精品解析：2026年河北沧州市青县初中学业水平模拟考试数学试卷（二模）

2026年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早使用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正负数可表示一对相反意义的量，题目中零上记为正，则零下记为负，据此即可作答． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作． 2. 如图，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】， ， ， ， ， 3. 已知实数、满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）求出a的值，再代入计算得到b的值，最后求出即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数， ∴不等式组， 解得且， ∴， 将代入得， ∴． 4. 如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】首先由得到，得到，然后结合得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴． 5. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下： 有（个）， 故选：B． 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a、b的值，再根据a、b的符号可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b， ∴， ∴点，即点在平面直角坐标系中位于第一象限． 7. 如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理可求得的长，根据切线的性质可得，利用等腰三角形三线合一结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长，从而可求得，，最后根据求解即可． 【详解】解：在等腰中，，， ， 如图，连接， 以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点， ， 是等腰直角三角形， 点是的中点， ， ，， 小球停在图中阴影部分的概率是． 8. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解是非负数，且分母不为零，列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：原方程为 ， ∵ ， ∴ 原方程可化为 ， 方程两边同乘 ，得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵ 方程的解是非负数，且分母不能为零， ∴ ， 解得 且 ． 9. 如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、但没有夹角相等，不能判定，故该选项符合题意； B、由可判定，故该选项不符合题意； C、由，可判定，故该选项不符合题意； D、由且，可判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 10. 已知溶液中溶质质量溶液质量浓度．小明用如图所示坐标系中的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶液的溶质质量最大的是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵溶质的质量溶液质量浓度，甲、丙在反比例函数图象上， ∴甲、丙两种溶液的溶质的质量相等， ∵乙在函数图象上方，丁在函数图象下方， ∴乙种溶液的溶质的质量>甲、丙两种溶液的溶质的质量，丁种溶液的溶质的质量<甲、丙两种溶液的溶质的质量， ∴四种溶液的溶质质量最大的是乙． 11. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】点Q运动到点B处时，为4，即为4，当点P运动到点D处时，路程为8，即为8，证明，求出、，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，为4，即为4， 如图，当点P运动到点D处时，路程为8，即为8， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：D． 12. 如图，点O为矩形对角线的交点，，，点E是边上一点（不含端点及中点），连接并延长，交边于点F．将矩形沿折叠，点A，D的对应点分别是点，，直线和直线相交于点H，连接，，，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 当点和点C不重合时， C. D. 当在直线上方时，点到直线距离的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，即可判断A；连接，先证明，得出，由折叠的性质可得，，从而可得，，即可判断B；连接，证明点、、、四点共圆，得出，从而可得，最后由正切的定义计算即可判断C；连接，则点在以点为圆心，为半径的圆弧上，求出，由图形并结合垂径定理可得，当时，此时点距离最远，即可判断D． 【详解】解：∵点O为矩形对角线的交点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如图：连接， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图，连接， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 如图，连接， 由折叠的性质可得：， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上， ∵， ∴， 由图形并结合垂径定理可得，当时，此时点距离最远，此时最大距离为，故D选项错误，符合题意． 【点睛】矩形的对角线相等；同弧所对的圆周角相等；折叠的性质：对应边相等，对应角相等． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴， ∴. 14. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则________°． 【答案】111 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 由折叠的性质得： ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，点在线段上，图中共有3条线段：、、，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．若时，点是线段的“二倍点”，则_____． 【答案】20或或 【解析】 【分析】本题考查线段的和差计算以及分类讨论思想知识点，解题的关键是根据“二倍点” 的定义分情况讨论线段之间的数量关系． 分三种情况讨论：当时；当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】∵点是线段的“二倍点”， ∴分三种情况讨论： 当时， ， ； 当时， ； 当时， ； 综上所述：或或， 故答案为：或或． 16. 如图，一个秋千的摆长为3m，当点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，，则的长度为________m．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】1.4 【解析】 【分析】过点O作于点T，结合等腰三角形“三线合一”，在中运用角的正弦解答即可． 【详解】解：过点O作于点T，如图， 根据旋转的性质有：， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式：； （3）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1） （2） （3），它的所有整数解为，，0，1 【解析】 【小问1详解】 解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 【小问2详解】 解：整理得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 【小问3详解】 解：解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴它的所有整数解为，，0，1． 18. 先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）任务一：第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； （2）任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】（1）一；添括号时，括号里面的第二项没有变号 （2），2 【解析】 【分析】（1）根据添括号法则判断即可； （2）根据分式混合运算法则计算，最后将代入计算即可． 【小问1详解】 解：第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； 【小问2详解】 解： 当时，原式． 19. 如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，结合证明即可； （2）先证明，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 20. 某小区物业为了解小区四月份家庭用水情况，随机调查了40户家庭，并对每户的用水量(单位：)进行收集、整理、描述和分析，过程如下： 【收集数据】随机调查的40户家庭的用水量(单位：m3)如下： 【整理并描述数据】列出用水量频数分布表，并绘制用水量频数分布直方图： 用水量频数分布表 用水量/ 频数 【分析数据】 40户家庭用水量的平均数、中位数及众数(单位：)如下表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： （1）上表中a的值为 ． （2）为了鼓励节约用水，小区物业计划确定一个用水量的标准，对四月份用水量不超过这个标准的家庭给予奖励． ①如果家庭用水量的标准定为 ，已知该小区共户家庭，请估计获奖家庭有多少户； ②要使小区一半左右的家庭获奖，你认为用四月份用水量的平均数、中位数和众数中的哪个量作为标准合适？请说明理由． 【答案】（1） （2）①户， ②中位数，理由如下： 因为从样本情况看，四月份用水量不超过 (中位数)的有户，占被调查家庭数量的一半，可以估计，如果用四月份用水量的中位数作为标准，将有一半左右的家庭获奖． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，即可求解； （2）①用四月份用水量不超过的家庭户数的占比乘以即可求解； ②根据中位数的意义分析，即可求解． 【小问1详解】 解：根据用水量频数分布表可知，中位数为这组数据的第和第个数据的平均数， 将的数据从小到大重新排列为： ，，，，，，，，，， 所以40户家庭用水量的中位数． 【小问2详解】 解：①户． 答：估计获奖家庭有户． ②略 21. 如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表： 裁剪方法 纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 y （1）①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y； ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题； （2）当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】（1）①②6 （2）13 【解析】 【分析】（1）①根据长方形和正方形的纸板比为，即可列式求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）设能做个无盖长方体纸盒，根据题意列一元一次不等式，再验证是否满足要求即可． 【小问1详解】 解：①∵由题意可知，小长方形纸板有块，正方形纸板有块， ∴， ∴； ②当时， 依题意得：， 解得：， ∴图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． ∴（个）， 答：最多能做6个无盖长方体纸盒； 【小问2详解】 解：设能做个无盖长方体纸盒，则需要小长方形纸板块，正方形纸板块， ∴按图1方法裁剪张，按图2方法裁剪张， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为13， 检验，当时，需要小长方形纸板块，正方形纸板块， 取20张纸板按图1方法裁剪，得到小长方形纸板40块；取9张纸板按图2方法裁剪，得到小长方形纸板27块，满足条件， 答：最多能做13个无盖长方体纸盒． 22. 如图，在中，，是的外接圆．过点A作，交的平分线于点D，交于点E，连接并延长，交的延长线于点F． （1）若，求线段的长； （2）求证：是的切线； （3）若，，，用含a的代数式表示线段的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线及角平分线证得，即可得到． （2）过点A作于点G，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得证； （3）过点E作于H，得．由，求出，证明，得，求出．再证得，得，求得，． 小问1详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴，则． 【小问2详解】 证明：如图1，过点A作于点G，则． ∵在中，， ∴． 由垂径定理知，经过的圆心O． ∴是的半径． ∵， ∴，则， ∴，垂足为A， ∴是的切线． 【小问3详解】 如图2，过点E作于H， 由（1）知，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 由题及（1）知，， ∴，， 则， ∴， 即，解得，． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，则． ∵， ∴， ∴， 即，解得，． 23. 已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； （3）如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【小问1详解】 解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 【小问2详解】 解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ 【小问3详解】 解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 24. 我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 （1）如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 （2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 （4）如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；由矩形的性质得到，，，，，则四边形、均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据直角三角形的性质可得，则，根据相似三角形的性质求解即可； 乙方案：过点作交于点，过点作交于点；根据矩形的判定与性质得出，，结合直角三角形的性质推出，结合，即可判定，根据相似三角形的性质即可得解： （3）由矩形的性质可得，由勾股定理求得，由（2）可知，，据此计算求解即可； （4）过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，连接，由“”可证，可得，通过证明，可得，，由勾股定理可求、、的长，结合（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点； 四边形是矩形， ，，，， 四边形、均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ，，， 四边形、均为矩形， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， 即， 解得， 的长为； 【小问4详解】 解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点，    ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， （不合题意舍去），， ， 由（2）知，， 又， ， ， ，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早使用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数、满足 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 9. 如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知溶液中溶质的质量溶液质量浓度．小明用如图所示坐标系中的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶液的溶质质量最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 12. 如图，点O为矩形对角线的交点，，，点E是边上一点（不含端点及中点），连接并延长，交边于点F．将矩形沿折叠，点A，D的对应点分别是点，，直线和直线相交于点H，连接，，，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 当点和点C不重合时， C. D. 当在直线上方时，点到直线距离的最大值为 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 14. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则________°． 15. 如图，点在线段上，图中共有3条线段：、、，若其中有一条线段长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．若时，点是线段的“二倍点”，则_____． 16. 如图，一个秋千的摆长为3m，当点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，，则的长度为________m．（结果精确到，参考数据：，，，） 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式：； （3）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）任务一：第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； （2）任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 19. 如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求长． 20. 某小区物业为了解小区四月份家庭用水情况，随机调查了40户家庭，并对每户的用水量(单位：)进行收集、整理、描述和分析，过程如下： 【收集数据】随机调查的40户家庭的用水量(单位：m3)如下： 【整理并描述数据】列出用水量频数分布表，并绘制用水量频数分布直方图： 用水量频数分布表 用水量/ 频数 【分析数据】 40户家庭用水量的平均数、中位数及众数(单位：)如下表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： （1）上表中a的值为 ． （2）为了鼓励节约用水，小区物业计划确定一个用水量的标准，对四月份用水量不超过这个标准的家庭给予奖励． ①如果家庭用水量的标准定为 ，已知该小区共户家庭，请估计获奖家庭有多少户； ②要使小区一半左右的家庭获奖，你认为用四月份用水量的平均数、中位数和众数中的哪个量作为标准合适？请说明理由． 21. 如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表： 裁剪方法 纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 y （1）①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y； ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题； （2）当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 22. 如图，在中，，是的外接圆．过点A作，交的平分线于点D，交于点E，连接并延长，交的延长线于点F． （1）若，求线段的长； （2）求证：是的切线； （3）若，，，用含a的代数式表示线段的长． 23. 已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； （3）如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 24. 我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 （1）如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 （2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 （4）如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $