21.2 第4课时 一元二次方程根的判别式（课件）2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过复习公式法解方程步骤及求根公式推导中b²-4ac的作用，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是结合典例精析与分层练习，培养学生数学思维中的推理能力（如不解方程判断根的情况）和应用意识（含参数问题求解），小结清晰，学生能提升逻辑推理，教师可高效教学。

第 4 课时 一元二次方程根的判别式 21.2 一元二次方程的解法 第21章 一元二次方程 九年级上册数学（华师版） 1. 了解一元二次方程根的判别式；（重点） 2. 会判断一元二次方程根的情况； (难点) 3. 掌握一元二次方程根的判别式的应用.（难点） 学习目标 (1) 把方程化为一般形式确定 a，b，c 的值； 用公式法求下列方程的根： (2) 计算 b² - 4ac 的值； 用公式法解一元二次方程的一般步骤: (3) 代入求根公式 计算方程的根 (1) 2x² - x - 2 = 0； 复习回顾 只有当 b2 – 4ac≥0 时，才能直接开平方，得 用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 ( * ) ax2 + bx + c = 0 (a≠0). 一般地，对于一元二次方程 复习回顾 也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac≥0 时才有实数根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. 如果 b2 – 4ac < 0会怎样？ 观察方程 ， 我们发现有如下三种情况： （✻） 一元二次方程根的判别式 1 (1) 当 b2 – 4ac > 0 时，方程 （✻）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： 探究新知 (2) 当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根： (3) 当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （✻）的右边是一个负数，而对于任何实数 x，方程左边 ，因此方程没有实数根. 思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况? b2 – 4ac 3.当方程没有实数根时，有 b2 – 4ac < 0 . 1.当方程有两个不相等的实数根时，有 b2 – 4ac > 0 ； 2.当方程有两个相等的实数根时，有 b2 – 4ac = 0 ； 反过来，对于一元二次程： ax2 + bx + c = 0 (a≠0). 这里的 b2 – 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“Δ”*来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根的情况： 反之，同样成立！ 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 时，方程没有实数根. 归纳总结 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 3x2 = 5x – 2； (3) 4(y2 + 1) – y = 0. 解：(1) 原方程可变形为 3x2 – 5x + 2 = 0. 因为 Δ = (– 5)2 – 4×3×2 = 25 – 24 = 1 > 0，所以方程有两个不相等的实数根. 典例精析 (2) 因为 Δ = _________________________，所以方程________________________. 有两个相等的实数根 (3) 原方程可变形为___________________. 因为 Δ =_______________________________，所以方程______________. 4y2 – y + 4 = 0 (– 1)2 – 4×4×4 = 1 – 64 = – 63 没有实数根 (3) 4(y2 + 1) – y = 0. 按要求完成下列表格： Δ 的值 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 方程 判别式 与根 0 = 0 -15 < 0 17 > 0 填一填 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 3x2 + 4x − 3 = 0； (2) 4x2 = 12x − 9； 解：(1) a = 3，b = 4，c = −3， ∴ Δ = b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． (2) 方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 练一练 (3) 7y = 5( y2 + 1 ). 解：方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5， ∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0. ∴ 方程没有实数根． 已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. 当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程没有实数根？ 解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9. 试一试 方程有两个相等的实数根. 方程没有实数根. 当 16k + 9 < 0，即 时， 方程有两个不相等的实数根. 当 16k + 9 > 0，即 时， 当 16k + 9 = 0，即 时， 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2 + 3x − 4 = 0； （2）x2 − x + = 0； 解：（1）a = 2，b = 3，c = −4， ∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41＞0. ∴ 方程有两个不等的实数根． （2）a = 1，b = −1，c = ， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1× = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 当堂练习 17 解：x2 − x + 1 = 0，a = 1，b = −1，c = 1， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1×1 = −3 < 0. ∴ 方程无实数根． (3) x2 − x + 1 = 0. 2. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0． Δ = 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0. 解得 且 m≠1. 19 3. 不解方程，判断关于 x 的方程 的根的情况. 解： ∴ 原方程有两个实数根． Δ ＝( k )2 − 4×1×k2 = 4k2. ∵ k2≥0， ∴ 4k2≥0， 即 Δ≥0. 反之，同样成立！ 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 时，方程没有实数根. 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 当堂小结 $