精品解析：河北省邢台市信都区2026年九年级中考二模数学试题

2026年河北省初中学业水平考试 数学模拟试卷（二） 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图中一定比的度数大的一个角是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，使两个三角尺的斜边平行，则（ ） A. B. C. D. 4. 设（其中为正整数），当增加1时，所得到的数可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（ ） 小明的作法 小亮的作法 A. 只有小明正确 B. 只有小亮正确 C. 小明和小亮合到一起才正确 D. 小明和小亮都不正确 8. 在某校组织的国学知识竞赛中，随机抽取了部分学生的成绩（每名学生的成绩都为整数，满分为分），将收集到的成绩分为四组，甲组：，乙组：，丙组：，丁组：，并绘制了如图所示的不完整的扇形统计图和统计表．在绘制结束后，学校又追加了名学生的成绩，其中在丙组名，在丁组名，增加数据后要进行统计图的修改，下列关于扇形统计图的修改，说法不正确的是（ ） 组别 甲 乙 丙 丁 人数/人 A. 丁组的圆心角的度数增加 B. 丙组的圆心角的度数增加 C. 甲组的圆心角的度数减小 D. 乙组的圆心角的度数减小 9. 学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（ ） A. 该圆的半径是1 B. 弦的长是 C. 的长为 D. 是的2倍 11. 学校田径队教练把运动员小强某次百米跑训练的速度与路程之间的观测数据绘制成如图所示的图象．则下列结论正确的是（ ） A. 因为根据图象无法列出关于的解析式，所以不是的函数 B. 因为小强百米跑的速度是，所以他百米跑的时间是 C. 在小强从跑到的过程中，他的速度最高达到 D. 在小强从跑到的过程中，他的速度有一个下降的阶段 12. 如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，点为直线上一个动点，作射线，过点作，垂足为，连接，则的周长可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 14. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 15. 如图，在菱形中，，，点，分别在，边上运动，连接，，点，分别为，的中点，则的最小值是________． 16. 如图，已知点，均为反比例函数图象上的点，若点关于直线对称的点在坐标轴上，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： （1）同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； （2）计算：． 18. 设，其中“”遮盖了一个关于的最简分式． （1）若“”部分是，请化简，并求当时的值； （2）若化简后，求被“”遮盖的分式． 19. 晓红同学计划假期去剧场观看经典话剧《茶馆》，她用某购票软件在网上购买门票时，显示只可以购买剧场某区域某排中的席位，如图，网上显示阴影部分的座席已经售出，其余A，B，C，D，E五个席位由系统随机分配． （1）求晓红购买到与过道相邻席位的概率； （2）若晓红的妈妈也一同购票，用画树状图或列表法求晓红和妈妈相邻而坐的概率．（说明：在座位之间有过道不算相邻而坐） 20. 嘉琪通过自学和查阅有关资料，发现可以用尺规作图的方法，对任意给定的一个矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．嘉琪运用这种方法，对图1中的矩形，在图2中进行了下面的尺规作图： 第一步：在的延长线上，截取线段； 第二步：作线段的垂直平分线，交于点； 第三步：以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点； 第四步：以为边，在边右侧作正方形． 根据以上过程，解答下列问题： （1）请按照作图过程中的“第四步”，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出正方形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若的长为，的长为（），则 ①如图2，的长是________，的长是________；（用含，的式子表示） ②求证：正方形的面积等于矩形的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为． （1）求直线的函数表达式； （2）嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标； （3）若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 22. 如图1和图2，与直线相切于点，在中裁掉一个圆心角为的扇形，且．点是上一点，连接，从出发以每秒的速度按顺时针方向转动，当与重合时停止转动，设转动时间为秒． （1）如图1，过点且始终与平行的直线也随运动，设直线与的另一个交点为． ①求点到直线的距离； ②当直线与相切时，求的值． （2）如图2，过点且始终与垂直的直线也随运动，直线交直线于点，与的另一个交点为． ①当时，求的值； ②直接写出的最大值． 23. 如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴，顶点的坐标为．抛物线：（为常数）与轴交于点，其顶点为． （1）当时，求的顶点及点的坐标； （2）当经过原点时，求的值； （3）下面是两位同学分别提出的问题，请选择其中一人的问题先判断，再说明理由． 嘉嘉提出的问题：是否经过点？ 淇淇提出的问题：是否经过点？ （4）若与正方形的边恰有三个交点，直接写出的值． 24. 如图，在矩形中，，，一动点从点出发沿边运动到点停止，连接，过点作交边于点，以线段为斜边，在的上方作等腰直角，设的长为． （1）当四边形为正方形时，直接写出的值及正方形的边长； （2）嘉嘉通过探究发现：点在的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； （3）求的外心到边的最大距离． （4）在点运动过程中， ①点能否落在边上，若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由； ②直接写出点运动的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平考试 数学模拟试卷（二） 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图中一定比的度数大的一个角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质进行判断即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴． 2. 下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个点分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等，观察可知，只有选项C符合题意． 3. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，使两个三角尺的斜边平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在图中取点、、、、、，由三角尺可知，，，由平行线的性质可得，结合三角形外角的性质可得，最后计算出即可． 【详解】解：如图， 由三角尺可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 设（其中为正整数），当增加1时，所得到的数可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据题意写出n增加1后的新数，结合原M的表达式变形即可得到结果． 【详解】解：∵原数， ∴n增加1后，新数为 ， 又∵ ∴． 5. 从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从上向下观察几何体，确定其投影形状及内部可见棱的位置即可． 【详解】解： 该几何体是由正方体截去右前上方的一个三棱锥得到的，   从上面看，其外轮廓依然是正方体的底面，即一个正方形，   截去部分后，顶面留下了一条连接左前上顶点和右后上顶点的棱，   在俯视图中，这条棱表现为连接正方形左下角和右上角的对角线，   该几何体的俯视图是 ． 6. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘运算法则和算术平方根的非负性，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 7. 作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（ ） 小明的作法 小亮的作法 A. 只有小明正确 B. 只有小亮正确 C. 小明和小亮合到一起才正确 D. 小明和小亮都不正确 【答案】C 【解析】 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 8. 在某校组织的国学知识竞赛中，随机抽取了部分学生的成绩（每名学生的成绩都为整数，满分为分），将收集到的成绩分为四组，甲组：，乙组：，丙组：，丁组：，并绘制了如图所示的不完整的扇形统计图和统计表．在绘制结束后，学校又追加了名学生的成绩，其中在丙组名，在丁组名，增加数据后要进行统计图的修改，下列关于扇形统计图的修改，说法不正确的是（ ） 组别 甲 乙 丙 丁 人数/人 A. 丁组的圆心角的度数增加 B. 丙组的圆心角的度数增加 C. 甲组的圆心角的度数减小 D. 乙组的圆心角的度数减小 【答案】B 【解析】 【分析】先求出来抽取的总人数，再求出原来丙组的人数，然后求出各组原来所占的圆心角，再求出增加数据后各组的圆心角，即可判断． 【详解】解：原来抽取的总人数为（人）， 原来丙组的人数为（人）， 原来甲组、乙组、丁组所占百分比均为，所占圆心角均为 原来丙组的百分比为，其所占圆心角为， 增加数据后，丙组的圆心角为，与原来相同， 丁组的圆心角为，比原来增加了， 甲组、乙组的圆心角为，比原来减少了， 故B是不正确的． 9. 学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为一元一次方程的配套问题，先根据表示出检修课桌和座椅的总数量，再结合配套关系列方程即可． 【详解】∵安排名校工检修智能课桌，总共有12名校工， ∴检修座椅的校工人数为， ∵每人每小时平均检修3张智能课桌， ∴每小时检修的智能课桌总数为张， ∵每人每小时平均检修6把座椅， ∴每小时检修的座椅总数为把， ∵1张智能课桌配套4把座椅，刚好配套时满足座椅总数课桌总数， ∴列方程得． 10. 如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（ ） A. 该圆的半径是1 B. 弦的长是 C. 的长为 D. 是的2倍 【答案】C 【解析】 【分析】先将图形补充完整，再根据圆的内接正六边形和内接正方形性质，求出半径，利用勾股定理，弧长公式逐项分析即可． 【详解】解：如图，将圆、正方形，正六边形补充完整， 设正方形对角线交点为，连接， 对于A，由图形，正方形四个角都为，圆内接正方形的对角线为圆的直径， 点为圆的圆心，也为圆内接正六边形的中心， ，且，为等边三角形， 该圆的半径，故A选项正确，不符合题意； 对于B，，弦的长是，故B选项正确，不符合题意； 对于C，，的长为，故C选项错误，符合题意； 对于D，，是的2倍，故D选项正确，不符合题意． 11. 学校田径队教练把运动员小强某次百米跑训练的速度与路程之间的观测数据绘制成如图所示的图象．则下列结论正确的是（ ） A. 因为根据图象无法列出关于的解析式，所以不是的函数 B. 因为小强百米跑的速度是，所以他百米跑的时间是 C. 在小强从跑到的过程中，他的速度最高达到 D. 在小强从跑到的过程中，他的速度有一个下降的阶段 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义、平均速度的概念以及函数图象的增减性进行逐一判断即可． 【详解】解：A．对于每一个路程，都有唯一的速度与之对应，符合函数的定义， 故是的函数，此选项错误； B．小强百米跑的速度是变化的，不是匀速运动，不能用总路程除以某一时刻的速度来计算时间，此选项错误； C．观察图象可知，在左侧图象存在高于的部分， ∴在到的过程中，最高速度超过，此选项错误； D．在从80到100的过程中，图象先下降后上升，说明速度先减小后增大，即有一个下降的阶段，此选项正确． 12. 如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，点为直线上一个动点，作射线，过点作，垂足为，连接，则的周长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到周长范围． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∵点为的中点， ， ， ， ， ， ， 由三角形三边关系定理得到：， ， ∴的周长， ∴C符合题意． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 【答案】7 【解析】 【详解】解：由特殊锐角的三角函数值可知：． 已知因此可得 得． 14. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，将所求代数式变形后，结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，即． ． ，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得． 代入，得 ． 15. 如图，在菱形中，，，点，分别在，边上运动，连接，，点，分别为，的中点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，先解直角三角形，得到，再由三角形中位线定理可得，时，有最小值，有最小值，此时点与重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，， ， 在中，， ， M、N分别为、的中点， 是的中位线， ， 时，有最小值，有最小值，此时点与重合， 的最小值为， 的最小值是． 16. 如图，已知点，均为反比例函数图象上的点，若点关于直线对称的点在坐标轴上，则的值为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再根据轴对称的性质求出点 关于直线的对称点坐标，最后根据对称点在坐标轴上分类讨论求解的值． 【详解】解：把点代入得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得， 点的坐标为， 设点关于直线的对称点为， 连接并延长交y轴于点C， 记直线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点D，直线与x轴的交点为点B，如图， 在直线中，令，可得；令，则， ，且， 为等腰直角三角形， ， 由对称可知，直线与直线互相垂直， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设点，则点， 设直线的函数表达式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为， 联立直线与对称轴的方程， 解得交点坐标为， 根据中点坐标公式可得，  解得，， 对称点的坐标为， 点在坐标轴上， 分两种情况讨论：当点在轴上时，纵坐标为，即，解得， 当点在轴上时，横坐标为，即，解得， 综上所述，的值为或 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： （1）同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； （2）计算：． 【答案】（1）小明在第一步出现错误；正确计算过程为： ； （2） 【解析】 【分析】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 18. 设，其中“”遮盖了一个关于的最简分式． （1）若“”部分是，请化简，并求当时的值； （2）若化简后，求被“”遮盖的分式． 【答案】（1）；； （2）被遮盖的分式为 【解析】 【分析】（1）先因式分解，对括号内通分合并，再将除法转化为乘倒数，约分后得，最后把代入代数式完成求值； （2）设遮盖部分为，依据“被除数商除数”变形得，分解并约分右侧式子，移项通分后因式分解分子，约去公因式得到最简分式． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 当时，； 【小问2详解】 解：设被遮盖的分式为， ∵化简后， ∴ 解得． 19. 晓红同学计划假期去剧场观看经典话剧《茶馆》，她用某购票软件在网上购买门票时，显示只可以购买剧场某区域某排中的席位，如图，网上显示阴影部分的座席已经售出，其余A，B，C，D，E五个席位由系统随机分配． （1）求晓红购买到与过道相邻席位的概率； （2）若晓红的妈妈也一同购票，用画树状图或列表法求晓红和妈妈相邻而坐的概率．（说明：在座位之间有过道不算相邻而坐） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：因为系统是随机分配座位的，所以任何一种座位组合出现的可能性都是相同的，因此晓红购买到与过道相邻席位的概率； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则晓红和妈妈相邻而坐的概率是． 20. 嘉琪通过自学和查阅有关资料，发现可以用尺规作图的方法，对任意给定的一个矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．嘉琪运用这种方法，对图1中的矩形，在图2中进行了下面的尺规作图： 第一步：在的延长线上，截取线段； 第二步：作线段的垂直平分线，交于点； 第三步：以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点； 第四步：以为边，在边右侧作正方形． 根据以上过程，解答下列问题： （1）请按照作图过程中的“第四步”，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出正方形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若的长为，的长为（），则 ①如图2，的长是________，的长是________；（用含，的式子表示） ②求证：正方形的面积等于矩形的面积． 【答案】（1）解：如图，正方形即为所求； （2）①，； ②证明：∵矩形，的长为，的长为 ∴矩形的面积为； 由（1）可知：，， ∴， ∴正方形的面积为， ∴正方形的面积等于矩形的面积． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）①根据作图，列出代数式即可；②求出矩形和正方形的面积即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由题意，， ∴， ∵作线段的垂直平分线，交于点， ∴，； ②略 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为． （1）求直线的函数表达式； （2）嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标； （3）若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）定点 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把函数化为，进一步可得答案； （3）当轴时，，当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则，可得，如图，当轴时，，可得：，进一步可得． 【小问1详解】 解：∵直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为， ∴， 解得：， ∴直线：， 【小问2详解】 解：∵直线：（为常数且） ∴， ∴当时，， ∴直线：过定点． 【小问3详解】 解：如图，直线：过定点， 当轴时，， 当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则， ∴， 如图，当轴时， ∴， ∴， 解得：， ∴当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则， ∴， 综上：或． 22. 如图1和图2，与直线相切于点，在中裁掉一个圆心角为的扇形，且．点是上一点，连接，从出发以每秒的速度按顺时针方向转动，当与重合时停止转动，设转动时间为秒． （1）如图1，过点且始终与平行的直线也随运动，设直线与的另一个交点为． ①求点到直线的距离； ②当直线与相切时，求的值． （2）如图2，过点且始终与垂直的直线也随运动，直线交直线于点，与的另一个交点为． ①当时，求的值； ②直接写出的最大值． 【答案】（1）①；② （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）①过点作于点，作于点，证明四边形是矩形，在中利用三角函数求出，进而得到，根据矩形对边相等得出，即点到直线的距离为；②根据切线性质得，结合推出，得到，除以转动速度即可求出的值； （2）①连接，在中求出，得，分点在点左侧和右侧讨论，在左侧时直线过圆心，再分在和上，得和，在右侧直线过点且与圆相切，不符合题意舍去，综合即得的值；②延长交直线于点，过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得，，进而求出，得，由得，求出，在中利用三角函数推出，得，根据垂线段最短得，当取最大值时，取得最大值，代入计算即可得的最大值． 【小问1详解】 解：①如图，过点作于点，作于点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵与直线相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴即点到直线的距离为； ②如图，当直线与相切时，切点为，设直线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵从出发以每秒的速度按顺时针方向转动， ∴秒； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， 点在直线上，分两种情况讨论： 情况一：点在点左侧： ∴， ∴， ∵直线过点且始终与垂直，直线交直线于点， ∴点、、在直线上， 如图，当点在上时， 旋转角度，此时； 如图，当点在上时， 旋转角度，此时； 情况二：点在点右侧： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴直线过点， 又∵直线， ∴直线与相切，与只有一个公共点，不符合“有另一个交点”的条件，故舍去； 综上，当时，的值为或； ②延长交直线于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴是点到直线的垂线段， ∴， ∴， 当且仅当点与点重合（即）时，取得最大值， 此时的最大值为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴，顶点的坐标为．抛物线：（为常数）与轴交于点，其顶点为． （1）当时，求的顶点及点的坐标； （2）当经过原点时，求的值； （3）下面是两位同学分别提出的问题，请选择其中一人的问题先判断，再说明理由． 嘉嘉提出的问题：是否经过点？ 淇淇提出的问题：是否经过点？ （4）若与正方形的边恰有三个交点，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）解：①选择嘉嘉提出的问题，不经过点，理由如下： 将点代入抛物线的解析式得：， 整理得：， ∵这个方程根的判别式，方程没有实数根， ∴不存在常数，使得抛物线经过点，即不经过点． ②选择淇淇提出的问题，不经过点，理由如下： 将点代入抛物线的解析式得：，即， ∵这个方程根的判别式，方程没有实数根， ∴不存在常数，使得抛物线经过点，即不经过点． （4）或2 【解析】 【分析】（1）将代入求出抛物线的解析式，由此即可得； （2）将代入抛物线的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得； （3）两位同学提出的问题的解答思路一样：将相应点的坐标代入抛物线的解析式可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式解答即可； （4）先求出顶点在直线上，再据此分两种情况：①抛物线经过原点，且对称轴在轴的右侧；②抛物线的顶点在边上，分别求出与的边的另两个交点的坐标进行验证即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为， ∴的顶点的坐标为； 将代入抛物线的解析式得：， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线：经过原点， ∴， 解得或． 【小问3详解】 解：略． 【小问4详解】 解：抛物线：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点在直线上， 则有以下两种情况： ①如图，抛物线经过原点，且对称轴在轴的右侧， 由（2）可知，或（舍去）， ∴抛物线的解析式为， 由对称性可知，抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴， ∴点在边上， 将代入抛物线的解析式得：， 即点在抛物线上， ∵， ∴， 又∵当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴此时抛物线与有一个交点， ∴此时与正方形的边恰有三个交点，符合题意； ②如图，抛物线的顶点在边上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， ∴抛物线与轴的交点在边上， 将代入得：，解得或（舍去）， ∴抛物线上的点在边上， ∴此时与正方形的边恰有三个交点，符合题意； 综上，的值为或2． 【点睛】本题的难点在于确定顶点的轨迹，进而进行分类讨论． 24. 如图，在矩形中，，，一动点从点出发沿边运动到点停止，连接，过点作交边于点，以线段为斜边，在的上方作等腰直角，设的长为． （1）当四边形为正方形时，直接写出的值及正方形的边长； （2）嘉嘉通过探究发现：点在的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； （3）求的外心到边的最大距离． （4）在点运动过程中， ①点能否落在边上，若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由； ②直接写出点运动的路径长． 【答案】（1），正方形的边长为 （2）嘉嘉的发现成立，理由如下： 如图2，作于点M，作于点N， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ∴点在的平分线上； （3）的外心到边的最大距离为 （4）①点不能落在边上，理由如下： 如图2，设，由（2）知， ∴四边形是正方形， ， 由，则， ， ， 同（3）得 ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值为， ， ∴点不能落在边上； ② 【解析】 【分析】（1）先求出，得出，即可求出结论； （2）作于点M，作于点N，证明，进而证明四边形是正方形，即可得出结论； （3）中点O即为等腰直角的外心，作于点H，证明，求出，再根据二次函数性质求出最值即可； （4）①设，由，则，，根据得出，即可求出，再根据二次函数性质求出结论； ②点E运动的起点是，当点P运动至点，且时，点E从点运动至最高点，作于点M，得出点E运动的路径为，求出运动路径长即可． 【小问1详解】 解：如图1，当四边形为正方形时， ， ， ， ， 正方形的边长； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2， 为等腰直角斜边， ∴中点O即为等腰直角的外心， 作于点H， ， ， ， ， 当时，取得最大值为， 即的外心到边的最大距离为； 【小问4详解】 解：①略； ②由（2）知，点在的平分线上，如图（3）， 当点P从点B出发时，点与点B重合，点与点A重合， 此时点E运动的起点是， 由，则， 当点P运动至点，且时，点E从点运动至最高点， 作于点M，由①知，， 则， 当点P运动至与点A重合时，点均与点A重合， 故点E运动的路径为， 运动路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $