精品解析：辽宁抚顺市新宾满族自治县木奇镇中学2026九年级数学3月质量检测

2026九年级数学3月质量检测 木奇镇中学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某种药品的说明书上标明药品保存的温度是，则该药品适宜保存的温度范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 某个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 若，则 D. 若，则 5. 某小区开展垃圾分类，一周内收集的可回收物重量（单位：)统计如下：25，28，30，32，28，26，31．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 无众数， 6. 某工程队计划修建一条长1200米的道路，原计划每天修建x米，实际每天比原计划每天多修20米，提前2天完成任务，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（ ） A. 7.5米 B. 15米 C. 22.5米 D. 30米 8. 已知二次函数的图象开口向上，与轴交于和，则下列关系正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（ ） A. 9米 B. 9.2米 C. 9.5米 D. 11米 10. 点A在反比例函数的第一象限的图象上，B为线段的三等分点，过点B作轴，交该反比例函数的图象于点C，交x轴于点D，，，则k的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 第二部分 非选择题（共90分） 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 2025年辽宁省持续推进“十四五”科技创新规划，某高新技术企业全年研发投入达12.8亿元，用于人工智能与智能制造领域的技术攻关，将数据12.8亿用科学记数法表示为______． 12. 古希腊数学家毕达哥拉斯发现的黄金分割被誉为“最优美的比例”，C是线段的黄金分割点，，则的长为______． 13. 如图，一束光线从点出发，经y轴上点C的反射后，经过点，则点C的坐标为______． 14. 如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 15. 如图，在中，，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算以及解方程组： （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形为正方形． （2）若，求的长度． 18. 为传承中华优秀传统文化，某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，，并绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ，请将条形统计图补充完整； （2）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛．小敏这三轮的成绩分别为86分、89分、93分，小敏能参加决赛吗？请说明理由． （3）经过初赛，进入决赛的学生有3名女生和2名男生，现从这5名学生中随机抽取2名学生担任该校的宣传传统文化小标兵，请用列表或画树状图的方法求这2名学生恰好是一名男生一名女生的概率． 19. 某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． （1）若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． （2）当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 20. 综合与实践活动中，某学习小组设计了一个方案，要用测角仪测量山的高度．封 如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点E，C，D在同一条直线上．从B处测得塔底C的仰角（）为，测得塔顶E的仰角（）为，，又在A处测得塔顶E的俯角（）为．（结果保留小数点后一位．参考数据：，，，，， （1）求两座山之间水平距离的长； （2）求这座山的高度． 21. 如图，内接于，是的直径，射线交于点D，交的延长线于点E，F是的中点，连接． （1）求证：是的切线． （2）如果，，求线段的长． 22. 【发现问题】 在数学小组活动中，同学们遇到了这样一个问题： （1）如图1，在正方形中，E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 【延伸类比】 小组内的某位同学提出，若四边形是矩形，那么会存在什么样的规律呢？于是他们提出了如下问题： （2）如图2，在矩形中，，，E是边上一点，连接，过点E作，点F在的上方并满足，连接，求的值． 【学以致用】 小组同学想进一步对图中进行变换，于是提出下面的问题： （3）如图3，在边长为的菱形中，，E为边上一点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，，交于点G，若G为边的三等分点，求的面积． 23. 定义：将函数位于直线右侧部分的图象，以轴为对称轴进行翻折，得到新函数的图象，我们称函数是函数的关联函数，函数和函数合起来记作函数．例如：函数的表达式为，当时，它的关联函数的表达式为． （1）已知函数的表达式为，在函数上，当时，图象上的点所对应的函数值为，求的值． （2）当时，如图所示． 已知函数的表达式为，写出它的关联函数； 在的条件下，直线与函数的图象有交点，求的取值范围． （3）已知函数的表达式为，函数在的范围内的最大值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026九年级数学3月质量检测 木奇镇中学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某种药品的说明书上标明药品保存的温度是，则该药品适宜保存的温度范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，理解标注中的实际含义即可计算得到温度范围． 【详解】解：保存温度标注为，说明适宜温度在基础上浮动，不超过 最低温度为，最高温度为， 因此该药品适宜保存的温度范围是． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可列一元一次不等式，解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得， ， 故选：A． 3. 某个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由主视图可得该几何体有两层，第二层的小正方形在左边；由俯视图可得该几何体有两列、两排，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由主视图可得：该几何体有两层，第二层的小正方形在左边， 由俯视图可得：该几何体有两列、两排， 故它的左视图可能是． 4. 下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查原命题与逆命题的真假判断，先写出每个选项的逆命题，再结合初中知识分别判断原命题和逆命题的真假即可得到结果. 【详解】解：选项A：原命题全等三角形的对应角相等是真命题， 逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题直角三角形的两个锐角互余是真命题， 逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形， ∵三角形内角和为，两个锐角互余即和为， ∴第三个角为=， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合要求； 选项C：原命题若，则是真命题， 逆命题为若，则，是假命题， 例如时但，不符合要求； 选项D：原命题若，则是假命题，时也可以是，不符合要求； 故选B 5. 某小区开展垃圾分类，一周内收集的可回收物重量（单位：)统计如下：25，28，30，32，28，26，31．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 无众数， 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义确定众数，再将数据排序后找到中位数． 【详解】解：统计这组数据中各数的出现次数：25，26，30，31，32各出现1次，28出现2次， ∵28的出现次数最多， ∴众数为， 将数据从小到大排序得：， ∵这组数据共7个，个数为奇数，中位数为排序后第个数， ∴第4个数为28，即中位数为， 因此这组数据的众数和中位数分别是，． 6. 某工程队计划修建一条长1200米的道路，原计划每天修建x米，实际每天比原计划每天多修20米，提前2天完成任务，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用工作时间工作总量工作效率，分别表示出原计划和实际的工作时间，再根据实际比原计划提前2天完成的等量关系列方程． 【详解】解：∵道路总长为1200米，原计划每天修建米， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天比原计划多修20米， ∴实际每天修建米，实际完成任务的天数为， ∵实际提前2天完成任务， ∴可列方程为． 7. 如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（ ） A. 7.5米 B. 15米 C. 22.5米 D. 30米 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点D、E分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴米． 8. 已知二次函数的图象开口向上，与轴交于和，则下列关系正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于和， ，对称轴为直线，关于的一元二次方程的两根为，， ，， ， ． 9. 某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（ ） A. 9米 B. 9.2米 C. 9.5米 D. 11米 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长，交的延长线于点，同一时刻物高与影长成比例，可得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 10. 点A在反比例函数的第一象限的图象上，B为线段的三等分点，过点B作轴，交该反比例函数的图象于点C，交x轴于点D，，，则k的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴且，得、横坐标均为，由在反比例函数上得纵坐标，再分为靠近原点和靠近的两种三等分情况，利用坐标比例关系得到、坐标，结合长度列方程求解． 【详解】解：∵ 轴，，在轴上， ∴ 、的横坐标均为， ∵ 在上， ∴ 点坐标为， 设点坐标为， ∵ 在反比例函数上， ∴ ． 为的三等分点，分两种情况讨论： 情况1：， ∵ 在上，从原点出发的线段上点的坐标成比例， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 代入得， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， 解得； 情况2：， 同理得 ，， ∵ ， ∴ ， 代入得， ∴ ， 由得 ， 解得 ， 综上，的值为或． 第二部分 非选择题（共90分） 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 2025年辽宁省持续推进“十四五”科技创新规划，某高新技术企业全年研发投入达12.8亿元，用于人工智能与智能制造领域的技术攻关，将数据12.8亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题先将12.8亿转化为整数形式，再根据科学记数法的定义确定和的值即可得到结果，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：12.8亿． 12. 古希腊数学家毕达哥拉斯发现的黄金分割被誉为“最优美的比例”，C是线段的黄金分割点，，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】点C是线段的黄金分割点，需分两种情况讨论：即为较长线段或为较短线段，根据黄金分割的定义计算即可得到结果． 【详解】解：由黄金分割的定义可知，黄金分割比为， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当为较长线段时.； ②当为较短线段时，此时为较长线段：， 则， 综上可得：的长为或． 13. 如图，一束光线从点出发，经y轴上点C的反射后，经过点，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数解析式，综合性较强，将知识综合运用是本题的关键． 延长交x轴于点D，利用反射原理，推出等角，从而证明得出，得到，得到，设的直线的解析式为，待定系数法求出解析式，并求出直线与y轴的交点坐标，即C点坐标． 【详解】解：延长交x轴于点D，如图所示： ∵由反射可知：， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，设的直线的解析式为， ∴， 解得， ∴的直线的解析式为， ∴当时，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质可得出过点C，，，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出，根据，则当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，，，， 作A关于l的对称点，连接，，，过作于E， 则过点C，，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为， 即的最小值为． 15. 如图，在中，，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，延长至点，使，连接，在四边形中，，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ， 延长至点，使，连接， ∵，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算以及解方程组： （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由二次根式性质化简、计算零指数幂、特殊角的三角函数值，再由计算二次根式乘法，最后由有理数加减运算计算即可； （2）由加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由①②得， 解得； 将代入①得； 原方程组的解为． 17. 如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形为正方形． （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 18. 为传承中华优秀传统文化，某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，，并绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ，请将条形统计图补充完整； （2）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛．小敏这三轮的成绩分别为86分、89分、93分，小敏能参加决赛吗？请说明理由． （3）经过初赛，进入决赛的学生有3名女生和2名男生，现从这5名学生中随机抽取2名学生担任该校的宣传传统文化小标兵，请用列表或画树状图的方法求这2名学生恰好是一名男生一名女生的概率． 【答案】（1），条形统计图如图所示： ； （2）小敏能参加决赛，理由 小敏最后得分：， ∴小敏能参加决赛； （3） 【解析】 【分析】（1）先用组的人数除以组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算组人数所占的百分比，最后用乘以组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以B组所占百分比，即可求出B组的人数，即可补充条形统计图； （2）将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答； （3）画出树状图，根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：参加此次竞赛总人数：（人）， A组所占百分比：， A组所在扇形的圆心角度数， B组人数：（人）， 条形统计图略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画树状图如下： ∴一共有20种等可能的结果，其中这2名学生恰好是一男一女的情况有12种情况， ∴这2名学生恰好是一男一女的概率为． 19. 某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． （1）若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． （2）当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 【答案】（1）①；② （2）当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出表达式即可； （2）由题意，得即可得到答案． 【小问1详解】 解：①每个帆布包的销售利润为（元）； ②每天的销售量为（个）； 【小问2详解】 解：由题意，得 解得， (元)，（元）． 答：当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元． 20. 综合与实践活动中，某学习小组设计了一个方案，要用测角仪测量山的高度．封 如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点E，C，D在同一条直线上．从B处测得塔底C的仰角（）为，测得塔顶E的仰角（）为，，又在A处测得塔顶E的俯角（）为．（结果保留小数点后一位．参考数据：，，，，， （1）求两座山之间水平距离的长； （2）求这座山的高度． 【答案】（1）两座山之间水平距离的长约为 （2）这座山的高度约为 【解析】 【分析】（1）在中，由解直角三角形的知识得，．由，则，解出的长度即可； （2）延长交于点G，证明四边形是矩形，得，． ，由解直角三角形的知识得，最后根据即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，得． 设． 在中， ， ． 在中， ， ． ， ． 解得． 答：两座山之间水平距离的长约为． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点G． 由题意，得，，，， 四边形是矩形． ，． 在中， ， ． 由（1）得． ． 答：这座山的高度约为． 21. 如图，内接于，是的直径，射线交于点D，交的延长线于点E，F是的中点，连接． （1）求证：是的切线． （2）如果，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵ 是的直径， ∴ ，即． ∵ 是中点，是直角三角形， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴，即，． ∵ 是半径， ∴ 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接， 证明。因为 是的直径，可得是直角三角形；又因为是中点，可证得；结合，利用等角的余角相等，推导． （2）在中，利用的定义结合与的关系，设未知数表示相关线段；再利用锐角三角函数列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ，， ∴ ， 又中， ∴ ， ∴． 在中，​， ∴​，解得， ∴ ． 在中，， ∴ ​， ∴ ​． 22. 【发现问题】 在数学小组活动中，同学们遇到了这样一个问题： （1）如图1，在正方形中，E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 【延伸类比】 小组内的某位同学提出，若四边形是矩形，那么会存在什么样的规律呢？于是他们提出了如下问题： （2）如图2，在矩形中，，，E是边上一点，连接，过点E作，点F在的上方并满足，连接，求的值． 【学以致用】 小组同学想进一步对图中进行变换，于是提出下面的问题： （3）如图3，在边长为的菱形中，，E为边上一点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，，交于点G，若G为边的三等分点，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作交的延长线于点G，先证，则，，即．则，可得，可求的度数； （2）过点F作交的延长线于点H，先证，则，可得；由，则，可得； （3）延长，交于点N，在上取一点M，使，作于Q ，过点F作交的延长线于点P，先证，则，．可得 ．证明，可得，；再证，可得，可求；再得出，由，可求的面积． 【小问1详解】 解：如图1，过点F作交的延长线于点G， ， 四边形为正方形， ，， ； 绕点E顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 在和中 ， ， ，， ，即， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图2，过点F作交的延长线于点H， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图3，延长，交于点N，在上取一点M，使．作于Q． 过点F作交的延长线于点P， 四边形为菱形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ，即， ， ； 菱形的边长为， ． ， ， ， ∵G为的三等分点，， ，， ， ，， ， ，即 ， ， ，， ， ， ，， ， ． 23. 定义：将函数位于直线右侧部分的图象，以轴为对称轴进行翻折，得到新函数的图象，我们称函数是函数的关联函数，函数和函数合起来记作函数．例如：函数的表达式为，当时，它的关联函数的表达式为． （1）已知函数的表达式为，在函数上，当时，图象上的点所对应的函数值为，求的值． （2）当时，如图所示． 已知函数的表达式为，写出它的关联函数； 在的条件下，直线与函数的图象有交点，求的取值范围． （3）已知函数的表达式为，函数在的范围内的最大值为，求的值． 【答案】（1） （2）；或 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由关联函数的定义可得的表达式，再结合图象上的点所对应的函数值为，列方程求解即可； （2）由关联函数的定义可得的表达式；分别求出直线与函数的图象有交点和无交点时对应的的值，即可得解； （3）先得到函数的关联函数为，确定对称轴为直线，分情况讨论：I．当时；II．当时；Ⅲ．当时；IV．当时；分别根据二次函数的图象性质确定最值，然后列方程求解即可． 【小问1详解】 解：函数的表达式为， 它的关联函数的表达式为， 根据题意得，， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ； 【小问2详解】 解：函数的表达式为，， 它的关联函数的表达式为； 如图，设函数的图象与直线交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． 根据题意，得恒过点， 点． 对于，当时，， 点． 当直线经过点时与函数的图象有交点，此时； 当直线与平行时刚好与函数的图象无交点，此时． 当或时，直线与函数的图象有交点． 【小问3详解】 解：函数的关联函数为，对称轴为直线， 当时，， I．当时，即． 在范围内，对于函数，随的增大而增大， 当时，取最大值，即， 解得． II．当时，即． 在范围内，对于函数， 当时，取最大值，即， 整理得， 解得（不合题意，舍去）； Ⅲ．当时，即． 在范围内，对于函数， 当时取最大值，由II知（不合题意，舍去）， 对于函数，随的增大而增大， 当时，取最大值，即， 解得（不合题意，舍去）； IV．当时，即． 在范围内，对于函数， 当时取最大值，即， 解得（不合题意，舍去）； 对于函数，随的增大而增大， 当时，取最大值，由Ⅲ知； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $