精品解析：2026年辽宁省抚顺市新宾县木奇镇中学九年级考前最后数学质量检测

考前最后质量检测数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某款汽车的实物图，该款汽车的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某学校调查学生最常用的软件，分别为“豆包”“文心一言”“”和“”，若每位学生只能选择一个自己最常用的软件，则小乐选择“豆包”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点M，D分别在上，过点D作，过点M作于点N．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 7. 冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一块三角尺沿一条直角边所在的直线向右平移若干个单位长度到的位置．若四边形的周长为a，的周长为b，则向右平移的单位长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按下列步骤进行尺规作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点；④作直线，交线段于点．若，则与的比为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集为________ 12. 某校举行射击比赛，下表记录了甲、乙、丙三名参赛选手成绩的平均数和方差． 甲 乙 丙 平均数 9.41 9.45 9.45 方差 0.31 0.022 0.036 根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择________．（填 “甲”或“乙”或“丙”） 13. 如图，风筝拉线长为，且拉线与地面夹角为．若拉线是直的，则风筝离地面的高度约为________．（结果保留整数．参考数据：） 14. 已知点和点关于原点对称，且，则的长为________ 15. 如图，在中，，将线段绕点C逆时针旋转得到线段．若交的延长线于点D，则的长为________ 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 书法社团计划购买一批字帖．已知A种字帖“满五免一”（即每买5本只需付4本的钱），B种字帖满8本按八折销售．该书法社团同时购进A种字帖4本和B种字帖8本，共需200元；同时购进A种字帖5本和B种字帖6本，共需192元．求A，B两种字帖的单价． 18. 学校为了解全校学生课外体育锻炼的情况，随机调查了部分学生在一周内课外体育锻炼的次数，并绘制成如下不完整的统计表和统计图． 课外体育锻炼的次数 0 1 2 3 4次及以上 人数 14 a 34 20 6 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）填空：_______,_______； （2）该调查统计数据的中位数是_______； （3）若学校共有1200名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内课外体育锻炼“4次及以上”的人数． 19. 已知A，B两地相距，甲、乙两车分别从A，B两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车到B地的距离y（单位：）与甲车出发的时间x（单位：h）之间的关系如图所示． （1）甲车途中停车休息的时间为_______h； （2）求乙车到B地的距离y与甲车出发的时间x之间的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围） 20. 某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） （2）从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 21. 如图，四边形内接于，连接相交于点M，且是的直径，点E在的延长线上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图1，在中，，为边中线，求的取值范围． ①小宁同学给出如下解题思路：如图2，取边的中点，连接，构造，利用三角形的三边关系定理，从而求出的取值范围； ②小晶同学给出如下解题思路：如图3，延长至，使，连接，构造，再利用三角形的三边关系定理，从而求出的取值范围． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解题过程； 【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用子转化思想转化线段，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题；请你解答． （2）如图4，在等腰中，于点D，E是的中点，连接交于点F，求的长； 【学以致用】 （3）如图5，菱形的边长为8，，点F在边上，平分，交于点E，且E为的中点，连接，求的长． 23. 已知是自变量x的函数，当时，称函数是函数的“积函数”．例如：，当时，函数是函数的“积函数”． 平面直角坐标系中，函数是函数且）的“积函数”，函数与函数的交点为A，，函数与函数的交点为B， （1）当时，求函数的最值； （2）求与之间的数量关系； （3）①若以点A，B，C，D为顶点的四边形的面积为y，求y关于b的函数解析式； ②在①的条件下，当直线与函数y的图象有2个交点时，请直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 考前最后质量检测数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是选项C． 2. 如图是某款汽车的实物图，该款汽车的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：左视图就是从物体的左侧观察物体得到的图形，从左侧观察该车得到的图形是车头，故选项D正确． 3. 某学校调查学生最常用的软件，分别为“豆包”“文心一言”“”和“”，若每位学生只能选择一个自己最常用的软件，则小乐选择“豆包”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可； 【详解】解：∵共有4个软件，其中“豆包”只有1个， ∴小乐选择“豆包”的概率为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．，符合题意； B．，不符合题意； C．与不是同类项，不能合并，不符合题意； D．与不是同类项，不能合并，不符合题意． 5. 如图，点M，D分别在上，过点D作，过点M作于点N．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出，确定，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵, ， ∴， ∴， ∵， ． 6. 如图，在菱形中，若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线平分每一组对角，以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 7. 冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 8. 如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 9. 如图，将一块三角尺沿一条直角边所在的直线向右平移若干个单位长度到的位置．若四边形的周长为a，的周长为b，则向右平移的单位长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后结合平移的性质确定，作差即可求解． 【详解】解：四边形的周长为a， ∴． ∵的周长为b， ∴． 由平移的性质，得， ， ，即向右平移的单位长度为． 10. 如图，在中，按下列步骤进行尺规作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点；④作直线，交线段于点．若，则与的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可得，进而可得. 【详解】解：由作图可知，， ∵， ∴， ∴. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【详解】解：， 移项得： 系数化为1得： 12. 某校举行射击比赛，下表记录了甲、乙、丙三名参赛选手成绩的平均数和方差． 甲 乙 丙 平均数 9.41 9.45 9.45 方差 0.31 0.022 0.036 根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择________．（填 “甲”或“乙”或“丙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】选择平均数大的和方差小的即可． 【详解】解：丙和乙的平均数较大，从丙和乙中选择一人参加比赛． 乙的方差较小，成绩更稳定，选择乙参加比赛． 13. 如图，风筝拉线长为，且拉线与地面夹角为．若拉线是直的，则风筝离地面的高度约为________．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】61 【解析】 【分析】过点A作于点D，再利用锐角的正弦求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D． 根据题意，得， ∵， ∴ ∴风筝离地面的高度约为． 14. 已知点和点关于原点对称，且，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的两点，横纵坐标互为相反数，先计算，把换成，用整体代换算出，再根据算出． 【详解】解：点和点关于原点对称， ∴，， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，将线段绕点C逆时针旋转得到线段．若交的延长线于点D，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点A作，交的延长线于点M，过点M作，交的延长线于点N，则，在中，根据勾股定理求出，由旋转的性质，得，则，得出．证明，得出，，求出，证明，得出，即可求出． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点M，过点M作，交的延长线于点N， ∴， 在中，， ∴根据勾股定理，得， 由旋转的性质，得， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 17. 书法社团计划购买一批字帖．已知A种字帖“满五免一”（即每买5本只需付4本的钱），B种字帖满8本按八折销售．该书法社团同时购进A种字帖4本和B种字帖8本，共需200元；同时购进A种字帖5本和B种字帖6本，共需192元．求A，B两种字帖的单价． 【答案】A种字帖的单价为18元，B种字帖的单价为20元 【解析】 【分析】设A种字帖的单价为x元，B种字帖的单价为y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设A种字帖的单价为x元，B种字帖的单价为y元．． 根据题意，得， 解得 答：A种字帖的单价为18元，B种字帖的单价为20元． 18. 学校为了解全校学生课外体育锻炼的情况，随机调查了部分学生在一周内课外体育锻炼的次数，并绘制成如下不完整的统计表和统计图． 课外体育锻炼的次数 0 1 2 3 4次及以上 人数 14 a 34 20 6 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）填空：_______,_______； （2）该调查统计数据的中位数是_______； （3）若学校共有1200名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内课外体育锻炼“4次及以上”的人数． 【答案】（1）26，34 （2）2 （3）72人 【解析】 【分析】（1）先求出总数，然后减去已知的人数即可求解，用锻炼2次的人数除以总数即可求解； （2）用中位数的定义求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（人）． ，即； 【小问2详解】 解：将该调查统计数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，位于最中间的两个数据都是2，故中位数是； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校学生在一周内课外体育锻炼“4次及以上”的有72人． 19. 已知A，B两地相距，甲、乙两车分别从A，B两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车到B地的距离y（单位：）与甲车出发的时间x（单位：h）之间的关系如图所示． （1）甲车途中停车休息的时间为_______h； （2）求乙车到B地的距离y与甲车出发的时间x之间的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图象可知，甲在前1小时走了50千米，即可求出甲车的速度；由于甲的速度未改变，求出甲车行驶需要的时间，结合图象即可求出休息时间； （2）先求出交点M的坐标，再根据待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：根据函数图象可得，甲车的速度为， ∴甲车行驶需要． ∴甲车途中停车休息的时间为． 【小问2详解】 解：根据函数图象可得，甲车的速度为，两车相遇时x的值为2， 此时甲车到B地的距离为． ∴如图，点M的坐标为， 设乙车到B地的距离y与甲车出发的时间x之间的函数解析式为． 将点，代入，得， 解得， ∴乙车到B地的距离y与甲车出发的时间x之间的函数解析式为． 20. 某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） （2）从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【答案】（1）启动阶段：，下降阶段： （2） 【解析】 【分析】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数； （2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长． 【小问1详解】 解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为， 在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 故启动阶段，关于的函数解析式为； 在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得， 故下降阶段，关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：在中，令， 解得， 在中，令，得， 解得， 可得， 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为． 21. 如图，四边形内接于，连接相交于点M，且是的直径，点E在的延长线上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形内接于，是 的直径， ， ， ， ， ， ∵， ∴． ，即． ∵是的直径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，确定，再由圆周角定理确定，得出，结合等量代换及切线的判定即可证明； （2）连接，得出，确定，即，再由勾股定理得出，设的半径为r，，再由勾股定理求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接． ∵ ， 由（1），知 ，即 在中，根据勾股定理，得 设的半径为r． ∴． ∴ 在中，根据勾股定理， ． 解得 ∴ ∴． 22. 在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图1，在中，，为边中线，求的取值范围． ①小宁同学给出如下解题思路：如图2，取边的中点，连接，构造，利用三角形的三边关系定理，从而求出的取值范围； ②小晶同学给出如下解题思路：如图3，延长至，使，连接，构造，再利用三角形的三边关系定理，从而求出的取值范围． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解题过程； 【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用子转化思想转化线段，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题；请你解答． （2）如图4，在等腰中，于点D，E是的中点，连接交于点F，求的长； 【学以致用】 （3）如图5，菱形的边长为8，，点F在边上，平分，交于点E，且E为的中点，连接，求的长． 【答案】（1）选择小宁同学的解题思路． ∵，E为边的中点， ∴ ∵是边的中线， ∴D为边的中点． ∴是的中位线． ∴， 在中， ，即； 选择小晶同学的解题思路． ∵是边的中线， ∴ 又， ∴． ∴， 在中， ∴，即， ∵， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据小宁和小晶同学的思路，利用三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质及三角形三边关系即可求解； （2）过点E作，交于点M，得出，利用勾股定理确定，再由平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质得出，再由即可求解； （3）延长交于点G，过点E作，交的延长线于点H，根据菱形的性质得出，，再由各角之间的关系得出，确定，结合题意得出，确定，，结合勾股定理及全等三角形的判定和性质求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点E作，交于点M． ∵， , 在中，根据勾股定理，得 ∵E是的中点， ∴， ∵ ， ， ， ∵， ∴， ·； 【小问3详解】 如图2，延长交于点G，过点E作，交的延长线于点H． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∵平分， ． ， ， ∵E是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 在中，根据勾股定理，得 ∵， ∴ ∴ 又 又， ∴ ，即 ∴， 23. 已知是自变量x的函数，当时，称函数是函数的“积函数”．例如：，当时，函数是函数的“积函数”． 平面直角坐标系中，函数是函数且）的“积函数”，函数与函数的交点为A，，函数与函数的交点为B， （1）当时，求函数的最值； （2）求与之间的数量关系； （3）①若以点A，B，C，D为顶点的四边形的面积为y，求y关于b的函数解析式； ②在①的条件下，当直线与函数y的图象有2个交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）最大值为8 （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）先求出函数的函数解析式，然后求出最值即可； （2）先求出，，，，然后分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）①根据解析（2），分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； ②根据解析①中的函数解析式，结合图象找出边界点，即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，， ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为8； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 令，得， 解得， ，， ∴， 将代入，得， ， 将代入，得， ∴， ∴， 令，得， 解得， ，， ∴， 将代入，得， ， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 当时，如图1，过点A作轴于点E，轴于点F， 则，， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ； 当时，如图2，过点A作轴于点E，轴于点F， 则， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ； 综上，； 【小问3详解】 解：①当时，如图1， ； 当时，如图2， 此时， ； 综上，y关于b的函数解析式为； ②由①可知， 在中，令，得， 令，得， 当直线过点时，如图3，此时直线与函数y的图象有1个交点． 此时， 当直线过点时，如图3，此时直线与函数y的图象有1个交点． ． 解得 当直线与函数的图象相切时，如图3，此时直线与函数y的图象有1个交点， 令， 整理，得， ， 解得：， 综上，当直线与函数y的图象有2个交点时，k的取值范围是：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $