陕西西安市第一中学2026届高三考前测试数学试题

姓名 准考证号 座位号 绝密★本科目考试启用前 陕西省西安第一中学2026届第三次模拟测试数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标好。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。 1.已知集合A={xx2-4x+3≥0}，B=y∈Ny=4-x2},则AnB=() A.{0,1,2,3,4B.{0,1,3,4 C.1,3,4} D.{-1,0,1,2,3,4} 2.已知△ABC的外接圆半径为2，若A=,则BA·BC的最大值为() A.5+6V3 B.6+4V3 C.7+3v3 D.4+7V3 3.设单位向量e,e2的夹角为号m,a=日+2e,万=2e-2,则b在a上的投影数量为() A.月 B.9 c.- D-9 4.已知各项均为正数的等比数列a,的前n项积为A,且4，=6A1+4,45=AgA4成立，则。（) A.器 B.9 C. D.9 5.已知一圆台上底面直径为4，下底面半径为5，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为() A.61√7m B.17 8π C.√7π D.13V7π 6.已知抛物线x2=4y在x=2处的切线与圆C:(x-3)2+y2=8交于A,B两点，则∠ACB=() A.于 B. c.胃 D.4 7.已知X~B(20,0.5),则E(X3)=() A.1000 B.1150 C.1300 D.1350 8.已知函数f(x)的导函数为f'(x),f(x)和f(x)的定义域均为R,若f(x)-f(-x)=2x,f(x)+f(2-x)=0, fo=0.f四=克则2f0-∑f@=() A.-66 B.-56 C.-38 D.2 试卷第1页共3页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.己知函数f()=cosx-sin4x-V3 sinxcosx,则下列结论正确的是（) A.直线x=是函数f()的图象的一条对称轴 B.将函数f()的图象向左平移(p>0)个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则p的最小值为号 C.函数f(x)在区间[0，m上有3个零点 D.函数fx)在区间，上单调递增 10.空间中，平面上的动点P(x,y,z)满足方程T:Ax+By+Cz=D,（A2+B2+C2>0),则称T为平面2 的方程.同时也称平面2的方程为Γ，并称元=(A,B,C)为平面2的一个法向量.己知方程分别为T1:2x-y- z=0,T2:3x-2y-z=0的平面21,22的交线为l,则下列结论正确的是（) A.经过点M1(1,0,0),M2(0,1,0),M3(0,0,1)的平面2的方程为x+y+z=1 B.若平面2的方程为：：Ax+By+Cz=1,则坐标原点O到平面2的距离为 A2+B2+C2 C.交线为的一个方向向量为7=(1,1，-1) D.与方程为却3：x+2y-2z=1的平面0，所成角的正弦值为号 11.甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等每次点球若射中， 则继续；若未射中，则换对方点球.已知甲、乙每次点球射中的概率分别为号，号且每次点球是否射中相互独 立，则() A.第2个球是甲射门的概率为 B.在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门的概率为 C.前4个球中甲、乙各射2个的概率为铝 D。在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为碧 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若斜率为1的直线l与曲线y=n(x+a)和圆x2+y2=2都相切，则实数a的值为 13.(1+x)(1-2x)3的展开式中，x2的系数为. 14.己知正项数列{an}满足：a+1=an+2,n∈N*,数列{an}的前n项和Sn=a1+…+a给出下列四个结 论：①当a1=1时，S3<3a2:②当a1∈(2，+∞)时，数列{a}单调递增：③当a1=1时，Sm≤2m-1(n≥2，n∈ N):④当a1∈(0,2)时，neN，都有an-2引≤3一成立.其中正确结论的序号是 试卷第2页共3页 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.在△ABC中，A=于AB=2,AC=4,D为AC的中点，E,F分别在边AB,BC上，∠EDF=(13分) (1)若DE=V3,CF=FB,求的值： (2)求△DEF面积的最小值， 16.已知椭圆C:+y2=1,点P(化，0)，其中t>2过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A,B.(15分) (I)求直线AB的方程，并用t表示AB: (2)若SAPAR=,求点P的坐标及两条切线的方程 17.某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的50%，乙 占30%，丙占20%：三条生产线的次品率分别为2%、3%、5%，所有零件外观无差异，随机混装入库.（15 分) (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取n(n∈N*,n≥3)件产品，记次品数量为X,若P(X=k)≤P(X=2),k= 0,1,,n,求正整数n的最大值与最小值 18.如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD⊥平面ABE,AB/DC,AB1BC,AB=2BC=2CD=2,AE= BE=V5,点M为BE的中点，(17分) D B M (I)求证：CM/平面ADE; (2)求直线AD与直线CM所成角的余弦值： (3)若线段AD上存在一点N,使直线EN与平面MCD所成角的正弦值为酒求三棱锥N一CDE的体积。 19.己知函数f(x)=ax-axm(a>0且a≠1，x>0,n∈N*).(17分) (1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围： (2)讨论f(x)零点的个数. 试卷第3页共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 9 10 答案 B 0 B 0 A B ABD ABD 题号 11 答案 AC 12.-1或3 13.-9 14.①③ 15.(1)2 (2)6-3V3 【分析】(I)利用余弦定理求出BC,由勾股定理可得△ABC是直角三角形，从而求出B,C,在△ADE中利用正弦 定理求出sin/AED=1,所以LAED=,从而得出∠CDF=,则在Rt△CDF中可计算得出： (2)设LADE=0,6∈[0，引 在△ADE,△CDF中分别利用正弦定理得出DE,DF,然后利用面积公式即可求解 【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·c0sA=22+4-2×2×4×=12, 解得BC=2N3,所以AB2+BC2=AC2,则B=费C= 在△ADE中，由正弦定理得AD S0=DE,所以sin∠AED=AD.sinA=2x芝=1， DE 即∠AED=,则LADE= 因为LADP=LADE+∠BDF=若+背=所以LCDF= 在REACDE中，CF-品-则BF=BC-CF- 又CF=FB,所以1=2. (2)设LADE=0,日∈[0，引 则LAED=号-0，∠CDF=号-0，DFC=8+0, 在△ADE中，由正弦定理得二-n”D AD 整理得DE= 3 sin(日 在△CDF中，由正弦定理得DE ,整理得DF=GO 1 sinc sinLCFD' 则5aDs=D5~DF,sin∠sDP=Xn官可X原可 又sm(停-）sin(后+0)-（停cos6+m0)cos9+9sm)-9+sm28,g∈b,引 所以snm(凭-)sim(后+o刃x=9+sim(2x-25 答案第1页共6页 所以(6aDr)m=×=2=6-3V3. 。1 B 16.()x=手14B=2y2 (2)P(4,0):x+2V3y=4和x-23y=4 【分析】(1)首先利用直线与椭圆相切，联立方程，根据△=0求出切点坐标，即可求解|AB引： (2)根据(1)的结果，将△PAB的面积表示为关于t的方程，即可求解 【详解】(1)设过点P(t,0)的切线方程为x=my+t,与椭圆方程+y2=1联立， 得(my+t)2+4y2=4①，整理为(m2+4)y2+2mty+t2-4=0, 其中△=4m2t2-4(m2+4)(t2-4=0,得m2=t2-4, 代回①得ty2+2mty+m2=0,即(y+m)2=0,得y=-婴 x=my+t= 2-m24 t "T 因此两个切点A,B的横华标均为号故切点弦AB的方程为x一专又切点在糖圆上，所以但十y=1 即吃+y2=1.故=±1-吉=土因为t>2,所以1A81=2.62三-22 (2)点P化0)到直线AB:x-的距窝为--兰所以5aa-号AB:(-) 即5aa8=24.-- t2 由题意22=3V5 t2 2 当t=4时，46=92=12=24w5=35 16 16 16 2 又函数②-(1)4：>2上1为正数，且是增函数，4为正数，且是增西数，所以-(1- t2 t2 )V?-4单调递增，所以解唯一. 故P(4,0).当t=4时，切点横坐标为x0=1.代入椭圆方程得+y6=1, 所以y,=土复当切点为(1，)时，切线方程对+9y=1,即x+23y=4. 当切点为(1，-)时，切线方程为气y=1, 即x-2W3y=4. 答案第2页共6页 B 17.(1)0.029: (2g号 (3)最小值为68，最大值为102. 【分析】(1)利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； (2)利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； (3)通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使P(X=2)最大的的取值范围，进而得到最值。 【详解】(1)设A,表示“零件来自第i条生产线”(i=1,2,3,对应甲、乙、丙)，B表示“零件为次品” 由题意，P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2,P(BA1)=0.02,P(BA2)=0.03,P(BlA3)=0.05. 由全概率公式，P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)+P(A3)P(B|A3)=0.5×0.02+0.3×0.03+0.2×0.05= 0.029. （(2)由贝叶斯公式，P(A1lB)=P4)aa2=05x002=10 P(B) 0.029 -29 （3)由题意，X~B(m,0.029),故P(X=k)=Ck(0.029)*(0.971)n-k(k=0,1,2,,n). 要使P(X=2)最大，需满足P(X=2)≥P(X=1)且P(X=2)≥P(X=3). 由P(X=2)≥P(X=1),得C2(0.029)2(0.971)-2≥Ch(0.029)(0.971)m-1, 化简得"2×0029≥0.971，解得m≥20g+1≈67.97，故n≥68， 0.029 由P(X=2)≥P(X=3),得C(0.029)2(0.971)"-2≥C(0.029)3(0.971)n-3, 化简得0971≥号×0029，解得n≤0g+2≈10245，故n≤102 综上，正整数n的最小值为68，最大值为102. 18.(1)取AB的中点F,连接CF,MF, 刀 由条件可得MF为△ABE的中位线，即MF/AE, 又MFt平面ADE,AEC平面ADE,故MF/平面ADE, 由题意可知四边形ABCD是直角梯形，且AB=2AF=2DC, 答案第3页共6页 则AF/IDC,AF=DC,即四边形AFCD是平行四边形，所以CF/IAD, 又CF平面ADE,ADC平面ADE,故CF/平面ADE, 而CF nMF=F,CF,MFc平面CMF,所以平面CMF/平面ADE, 由CMC平面CMF,显然CM/平面ADE. a a唱 【分析】(1)构造面面平行即可证线面平行： (2)结合(1)找出直线AD与直线CM所成的角，再根据勾股定理，及余弦定理即可求解： (3)建立空间直角坐标系，求出平面MCD的法向量，再利用线面角的向量法即可确定N的位置，进而根据等积法 Vw-cDE=VB-cDw即可求出三棱锥W-CDE的体积. 【详解】(1)略 (2)由(1)可知，直线AD与直线CM所成角为∠MCF, 又平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,且AB⊥BC,则BC⊥平面ABE, 又BMC平面ABE,则BC⊥BM, AB 2BC=2CD=2,AE=BE=3, 所以cr-AD-aB-CD2+Bc2-.Mr-AE-9CM-Bc2+GBE-号 则在△CMF中，由余弦定理有cos∠MCF=CP2+MC2-MP_3N年 2CF-MC 14 所以直线AD与直线CM所成角的余弦值为34 14 (3)连接DF,EF, 结合(1)，(2)有BCDF是正方形，则DF/CB,且DF=CB=1, 又BC⊥底面ABE,则DF⊥底面ABE, 又AE=BE,则EF1AB,所以EF=VAE2-AFZ=√2， 所以以F为原点，分别以FE,FB,FD所在直线为x,y,z轴，建立如下图空间直角坐标系， D B 则Fo.0o),(V2.0,0),A0,-10).c011),D00,1),M(9号0） 答案第4页共6页 则Dc=0,10),DM=(停-1，Ad=0,11 又线段AD上存在一点N,则设AN=AD=(O,入，)(0≤1≤1)， 则N=(0,1-1,),所以EN=(-V2,1-1,2): i.D元=y=0 设平面MCD的一个法向量为元=(x,y,z),则有} 0丽-号x+-2=0' 令x=√2，则y=0,z=1,即元=（V2,0,1), 设直线Ew与平面MCD所成的角为a,则sinm=庄可 1-2+ V30 EN √2+(0-1)2+22×V5 10 整理得82+21-13=(2入-1)(4+13)=0，解得1=或1=-号（舍去）， 所以N是线段AD的中点， 所以VM-cD8=Vg-pw=Sac0N×EF=×CD××EF=×x1x×V巨=号 19.(1)a=en (2)若0<a<1或a=e”,f(x)零点的个数为1；若a>1且a≠e”,f(x)零点的个数为2 【分析】(1)f(x)≥0恒成立等价于g(x)=xna-lnx-na≥0恒成立，求导后，分0<a<1及a>1讨论函 数单调性，结合g(1)=0计算即可得解： (2)结合(1)中所得，分0<a<1、a=en与a>1且a≠e"讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断g(x) 零点的个数，即可得f(x)零点的个数. 【详解】(1)由f(x)≥0恒成立，即ax≥ax"恒成立， 即xna≥lna+lnx恒成立，即xlna-nlnx-lna≥0恒成立， 令g()=xlna-nlnx-na,则g()=lna-是 当0<a<1时，1na-<0恒成立，则g)<0恒成立， 故g(x)在(0，+∞)上单调递减，又g(1)=na-ln1-lna=0, 故当x∈(1，+o)时，g(x)<0,不符合题意，故舍去： 当a>1时，令g()=0,解得x=品 则当xe(0,)时，g(<0,当xe(a,+)时，g()>0, 故g)在(0，)上单调递减，在(，+∞）上单调递增。 则gx)≥9(a)≥0，又g(1)=0, 故要使得g()≥0恒成立，则有品=1，即a=e; (2)函数f(x)零点的个数等价于函数g(x)=xlna-nlnx-lna零点的个数， 答案第5页共6页 由(1)知，当0<a<1时，g(x)在(0，+∞)上单调递减， 且g(1)=0,故f(x)零点的个数为1： 当a>1时，9)在(0，a)上单调递减，在（品a+∞）上单调递增， 若a=e”,有且仅有g(1)=0,故f(x)零点的个数为1： 若1<a<e",则品>1，由g(1)=0,则g(a)<0, 又x+o时，9)→计0，故存在x1(侣+0）使得g(c)=0, 此时g(x)有两个零点1、x1,故f(x)零点的个数为2： 若a>e™，则0<品<1，由g(1)=0,则g(a)<0, 又x→0时，9()→+m,故存在x2∈(0，a),使得gx2)=0, 此时g(x)有两个零点x2、1,故f(x)零点的个数为2： 综上所述：若0<a<1或a=e”,f(x)零点的个数为1： 若a>1且a≠e",f(x)零点的个数为2. 答案第6页共6页