2026年广东省深圳市中考数学押题密卷（二）

**基本信息** 以科技前沿（如DeepSeek-V4模型）、文化传承（《算法统宗》“二果问价”）为情境，覆盖实数、几何、函数等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8小题|科学记数法（1.6万亿表示）、轴对称图形（AI标识）|结合科技素材，基础概念辨析| |填空题|5小题|概率（吉祥物转盘）、方程根应用（代数式求值）|生活情境融入，考查抽象能力| |解答题|7小题|统计分析（AI软件评分）、圆的切线证明、二次函数综合、四边形翻折探究|综合题（如DIY粽子礼盒）考查模型意识，几何探究题发展空间观念|

2026年广东省深圳市中考数学押题密卷（二）2026.06 一．选择题（共8小题） 1．在2，－1，π，四个数中，最小的数是（　　） A． B．2 C．π D．－1 2．人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．DeepSeek－V4是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，包含 Pro 和 Flash 两个版本，均于2026年4月24日发布并开源。它的参数量巨大，截止2026年5月，DeepSeek发布的‌V4-Pro‌模型总参数量高达1.6万亿，将1.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．1.6×1011 B．1.6×1012 C．0.16×1012 D．16×1011 4．下列式子运算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a3＝a2 5．如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知OA∥CD，∠AOB＝105°，∠OCD＝125°，则∠BOC的度数是（　　） 图1 图2 A．10° B．15° C．20° D．25° 6．如图，在一张长方形ABCD纸板上找一点P，使点P到AB，BC的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法错误的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．《算法统宗》是我国明代数学家程大位（1533－1606）所著，文中记录了“二果问价”问题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八．苦果七个四文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几何？设苦果有x个，甜果有y个，则可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD， E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．下列结论正确的是（　　） ①EG＝EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG； ④EA平分∠GEF； ⑤四边形BEFG是菱形． A．③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 二．填空题（共5小题） 9．2026马年春晚吉祥物“骐骐”骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案．每按一次电子转盘按钮，转盘转动停止后指针会随机指向某一个区域．当按一次按钮后，指针指向“骥骤”所在区域的概率为　 ． 10．已知x＝2是方程x2－3mx+m2＝0的一个根，则代数式2m2－12m+2026的值为　 　． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，取AD的中点E，连接BE、CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是 ． 12．如图，直线y＝x+m（m＜0）与曲线在第一象限内的交点为R， 与x轴，y轴的交点分别为P、Q，过R作RM⊥x轴，垂足为M， 若△OPQ与△PRM的面积相等，则m＝ ． 13．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边CD，AB的中点， 两条平行线AK、CL分别经过菱形EGFH的顶点H、G 和边FG、EH的中点M、N，已知菱形EGFH的面积为S， 则图中阴影部分的面积和为　 　. （用含S的代数式表示） 三．解答题（共7小题） 14．计算：． 15．先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2＝0． 16．随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：80≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93， 93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “DeepSeek”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“DeepSeek”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a DeepSeek 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，m＝　 　，b＝　 　； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作m50，前半部分数据的中位数记作m25，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作m75，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数m25＝　 　； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“DeepSeek”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（95≤x≤100）的总用户数． 17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弧BC的中点，连接AC、BC、AD，AD与BC相交于点H，过点D作直线DG∥BC，交AC的延长线于点G． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若弧AC＝弧BD，CG＝2，求阴影部分的面积． 18．随着科技的快速发展和自动化水平的不断提升，人们日常生活中的手工制作机会逐渐减少，然而近年来，追求个性化体验与情感价值的DIY（自主创作）模式却逆势兴起，成为现代人平衡技术便利与人文体验的重要生活方式．根据以下素材，请用方程（组）或不等式（组）完成任务． 素材1 端午期间，DIY小店推出A、B、C三款包装盒供顾客选择，1个C款包装盒的销售单价是12元，2个A款包装盒的售价比3个B款包装盒的售价多2元，3个A款包装盒和5个B款包装盒的售价之和等于5个C款包装盒的售价； 素材2 为了有更好的体验感，DIY小店特意准备了制作粽子的原材料，可制作红豆粽、蛋黄粽、肉粽三种口味，制作单价分别是：4元、5元、6元一个；同时推出优惠活动：每制作10个粽子，赠送一个红豆粽； 素材3 一份礼盒的售价由制作的粽子价格与包装盒的价格组合构成．已知A款包装盒可装12个粽子，B款包装盒可装18个粽子，C款包装盒可装15个粽子． 问题解决 任务1 请问A款包装盒和B款包装盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明妈妈计划用不超过830元制作A、B两款礼盒各5盒，每盒均装满，其中A款礼盒包含2个红豆粽，m个肉粽，其余是蛋黄粽；B款礼盒包含4个红豆粽，（m－1）个肉粽，其余是蛋黄粽，且蛋黄粽的个数不超过个．请你通过计算说明小明妈妈的计划能成功吗？如果能成功，有几种搭配方式呢？ 19．综合与探究： 关于二次函数y＝ax2－2ax－3a（a≠0），数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究． 【特例研究】 （1）当a＝1时，二次函数为y1＝　 　，并在图1中的平面直角坐标系画出其函数图象； 当a＝2时，二次函数为，其图象如图1所示； 当时，二次函数为，其图象如图1所示； （2）观察特例中的图象，并结合学习函数的经验，写出二次函数y＝ax2－2ax－3a（a≠0）的2条特征； 【深入探究】 （3）对于二次函数y＝ax2－2ax－3a（a≠0），当a＜0，－2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为6，求a的值； （4）将y＝ax2－2ax－3a（a≠0）在－2≤x≤2间的图象记为G，若图象G与直线y＝x+1有2个交点，请求出a的取值范围． 20．【问题提出】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，点F为点A的对应点．当点F落在BC边上时，延长CB，DE交于点H，连接AH． ①求证：四边形AHFD为菱形； 【特例研究】 ②若，求菱形AHFD的面积． 【类比推广】 （2）在▱ABCD中，点E为边BC中点，连接DE，将△DCE沿DE翻折得到△DHE．（点H为点C的对应点）．延长DH交边AB于点F，若AB＝5，AF＝2，求线段DF的长． 【拓展提升】 （3）在菱形ABCD中，点E为边AB中点，连接DE，将四边形DCBE沿DE翻折得到四边形DHFE．（点H为点C的对应点，点F为点B的对应点），连接AF．若∠B＝60°，AB＝8，求线段AF的长． 2026年广东省深圳市中考数学押题密卷（二）参考答案与详解 一．选择题（共8小题） 1．在2，－1，π，四个数中，最小的数是（　　） A． B．2 C．π D．－1 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵1＜2＜π， ∴最小的数是：． 故选：A． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2．人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．DeepSeek－V4是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，包含 Pro 和 Flash 两个版本，均于2026年4月24日发布并开源。它的参数量巨大，截止2026年5月，DeepSeek发布的‌V4-Pro‌模型总参数量高达1.6万亿，将1.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．1.6×1011 B．1.6×1012 C．0.16×1012 D．16×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：1.6万亿＝16000 0000 0000＝1.6×1012． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．下列式子运算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a3＝a2 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的运算法则逐项分析判断如下： 选项A、a3与a2不是同类项，不能合并，故A错误； 选项B、a2•a3＝a2+3＝a5，故B正确； 选项C、（a3）2＝a3×2＝a6≠a5，故C错误； 选项D、a6÷a3＝a6－3＝a3≠a2，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查幂运算的基本法则，熟练掌握运算法则是关键． 5．如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知OA∥CD，∠AOB＝105°，∠OCD＝125°，则∠BOC的度数是（　　） 图1 图2 A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】根据两直线平行，内错角相等，再利用角的和差计算即可． 【详解】解：∵OA∥CD，∠COD＝125°， ∴∠AOC＝∠OCD＝125°， ∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠AOB＝105°， ∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝125°－105°＝20°． 故选：C． 【点评】此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是关键． 6．如图，在一张长方形ABCD纸板上找一点P，使点P到AB，BC的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法错误的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质得到点P为∠ABC的平分线与CD的垂直平分线的交点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：∵点P到AB，BC的距离相等，且到点C，D的距离也相等， ∴点P为∠ABC的平分线与CD的垂直平分线的交点． ∴没有符合题意的作图， 故选：D． 【点评】本题考查了作图－基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 7．《算法统宗》是我国明代数学家程大位（1533－1606）所著，文中记录了“二果问价”问题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八．苦果七个四文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几何？设苦果有x个，甜果有y个，则可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用总价＝单价×数量，结合“四百五十文钱，甜果苦果买四百八”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵甜果和苦果共买了480个， ∴x+y＝480； ∵共花费450文钱，苦果七个四文钱，甜果九个十一文， ∴xy＝450． ∴根据题意可列出方程组． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD， E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．下列结论正确的是（　　） ①EG＝EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG； ④EA平分∠GEF； ⑤四边形BEFG是菱形． A．③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EFCD＝BG，结合平行即可证得②正确，由BD＝2BC得出BO＝BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GPBE，AO＝EO，证△APG≌△EPG得出AG＝EG＝EF得出①正确，再证△GPE≌△FPE得出④再求，证出四边形BEFG是平行四边形，⑤③不正确；此题得解． 【详解】解：设GF和AC的交点为点P，如图： ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF∥CD，且EFCD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD， ∴∠FEG＝∠BGE， ∵点G为AB的中点， ∴BGABCD＝FE， 在△EFG和△GBE中，， ∴△EFG≌△GBE（SAS），即②正确， ∴∠EGF＝∠GEB，GF＝BE， ∴GF∥BE， ∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点， ∴BOBD＝BC， ∵E为OC中点， ∴BE⊥OC， ∴GP⊥AC， ∴∠APG＝∠EPG＝90° ∵GP∥BE，G为AB中点， ∴P为AE中点，即AP＝PE，且GPBE， 在△APG和△EGP中，， ∴△APG≌△EPG（SAS）， ∴AG＝EGAB， ∴EG＝EF，即①正确， ∵EF∥BG，GF∥BE， ∴四边形BGFE为平行四边形， ∴GF＝BE， ∵GPBEGF， ∴GP＝FP， ∵GF⊥AC， ∴∠GPE＝∠FPE＝90° 在△GPE和△FPE中，， ∴△GPE≌△FPE（SAS）， ∴∠GEP＝∠FEP， ∴EA平分∠GEF，即④正确． ∵BG＝FE，GF＝BE， ∴四边形BEFG是平行四边形， 没有条件得出BEFG是菱形，⑤③不正确； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等． 二．填空题（共5小题） 9．2026马年春晚吉祥物“骐骐”骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案．每按一次电子转盘按钮，转盘转动停止后指针会随机指向某一个区域．当按一次按钮后，指针指向“骥骤”所在区域的概率为　　． 【分析】利用概率公式求出指针指向“骥骥”所在区域的概率即可． 【详解】解：共有4种等可能的结果，其中指针指向“骥骥”所在区域的结果有1种， ∴指针指向“骥骥”所在区域的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 10．已知x＝2是方程x2－3mx+m2＝0的一个根，则代数式2m2－12m+2026的值为　2018　． 【分析】先将x＝2代入方程中，即可得到 2m2－12m＝－8；再代入2m2－12m+2026中，即可求出答案． 【详解】解：把x＝2代入方程x2－3mx+m2＝0， 则4－6m+m2＝0， ∴8－12m+2m2＝0， 即 2m2－12m＝－8， ∴2m2－12m+2026＝－8+2026＝2018， 故答案为：2018． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，取AD的中点E，连接BE、CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是　1　． 【分析】根据题意得出∠GBE＝∠AEB＝45°，BE，进而根据阴影部分的面积＝2S扇形BEG－S△BEC，求出答案． 【详解】解：在矩形ABCD中， ∵AB＝1，AD＝2，E是AD中点， ∴ED＝AE＝1，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠AEB＝45°， ∴∠GBE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝AE＝1，BE， ∴图中阴影部分的面积＝2S扇形BEG－S△BEC＝21×21． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了扇形面积的计算以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键． 12．如图，直线y＝x+m（m＜0）与曲线在第一象限内的交点为R，与x轴，y轴的交点分别为P，Q，过R作RM⊥x轴，垂足为M，若△OPQ与△PRM的面积相等，则m＝　　． 【分析】本题可先求出直线y ＝ x+m与坐标轴的交点P、Q的坐标，再设出点R的坐标，根据△OPQ的面积与△PRM的面积相等，列出关于m的关系式，从而解得m的值． 【详解】解：直线y＝x+m（m＜0）与x轴，y轴的交点分别为P，Q， ∴当y＝0时，0＝x+m，解得x＝－m， ∴点P的坐标为（－m，0）， 当x＝0时， y＝0+m＝m， ∴点Q的坐标为（0，m）， 又∵直线y＝x+m（m＜0）与曲线在第一象限内的交点为R， 设R（a，）（a＞0）， 由于点R在直线y＝x+m上， ∴ a+m， 即ma， 在△OPQ中，OP＝－m，OQ＝－m， 在△PRM中，PM＝a+m，RM， ∵△OPQ的面积与△PRM的面积相等， 即， 即m21， 把ma，代入，得（）2＝1， 化简得a2＝2， 解得a或（不符合题意，舍去）， ∴m， 故答案为：． 【点评】此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用． 13．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边CD，AB的中点，两条平行线AK，CL分别经过菱形EGFH的顶点H，G和边FG，EH的中点M，N，已知菱形EGFH的面积为S，则图中阴影部分的面积和为 　S .（用含S的代数式表示） 【分析】如图，连接EF、GH交于点O，设EF交NG于点R，交AK于点T，连接AG，由E、F分别是CD、AB的中点，可得DECD，AFAB，得出四边形ADEF是平行四边形，再利用四边形EGFH是菱形，可得GH⊥EF，OG＝OHGH，∠EOG＝90°，利用AAS证明△HGM≌△AFM，再利用ASA证明△AGL≌△EGR，从而得出ER＝RT＝FTEFAD，根据菱形EGFH的面积为S，可得EF•GH＝2S，进而得AD•AB＝4S，运用平行四边形面积可得S▱ALCK＝AL•ABAD•ABS，S▱GMHNS，再利用S阴影＝S▱ALCK－S▱GMHN，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接EF、GH交于点O，设EF交NG于点R，交AK于点T，连接AG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠D＝90°， ∵E、F分别是CD、AB的中点， ∴DECD，AFAB， ∴DE＝AF， ∵DE∥AF， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∵∠D＝90°， ∴四边形ADEF是矩形， ∴EF∥AD，EF＝AD，∠AFE＝90°， ∵四边形EGFH是菱形， ∴GH⊥EF，OG＝OHGH， ∴∠EOG＝90°， ∴∠EOG＝∠AFE， ∴GH∥AF， ∴∠GHM＝∠FAM， ∵点M是FG的中点， ∴GM＝FM， 在△HGM和△AFM中， ， ∴△HGM≌△AFM（AAS）， ∴GH＝AF， ∴GHAB， ∵OGAF，OE＝OF，OG∥AF， ∴点G是矩形ADEF的中心，即A、G、E三点在同一条直线上， ∴AG＝EG， ∵EF∥AD， ∴∠LAG＝∠REG， 在△AGL和△EGR中， ， ∴△AGL≌△EGR（ASA）， ∴AL＝ER， ∵AK∥CL，AL∥CK， ∴四边形ALCK是平行四边形， 同理，四边形ALRT是平行四边形， ∴AL＝RT＝CK， ∴ER＝RT， 同理可得，RT＝FT， ∴ER＝RT＝FTEFAD， ∵菱形EGFH的面积为S， ∴EF•GH＝2S， ∴AD•AB＝4S， ∵ALAD， ∴S▱ALCK＝AL•ABAD•ABS， ∵S▱GMHNS， ∴S阴影＝S▱ALCK－S▱GMHNSSS；故答案为：S． 【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 三．解答题（共7小题） 14．计算：． 【分析】根据平方、零指数幂、立方根、二次根式的乘法法则和绝对值计算即可． 【详解】解： ＝ ＝－7 【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，掌握相应的运算法则是关键． 15．先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2＝0． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x2＝2x+2代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：••， ∵x2－2x－2＝0， ∴x2＝2x+2， ∴当x2＝2x+2时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 16．随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：80≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93， 93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “DeepSeek”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“DeepSeek”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a DeepSeek 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　94　，m＝　40　，b＝　94　； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作m50，前半部分数据的中位数记作m25，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作m75，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数m25＝　89.5　； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“DeepSeek”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（95≤x≤100）的总用户数． 【分析】（1）根据众数的定义求出a，根据中位数的定义求出b，然后用1分别减去各组所占的百分比得到m的值； （2）根据下四分位数的定义解答即可； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】解：（1）“豆包”得分中94出现的次数最多，故众数a＝94； “DeepSeek”A组和B组的人数之和为：20×（10%+20%）＝6， 把“DeepSeek”20个用户的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是94，94，故中位数b94， m%＝1－10%－20%40%，即m＝40， 故答案为：94，40，94； （2）“豆包”得分的下四分位数m2589.5， 故答案为：89.5； （3）680（人）， 答：估计其中对这两款人工智能软件非常满意（95≤x≤100）的总用户数为680人． 【点评】本题考查了中位数、众数以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． 17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弧BC的中点，连接AC、BC、AD，AD与BC相交于点H，过点D作直线DG∥BC，交AC的延长线于点G． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若弧AC＝弧BD，CG＝2，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，交BC于点E，由点D为的中点，得OD垂直平分BC，因为DG∥BC，所以∠ODG＝∠OEC＝90°，即可证明DG是⊙O的切线． （2）连接OC、CD，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，则∠G＝∠ACB＝90°，可证明四边形CEDG是矩形，所以DE＝CG＝2，由，得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，则△AOC和△COD都是等边三角形，求得AC＝OC＝CD＝OD＝2DE＝4，则AG＝6，DG＝2，由∠CAH∠COD＝30°，得AH＝2CH，由ACCH＝4，求得CH，由S阴影＝S△AGD－S△ACH，求得S阴影． 【详解】（1）证明：连接OD，交BC于点E， ∵点D为的中点， ∴OD垂直平分BC， ∵DG∥BC， ∴∠ODG＝∠OEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DG⊥OD， ∴DG是⊙O的切线． （2）解：连接OC、CD，则OA＝OC＝OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠G＝∠ACB＝90°，∠CED＝∠EDG＝90°， ∴四边形CEDG是矩形， ∴DE＝CG＝2， ∵，点D为的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD180°＝60°， ∴△AOC和△COD都是等边三角形， ∵CE⊥OD， ∴OE＝DE＝2， ∴AC＝OC＝CD＝OD＝2DE＝4， ∴AG＝AC+CG＝6，DG2， ∵∠CAH∠COD＝30° ∴AH＝2CH ∵ACCH＝4 ∴CH ∴S阴影＝S△AGD－S△ACH6×24， ∴阴影部分的面积是． 【点评】此题重点考查垂径定理、平行线的性质、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18．随着科技的快速发展和自动化水平的不断提升，人们日常生活中的手工制作机会逐渐减少，然而近年来，追求个性化体验与情感价值的DIY（自主创作）模式却逆势兴起，成为现代人平衡技术便利与人文体验的重要生活方式．根据以下素材，请用方程（组）或不等式（组）完成任务． 素材1 端午期间，DIY小店推出A、B、C三款包装盒供顾客选择，1个C款包装盒的销售单价是12元，2个A款包装盒的售价比3个B款包装盒的售价多2元，3个A款包装盒和5个B款包装盒的售价之和等于5个C款包装盒的售价； 素材2 为了有更好的体验感，DIY小店特意准备了制作粽子的原材料，可制作红豆粽、蛋黄粽、肉粽三种口味，制作单价分别是：4元、5元、6元一个；同时推出优惠活动：每制作10个粽子，赠送一个红豆粽； 素材3 一份礼盒的售价由制作的粽子价格与包装盒的价格组合构成．已知A款包装盒可装12个粽子，B款包装盒可装18个粽子，C款包装盒可装15个粽子． 问题解决 任务1 请问A款包装盒和B款包装盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明妈妈计划用不超过830元制作A、B两款礼盒各5盒，每盒均装满，其中A款礼盒包含2个红豆粽，m个肉粽，其余是蛋黄粽；B款礼盒包含4个红豆粽，（m－1）个肉粽，其余是蛋黄粽，且蛋黄粽的个数不超过个．请你通过计算说明小明妈妈的计划能成功吗？如果能成功，有几种搭配方式呢？ 【分析】（1）设A款包装盒的销售单价为x，B款包装盒的销售单价为y，利用“2个A款包装盒的售价比3个B款包装盒的售价多2元”和“3个A款包装盒和5个B款包装盒的售价之和等于5个C款包装盒的售价”列式求解即可； （2）先根据题意得出每盒A款和B款礼盒中蛋黄粽的数量，再确定赠送的红豆粽数量，再列出红豆粽（不含赠送）、肉粽、蛋黄粽的总量，利用“不超过830元制作A、B两款礼盒各5盒”和“蛋黄粽的个数不超过m个”列式求解即可． 【详解】解：任务1：设A款包装盒的销售单价为x，B款包装盒的销售单价为y， 由题意得， 解得：， 答：A款包装盒的销售单价为10元，B款包装盒的销售单价为6元； 任务2：由题意得每盒A款礼盒中蛋黄粽的数量为 12－2－m＝（10－m）个， 每盒B款礼盒中蛋黄粽的数量为18－4－（m－1）＝（15－m）个， ∵共有5×12+5×18＝150（个）粽子，150÷（10+1）＝13……7， ∴其中有13个红豆粽是赠送的， ∴共有红豆粽（不含赠送）2×5+4×5－13＝17（个），共有肉粽5m+5（m－1）＝（10m－5）个，共有蛋黄粽5（10－m）+5（15－m）＝（125－10m） 个， 由题意得：， 解得：， 又∵m是正整数， ∴m＝6或7或8， 故能成功，有3种搭配方式，分别是A款礼盒包含2个红豆粽，6个肉粽，4个蛋黄粽；B款礼盒包含4个红豆粽，5个肉粽，9个蛋黄粽；A款礼盒包含2个红豆粽，7个肉粽，3个蛋黄粽；B款礼盒包含4个红豆粽，6个肉粽，8个蛋黄粽；A款礼盒包含2个红豆粽，8个肉粽，2个蛋黄粽；B款礼盒包含4个红豆粽，7个肉粽，7个蛋黄粽． 【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，不等式组的实际应用，列代数式，熟练根据题意正确列出式子或等式是解题的关键． 19．综合与探究： 关于二次函数y＝ax2－2ax－3a（a≠0），数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究． 【特例研究】 （1）当a＝1时，二次函数为y1＝x2－2x－3　 ，并在图1中的平面直角坐标系画出其函数图象； 当a＝2时，二次函数为，其图象如图1所示； 当时，二次函数为，其图象如图1所示； （2）观察特例中的图象，并结合学习函数的经验，写出二次函数y＝ax2－2ax－3a（a≠0）的2条特征； 【深入探究】 （3）对于二次函数y＝ax2－2ax－3a（a≠0），当a＜0，－2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为6，求a的值； （4）将y＝ax2－2ax－3a（a≠0）在－2≤x≤2间的图象记为G，若图象G与直线y＝x+1有2个交点，请求出a的取值范围． 【分析】（1）先确定，再根据列表、描点、连线的步骤在直角坐标系中画出图象即可； （2）结合图象1回答即可； （3）根据二次函数图象与性质确定y值的最大值与最小值，再列出方程求解即可； （4）分两种情况：当a＜0时；当a＞0时，结合图象、函数图象上点的坐标特征及一元二次方程根的判断式求解即可． 【详解】解：（1）当a＝1时，二次函数为， 列表如下： x ⋯ －1 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 0 －3 －4 －3 0 ⋯ 二次函数的图象，如图1即为所求； （2）由图象可知： ①二次函数y＝ax2－2ax－3a（a≠0）恒过点（－1，0），（3，0）； ②二次函数y＝ax2－2ax－3a（a≠0）的对称轴为直线x＝1； （3）∵a＜0，－2≤x≤2， 又∵二次函数y＝ax2－2ax－3a（a≠0）的对称轴为直线x＝1； ∴当x＝1时，最大值y＝a•12－2a•1－3a＝－4a， 当x＝－2时，最小值y＝a•（－2）2－2a•（－2）－3a＝5a， ∵y的最大值与最小值的差为6， ∴－4a－5a＝6， 解得：； （4）如图2， 当a＜0时， 当x＝2时，y＝2+1＝3，即（2，3）， 将（2，3）代入y＝ax2－2ax－3a，得： 4a－4a－3a＝3， 解得：a＝－1， 当x＝－2时，y＝－2+1＝－1，即（－2，－1）， 将（－2，－1）代入y＝ax2－2ax－3a，得： 4a+4a－3a＝－1， 解得：， 当图象G与直线y＝x+1只有1个交点时，则ax2－2ax－3a＝x+1， 整理得：ax2－（2a+1）x－（3a+1）＝0， ∴Δ＝（2a+1）2－4a[－（3a+1）]＝0， 解得：， ∴当且时，图象G与直线y＝x+1有2个交点； 当a＞0时，结合图象知：图象G与直线y＝x+1只有1个交点，为（－1，0）， 综上所述，若图象G与直线y＝x+1有2个交点，a的取值范围是且． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图角和性质，包括二次函数图象的画法，二次函数过定点问题，二次函数与线段的交点问题，以及分类讨论、数形结合的数学思想，掌握以上知识点是解题关键． 20．【问题提出】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，点F为点A的对应点．当点F落在BC边上时，延长CB，DE交于点H，连接AH． ①求证：四边形AHFD为菱形； 【特例研究】 ②若，求菱形AHFD的面积． 【类比推广】 （2）在▱ABCD中，点E为边BC中点，连接DE，将△DCE沿DE翻折得到△DHE．（点H为点C的对应点）．延长DH交边AB于点F，若AB＝5，AF＝2，求线段DF的长． 【拓展提升】 （3）在菱形ABCD中，点E为边AB中点，连接DE，将四边形DCBE沿DE翻折得到四边形DHFE．（点H为点C的对应点，点F为点B的对应点），连接AF．若∠B＝60°，AB＝8，求线段AF的长． 【分析】（1）①根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据折叠的性质得到∠ADH＝∠FDH，AD＝DF，根据平行线的性质得到∠ADH＝∠DHF，得到∠FDH＝∠DHF，求得FD＝FH，推出四边形AHFD为平行四边形，根据菱形的判定定理得到结论； ②根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，求得∠AED＝60°，得到DE＝2AE，根据折叠的性质得到∠AED＝∠DEF＝60°，求得∠BEF＝60°，根据勾股定理得到AE＝2，DE＝4，求得EF＝AE＝2，得到AB＝AE+BE＝3，于是得到结论； （2）（法一）延长AB，DE交于点K，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，求得∠K＝∠CDE，推出△BEK≌△CED（AAS），根据折叠的性质得到∠FDE＝∠CDE，CD＝DH，求得∠FDK＝∠K，于是得到FD＝FK＝FB+BK＝3+5＝8；（法二）连接BH，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，求得∠ABC+∠BCD＝180°，根据折叠的性质得到∠BCD＝∠DHE，得到BF＝FH，于是得到FD＝FH+HD＝3+5＝8； （3）连接BF，延长DE交BF于点O，分别过点A，D作DE，BA的垂线，交DE于点P，交BA的延长线于点Q，根据菱形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA＝8，求得AE＝BE＝4，根据折叠的性质得到BE＝EF＝4，推出四边形APFO为矩形，得到AF＝OP，根据三角形中位线定理得到，求得，根据勾股定理得，，设OE＝x，则AF＝2x，PE＝x，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵△ADE沿DE翻折得到△FDE， ∴△ADE≌△FDE， ∴∠ADH＝∠FDH，AD＝DF， ∵AD∥BC， ∴∠ADH＝∠DHF， ∴∠FDH＝∠DHF， ∴FD＝FH， ∴AD＝HF，AD∥HF， ∴四边形AHFD为平行四边形， 又∵AD＝DF， ∴平行四边形AHFD为菱形； ②∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ADE＝30°， ∴∠AED＝60°， ∴DE＝2AE， ∵△ADE沿DE翻折得到△FDE， ∴△ADE≌△FDE， ∴∠AED＝∠DEF＝60°， ∴∠BEF＝60°， ∵， 在Rt△ADE 中，根据勾股定理可得：AD2+AE2＝DE2， 解得AE＝2，DE＝4， ∴EF＝AE＝2， ∴BE＝1， ∴AB＝AE+BE＝3， ∴菱形AHFD的面积； （2）（法一）延长AB，DE交于点K， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠K＝∠CDE， 又∵∠BEK＝∠CED，BE＝CE， ∴△BEK≌△CED（AAS）， ∵△DCE沿DE翻折得到△DHE， ∴△DCE≌△DHE， ∴∠FDE＝∠CDE，CD＝DH， ∴∠FDK＝∠K， ∴FK＝FD， ∵AB＝5，AF＝2， ∴FB＝AB－AF＝3， ∴BK＝CD＝AB＝5， ∴FD＝FK＝FB+BK＝3+5＝8； （法二）连接BH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵△DCE沿DE翻折得到△DHE， ∴△DCE≌△DHE， ∴∠BCD＝∠DHE， ∵∠DHE+∠FHE＝180°， ∴∠ABC＝∠FHE， ∵BE＝HE， ∴∠BHE＝∠EBH， ∴∠FBH＝∠FHB， ∴BF＝FH， ∵AB＝5， ∴CD＝DH＝5， 又∵AF＝2， ∴FB＝AB－AF＝3， 又∵FB＝FH， ∴FH＝3， ∴FD＝FH+HD＝3+5＝8； （3）连接BF，延长DE交BF于点O，分别过点A，D作DE，BA的垂线，交DE于点P，交BA的延长线于点Q， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝8， 又∵E为AB中点， ∴AE＝BE＝4， ∵四边形DCBE沿DE翻折得到四边形DHFE， ∴BE＝EF＝4， ∴EA＝EF＝EB， ∴∠FAE＝∠EFA，∠EFB＝∠EBF， 在△AFB中，∠FAE+∠EFA+∠EFB+∠EBF＝180°， ∴∠AFB＝90°， ∵点F为点B的对应点， ∴DO⊥BF，点O为BF中点， ∴∠FOE＝90°，BO＝OF， 又∵AP⊥ED， ∴∠APO＝90， ∴四边形APFO为矩形， ∴AF＝OP， ∵E为AB中点，点O为BF中点， ∴， ∴， ∵∠ABC＝60°，AD∥BC， ∴∠DAQ＝60°， ∵AD＝8， ∴AQ＝4， 根据勾股定理得， 在Rt△DEQ中，DE2+QD2＝DE2， 解得， 设OE＝x，则AF＝2x，PE＝x， ∴， 在Rt△AEP与Rt△ADP中，AE2－PE2＝AD2－DP2， ∴， 解得， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线定理，正确地周长辅助线是解题的关键． 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $