； 选项B：，则该组数据的第80百分位数为，故B正确； 选项C：由，得， 所以，解得，故C错误； 选项D：若每个数据均变成原来的2倍， 则 ，则改变，故D错误. 10. 已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（ ） A. B. 中存在连续三项成等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，依次判断ABC选项，找出它们相同的项，从而可求的前10项的和可判断D选项. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即， 所以，故A正确； 由于，， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列，即， 假设中存在连续三项成等比数列，设为：， 则， 化简得：，即等式无解； 所以中不存在连续三项成等比数列，故B错误； 由于，所以，故C正确； 数列的项在数列中对应的位置满足：， 即，即中被去掉的项为： ，，即第一项， ，，即第三项， ，，即第七项， ，，即第十五项， 所以,故D正确. 11. 在平面直角坐标系中，曲线，则（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C. 曲线上存在四个点，使得四边形是正方形 D. 若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用曲线的对称性,直线与曲线的交点及圆与曲线的位置关系等性质对选项逐一分析即可. 【详解】对于选项A，设曲线上任意一点，其关于原点的对称点为.将代入曲线方程得，，所以曲线关于原点对称.故A正确. 对于选项B，将与曲线联立: 即. 当时，此方程无解.即直线与曲线无公共点，故选项B错误. 对于选项C，曲线的方程可化为，即，也就是， 这两条曲线关于原点对称，如图以原点为圆心作圆，当时， 根据对称性，四边形为正方形．故选项C正确； 对于选项D，当圆与有交点时, 由得, ，当且仅当， 即时取等. 当圆与相切时, 将两式联立, 由得, 即. 令，得.由 因为，所以. 又因为与曲线恰有4个公共点，则.故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理可得的展开式的通项公式，由通项公式结合条件可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得 所以的展开式中的系数是 故答案为： 13. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解． 【详解】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 14. 已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解法一：， 所以，或， 所以为直角三角形， 当时， ，其中， 所以当，的最大值为； 当时，同理可得的最大值为； 当时，． 综上的最大值为． 解法二：先降次再用和差化积，由题知， 所以．进而， 所以， 即． 化简得，于是为直角三角形． 下同解法一． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助等腰三角形中线性质与线面垂直性质定理可得、，再利用线面垂直判定定理可得平面，即可得证； （2）法一：利用几何法，作出平面与平面夹角，再借助勾股定理与余弦定义计算即可得；法二：利用空间向量法，建立适当空间直角坐标系后，求出两平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，、平面， 所以平面，又因为平面，所以； 【小问2详解】 法一：如图，过作于，连接， 由（1）知，又因为，、平面， 所以平面，所以就是平面与平面的夹角， 因为平面，平面，所以， 因为， 则， ，则， 则， 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 法二：以为原点建立如图所示的坐标系， 则，，，， 由轴平面，则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由题意，可得平面的一个法向量为， 所以， 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 16. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【答案】（1） （2）的分布列为： ​ 数学期望为. （3） 【解析】 【分析】（1）甲获得分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）先求出的表达式，再利用均值不等式得到表达式的最大值. 【小问1详解】 根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立． 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为； 因此甲得分的概率为. 【小问2详解】 甲的总得分的可能取值为，  ；​ 对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜：  ；​ 对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜：  ；​ 对应乙或获胜，.​ 的分布列为： ​ 数学期望为. 【小问3详解】 由定义， 代入得 由基本不等式​，当且仅当即​时取等号. 因此 ，即的最大值为. 17. 已知椭圆长轴的长为4，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与椭圆C有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x，y轴于和． （i）求面积的最大值； （ii）当点M运动时，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的参数关系与离心率即可求解； （2）（i）通过直线与椭圆相切的条件表示出三角形顶点坐标，利用基本不等式求面积最大值；（ii）用参数表示点坐标后代入相切关系消参得到轨迹方程. 【小问1详解】 由题意，，解得： 因此，椭圆C的标准方程为： 【小问2详解】 联立得：， 因为l与椭圆相切，故，化简得：， 即， 则， 过点M且与l垂直的直线方程为： 令得，令得; （i） 当且仅当即时取等号，因此， （ii），即，得 因为，所以，化简得： 因此，点P的轨迹方程为： 解法二：（2）设切点，则切线 直线，即 令得，令得 （i） ， ，当且仅当时等号成立，因此， （ii）由得，即 因此，点P的轨迹方程为： 18. 已知函数，（e为自然对数的底数，） （1）证明：当时，； （2）关于x的方程的一个实数根为，其中， ①求实数a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，利用导数可判断的单调性，证明最大值小于0即可； （2）①由题意得，令，可得，构造函数，可求得实数a的取值范围；②法一：利用分析法可证，利用分析法结合一元二次方程的根的求法可证.法二：利用分析法要证，可证即可；要证，结合，只需，构造函数证明即可. 【小问1详解】 设，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增； 因为，， 所以时恒成立，即． 【小问2详解】 ①由得，两边取对数得， 令，则，，从而有； 设，．则； 所以，在上单调递增； 因为，，； 故实数a的取值范围． 方法一：②要证，只需证， 因为，，要证，只需证时，， 只需证．上式显然成立； 要证，只需证， 因为，所以，由（1）知时，， 所以，即，解得，所以； 于是成立． 方法二：②要证，只需证， 因为，只需证，只需证，上式显然， ，要证，只需证， 因为，故只需证，只需证， 两边平方，消去a，只需证， 注意到，所以只需证，只需证， 只需证， 构造函数，，则， 当时，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 又，， 所以在的最大值小于0，故成立． 19. 若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. （1）判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； （2）若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； （3）若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 【答案】（1）数列不是数列，是数列． （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义判断即可； （2）利用反证法证明即可； （3）通过新定义得，从而设，得到其最小值. 【小问1详解】 因为，而3，1，1不是1，2，3的一个排列，所以数列不是数列． 因为5，1，4，2，3是1，2，3，4，5的一个排列， 又，4，3，2，1是1，2，3，4的一个排列， 所以数列是数列． 【小问2详解】 假设数列为数列， 则． 因为与的奇偶性相同， 所以 与的奇偶性相同． 所以与的奇偶性相同． 又是偶数，是奇数，矛盾． 所以数列不是数列． 【小问3详解】 因为数列为数列， 所以， 且 . 所以． 所以 因为， 所以，即． 令， 则， 所以， 即数列为数列． 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三五月测试题 数学试卷 说明：本试题共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（ ）（参考数据：取，） A. 46米 B. 48米 C. 50米 D. 52米 6. 如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 一组数据的第80百分位数是11.5 C. 已知随机变量，若，则 D. 在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 10. 已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（ ） A. B. 中存在连续三项成等比数列 C. D. 11. 在平面直角坐标系中，曲线，则（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C. 曲线上存在四个点，使得四边形是正方形 D. 若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是______．（用数字作答） 13. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 14. 已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 17. 已知椭圆长轴的长为4，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与椭圆C有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x，y轴于和． （i）求面积的最大值； （ii）当点M运动时，求点的轨迹方程． 18. 已知函数，（e为自然对数的底数，） （1）证明：当时，； （2）关于x的方程的一个实数根为，其中， ①求实数a的取值范围； ②证明：． 19. 若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. （1）判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； （2）若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； （3）若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $