精品解析：2026年河北省承德市平泉市洼子店中学二模数学试题

2026年河北省承德市平泉市洼子店中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 某中学进行立定跳远测试，男生成绩合格标准定为1.85米，体育老师记录了甲、乙、丙、丁四位男生成绩如下表：（超出标准的部分记为“+”，不足标准的部分记为“-”），你认为立定跳远成绩最好的是（ ） 学生 甲 乙 丙 丁 成绩／米 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴四位男同学成绩最好的是乙； 故选：B． 【点睛】本题考查学生对正数和负数的认识，弄清题意是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂除法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意． 故选C． 3. 如图，与关于直线l成轴对称，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键：①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线． 【详解】解：∵与关于直线l成轴对称， ∴，，直线，， ∴四个选项中，只有C选项中的结论正确， 故选C． 4. 一组数据，，2，3，5有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据，，2，3，5有唯一的众数3， ， 将这组数据从小到大排列为：，2，3，3，5， 处在中间位置的数为3，即中位数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5. 如图是由相同小正方体组成的立体图形，其俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图就是从上面看到的图形，也就是从上面的正投影所得到的图形，根据图形的性质得出答案． 【详解】从上面看到的图形是4列2行， 故选：B． 【点睛】考查简单几何体的三视图，俯视图就是对几何体从上面的正投影所得到的图形． 6. 在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，且当S=0.1时，P=1000．下列说法中，错误的是(    ) A. P与S之间的函数表达式为 B. 当S=0.4时，P=250 C. 当受力面积小于时，压强大于 D. 该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，先设出P与S的函数表达式，得到P与S之间的函数表达式为：，然后代入求值及利用反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：设， 当时，， 即， ∴ ∴P与S之间的函数表达式为：， ∴故A说法正确，不符合题意； 当时，，故B说法正确，不符合题意； 当时，，所以受力面积小于时，压强大于， 故C说法正确，不符合题意； ∵当时，P随S的增大而减小，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7. 若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A. a＝7，n＝11 B. a＝5，n＝12 C. a＝7，n＝13 D. a＝2，n＝13 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算，最后再化成科学记数法即可得解． 【详解】解：(7×106)(5×105)(2×10) ＝(7×5×2)×(106×105×10) ＝7×1013 所以，a＝7，n＝13． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键． 8. 甲、乙、丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与边交于点O；乙再折出射线，点E在延长线上；丙再折叠纸张使得落在上，点B的对应点为点D，连接． 对下列两个结论判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：由操作步骤可直接得到四边形为平行四边形，判定依据是一组对边平行且相等； 结论Ⅱ：在中，若，则四边形为矩形． A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对，Ⅱ对 D. Ⅰ对，Ⅱ不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠得，证明四边形为平行四边形，再结合有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴四边形为平行四边形， 判定依据是对角线互相平分； 故结论Ⅰ不正确； ∵在中，， ∴, ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， 故结论Ⅱ是正确的； 故选：C． 9. 如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=66时，则n的值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】由S=n（n+1）结合S=66，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】根据题意得：S=n（n+1）． ∵S=66，∴n（n+1）=66，解得：n1=11，n2=﹣12（舍去）． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，得出即可． 【详解】解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 故选：C 11. 如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A. 作中垂线交于点D，再以D圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B. 以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C. 先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D. 以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆周角性质定理，中位线性质定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行分析，从而判断出结果． 【详解】解：A、连接， 为直径， ，可得到为切线． B、过点O作，垂足为E，为以为圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，可得到为切线． C、先用尺规过点作垂线，再以为圆心，为半径画弧交垂线于，再以为圆心，为半径画弧交圆于点，连接， ， ，可得到为切线． D、以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，连接交圆于点，连接，如果为切线，则，必须为中点， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆的切线的作法，包含了圆周角的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线性质定理，相似三角形的判定与性质，熟悉性质是本题的关键． 12. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则整式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得，利用分式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，折线AB—BC的端点，，，反比例函数的图象与该折线有两个交点，则k的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是根据反比例函数与折线的交点坐标确定的取值范围． 先分别表示出反比例函数与、的交点（用表示），根据“反比例函数的图象与该折线有两个交点”，求出的取值范围，再求出最大值． 【详解】解：∵点，，， ∴可表示为，可表示为 ∵反比例函数的图象与该折线有两个交点， ∴反比例函数图象与的交点的横坐标为，纵坐标为，且， 与的交点的纵坐标为，横坐标为，且， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个仅符号相同（同为正数或同为负数）的实数根，写出一个符合条件的m的整数值：______． 【答案】2（答案不唯一，2至4的整数均可） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，根据判别式的意义和根与系数的关系得到，解不等式组得到m的范围，然后在此范围内取一个整数解即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即有两个仅符号相同（同为正数或同为负数）的实数根，则 ∴， 解得： 又∵是整数 ∴一个符合条件的m的整数值为2（答案不唯一，2至4的整数均可） 故答案为：2（答案不唯一，2至4的整数均可）． 16. 如图，和中，，，．点，分别在，边上滑动，点在的下方，则点与点的最小距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，点与圆上一点的最值问题，勾股定理，取的中点，以为直径作圆，连接，根据题意，将固定，则点在以为直径的半圆上运动，根据题意可得在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，以为直径作圆，连接， 在中， ∴ 在中， 将固定，则点在以为直径的半圆上运动， ∴点与点的最小距离为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． （1）若被手遮挡的数是，求这个算式的值； （2）若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】（1）这个算式的值为 （2）被遮挡的数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． 【小问2详解】 解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡数的最小值为． 18. 有四张卡片，正面分别写有．四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同（如图）． （1）将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ． （2）请将卡片上写的代数式化简； （3）用（2）中化简后的代数式减去卡片上写的代数式，若差为3，请求出此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，分式的约分及解分式方程，理解概率的概念，掌握分式的基本性质是解题关键； （1）利用概率公式进行计算； （2）根据分式的基本性质进行约分化简； （3）将分式方程化为整式方程计算求解，注意结果要进行检验． 【小问1详解】 解：共4种等可能结果，其中符合题意的有2种， ∴将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：由题意可知：， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴． 19. 2025年4月20日上午保定马拉松开跑，来自国内外的25000名跑友从七一东路与锦湖大街交口出发，用脚步丈量京畿之门．本届赛事共设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后，组委会随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分测验，并将收集到的数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：， D：，）．组委会将数据整理后分别绘制了条形统计图1和扇形统计图2，但工作人员不小心把两张统计图沾上了墨汁，只记得A，B两个等级人数相等． 请你帮忙解决下列问题： （1）请直接写出此次调查共抽取了______名选手； （2）组委会规定：若选手所评分数的中位数低于80分，则需对服务质量进行整改，请判断是否需要整改？并说明理由． （3）赛后，全程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，半程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，欢乐跑没有设置冠亚军奖项．若从男、女冠军4人中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率． 【答案】（1）800 （2）不需要整改，理由：由题意可知，A等级40人，B等级40人，C等级人，所以D等级人，因为共有800人，所以中位数应是将分数从小到大排序后位于第400和第401位的分数的平均数，所以中位数应该落在D等级，必然大于80分，所以不需要整改． （3） 【解析】 【分析】（1）用A等级的人数除以占比即可此次调查总人数； （2）先算出每个等级的人数，根据中位数的位置判断即可； （3）根据列表法求概率即可求． 【小问1详解】 解：由图可知A等级的人数为40人，占抽取总人数的， 所以此次调查共抽取选手为人． 故答案为：800． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：将全程马拉松男子组冠军、全程马拉松女子组冠军、半程马拉松男子组冠军、半程马拉松女子组冠军分别简写为全男，全女，半男，半女，从男女冠军四人中随机抽取两人，列表如下： 全男 全女 半男 半女 全男 — （全男，全女） （全男，半男） （全男，半女） 全女 （全女，全男） — （全女，半男） （全女，半女） 半男 （半男，全男） （半男，全女） — （半男，半女） 半女 （半女，全男） （半女，全女） （半女，半男） — 由列表可知：共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的结果有2种． 所以，恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率为． 20. 如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）． （1）请说明：入射光线必过点； （2）求入射光线照射到镜面上时，的取值范围； （3）一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光． 【答案】（1）见解析 （2） （3）入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光，见解析，将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光 【解析】 【分析】本题主要涉及一次函数的性质、直线与线段的位置关系以及光的反射原理． （1）通过对一次函数表达式的变形可证明直线过定点； （2）求出直线经过线段两个端点时k的值，从而确定k的取值范围； （3）要根据光的反射规律，找出反射光线与感光带的关系，进而求解k的取值 范围或平移距离． 【小问1详解】 解：当时，； ∴入射光线必过点 【小问2详解】 解：将代入得：； 将代入得：； ∴的取值范围是． 【小问3详解】 解：入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光． 理由：入射光线照射到镜面上点时，根据入射角和反射角的关系可知反射后的光线与轴的交点为，即，而的坐标为，所以不能使感光带发光． 将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光． 21. 如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中______，______，小球的速度为______． （2）求图2中直线的函数解析式． （3）若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【答案】（1）24，120，10； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题的关键． （1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出m和小球的速度； （2）用待定系数法求解即可； （3）根据中点的定义列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：24，120，10； 【小问2详解】 解：直线的函数解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设挡板运动后的位置为，由题意，得 ， ∵小球恰好位于这两个挡板中点， ∴， 解得， ∴t的值为． 22. 小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形，P，Q分别为半圆O上的点，如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长与半圆O分别交于点E，将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示． （1）在图1中，求弦的长； （2）在图2中，求所对的圆心角度数；结果保留 （3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线交于点H，求的值． 【答案】（1）16 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接、，与交于点T，可得四边形为矩形，得到，，进而得，由可得，在中，利用勾股定理求出，进而求得； （2）如图2，连接，，延长交于点G，可得四边形为矩形得到，，，由可得，进而由勾股定理得，即得，得到的长为，再根据弧长公式即可求解； （3）如图3，连接，由切线长定理可得，设，则，由（2）得，则，在中由勾股定理得，解得，得到，再根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，连接、，与交于点T， ∵半圆O与水平面相切于点P，为半圆O的半径，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，连接，，延长交于点G， ∵四边形为正方形，半圆O与水平面相切于点Q，为半圆O的半径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵原来半圆与水平面切点到点的距离为， ∴的长为， ∴，解得， ∴所对的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：如图3，连接， ∵是圆O的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，由（2）得，则， ∴在中，，即，解得， ∴， ∴． 23. 问题情境：如图1，矩形中，M是边上一点，分别交于点E， （1）探究发现：若，求的值； （2）探索研究：如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点 ①求的长； ②连接，若，求的长； （3）探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）如图1：过点E作于点Q，得，由相似三角形的性质求解即可； （2）①如图2.1：过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得的值，由勾股定理求得，即可求得的值；②如图2.2：过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）如图：连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式． 【小问1详解】 解：如图1：过点E作于点Q， 则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①如图2.1：过点E作于点Q， ∵将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M处， ，即， ， 故由（1）知：，即， ∵， ； ②如图2.2：过G点作于点P，则， ， 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； 【小问3详解】 解：如图：连接，过点E作于点Q， ∵将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M处， ， 由（1）知，， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴，整理得：， ∴y关于x的函数关系式． 24. 如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． （1）求b，c的值； （2）求抛物线的解析式； （3）将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）①点P坐标为，点Q的坐标为；②16 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与面积问题． （1）将点和点代入即可求解； （2）设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为，即可得到抛物线的解析式为； （3）①通过联立方程组，求点P和Q的坐标； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点，先求出直线的解析式为，设，，则，，求出当时，有最大值4，当时，有最大值4，再根据，得到当最大时，四边形面积的最大，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入得 ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线， 设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为， ∵抛物线与关于原点O成中心对称， ∴抛物线的解析式为， 整理得； 【小问3详解】 解：①将抛物线向上平移2个单位长度得到，则抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∵抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧）， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 则，， ∴，， ∵， ∴当时，有最大值4， 当时，有最大值4， ∵， ∴当最大时，四边形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省承德市平泉市洼子店中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 某中学进行立定跳远测试，男生成绩合格标准定为1.85米，体育老师记录了甲、乙、丙、丁四位男生成绩如下表：（超出标准的部分记为“+”，不足标准的部分记为“-”），你认为立定跳远成绩最好的是（ ） 学生 甲 乙 丙 丁 成绩／米 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与关于直线l成轴对称，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线 D. 4. 一组数据，，2，3，5有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 5. 如图是由相同小正方体组成的立体图形，其俯视图为（　　） A. B. C. D. 6. 在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，且当S=0.1时，P=1000．下列说法中，错误的是(    ) A. P与S之间的函数表达式为 B. 当S=0.4时，P=250 C. 当受力面积小于时，压强大于 D. 该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大 7. 若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A. a＝7，n＝11 B. a＝5，n＝12 C. a＝7，n＝13 D. a＝2，n＝13 8. 甲、乙、丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与边交于点O；乙再折出射线，点E在延长线上；丙再折叠纸张使得落在上，点B的对应点为点D，连接． 对下列两个结论判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：由操作步骤可直接得到四边形为平行四边形，判定依据是一组对边平行且相等； 结论Ⅱ：在中，若，则四边形为矩形． A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对，Ⅱ对 D. Ⅰ对，Ⅱ不对 9. 如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=66时，则n的值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. 将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A. 作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B. 以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C. 先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D. 以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 12. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则整式______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，折线AB—BC的端点，，，反比例函数的图象与该折线有两个交点，则k的最大值是______． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个仅符号相同（同为正数或同为负数）的实数根，写出一个符合条件的m的整数值：______． 16. 如图，和中，，，．点，分别在，边上滑动，点在的下方，则点与点的最小距离为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． （1）若被手遮挡的数是，求这个算式的值； （2）若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 18. 有四张卡片，正面分别写有．四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同（如图）． （1）将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ． （2）请将卡片上写的代数式化简； （3）用（2）中化简后的代数式减去卡片上写的代数式，若差为3，请求出此时的值． 19. 2025年4月20日上午保定马拉松开跑，来自国内外的25000名跑友从七一东路与锦湖大街交口出发，用脚步丈量京畿之门．本届赛事共设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后，组委会随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分测验，并将收集到的数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：， D：，）．组委会将数据整理后分别绘制了条形统计图1和扇形统计图2，但工作人员不小心把两张统计图沾上了墨汁，只记得A，B两个等级人数相等． 请你帮忙解决下列问题： （1）请直接写出此次调查共抽取了______名选手； （2）组委会规定：若选手所评分数的中位数低于80分，则需对服务质量进行整改，请判断是否需要整改？并说明理由． （3）赛后，全程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，半程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，欢乐跑没有设置冠亚军奖项．若从男、女冠军4人中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率． 20. 如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）． （1）请说明：入射光线必过点； （2）求入射光线照射到镜面上时，的取值范围； （3）一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光． 21. 如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中______，______，小球的速度为______． （2）求图2中直线的函数解析式． （3）若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 22. 小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形，P，Q分别为半圆O上的点，如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长与半圆O分别交于点E，将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示． （1）在图1中，求弦的长； （2）在图2中，求所对的圆心角度数；结果保留 （3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线交于点H，求的值． 23. 问题情境：如图1，矩形中，M是边上一点，分别交于点E， （1）探究发现：若，求的值； （2）探索研究：如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点 ①求的长； ②连接，若，求的长； （3）探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 24. 如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． （1）求b，c的值； （2）求抛物线的解析式； （3）将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $