精品解析：2026年河北省唐山市丰南区 中考二模数学试题

丰南区2025—2026学年度九年级第二次学业质量评估数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列各式的计算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（ ） A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. ∠1减少 3. 计算得（ ） A. B. C. D. 1 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从“正面、左面、上面”看，无法得到的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果等于（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，嘉嘉利用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 8. 小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：，关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是3.5；③众数是5；④样本容量是5．正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，大于点到边的距离为半径画弧交边于点，点，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧交于点，点．作直线交于点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 11. 如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（ ） A. 6 B. C. 4 D. 12. 如图，正三角形的边长为2，D是线段上一点，过D作边的垂线，垂足为点G．下列结论：①当点D在线段上时，的长可以为；②当点D为线段中点时，；③点D在线段上有两个位置满足的面积为．正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 设，是方程的两个根，则的值为______． 14. 如图，正方形的边长为3，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为________． 15. 在一个n边形中，和一个内角相邻的外角与其余内角度数的总和为，则_____． 16. 如图，在中，，，以为直径作，交边于点D，交边于点E，则图中阴影部分的面积是______________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，A，B，C三个乒乓球分别代表一种运算，利用这三个乒乓球设计一个数学游戏，我们可以将A，B，C的顺序重新排序，任意选择一个实数进行一次列式计算．例如：若实数2按的顺序运算，则可列算式为． （1）对于实数，经过的顺序运算后，求出计算结果； （2）对于实数P，经过顺序运算后，要使结果不超过，求出P的最小值． 18. 如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． （1）计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； （2）发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； （3）运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 19. 如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 嘉琪所在学校以“探航天奥秘，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩不低于B等级的学生人数； （3）学校在成绩为A等级里的2名男生、2名女生中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出选中1名男生和1名女生的概率． 21. 如图1是一个闭合时的夹子，如图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，于点E，于点F，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动． （1）当E，F两点的距离最大时，求点A、B、C、D为顶点的四边形的周长； （2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，求A、B两点的距离． 22. 某数学小组成员利用探测气球探究气温与海拔高度的关系．甲气球从海拔5米处出发，以1米/分钟的速度匀速上升；与此同时，乙气球从海拔15米处出发，以0.5米/分钟的速度匀速上升．飞行a分钟后，两个气球到达同一高度．从两气球首次同高的时刻起，又经过t分钟后，甲气球的海拔高度比乙气球高5米，此时甲气球出现故障，停止上升并在当前高度进行维修．甲气球停止上升10分钟后，乙气球恰好上升至甲气球的维修高度；随即甲气球维修完成，立即匀速下降，经过40分钟后降落到出发点（海拔5米处）．设甲、乙气球在整个飞行过程中的海拔高度分别为（米）、（米），飞行时间为x（分钟），其函数图象如图所示． （1）求出a和t的值； （2）求出线段对应的关于x的函数解析式； （3）从两气球出发，到甲气球返回出发点的整个时间段内，两气球高度之差S不超过2米的总时长是多少分钟？请直接写出结果． 23. 如图1，为的外接圆，为的半径． （1）当所在的直线垂直于时，写出图中一对相等的量：_______； （2）若，，求的长； （3）随着点A在上方的圆弧上移动，与的和是否发生变化？请说明理由； （4）在图1中添加条件：，交于点E，于点H，得到图2．若，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，E、F是y轴上两个动点，点E在点F的上方，且． ①当取得最大值时，求P点坐标； ②在①的条件下，求的最小值； （3）将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件点Q的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰南区2025—2026学年度九年级第二次学业质量评估数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列各式的计算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数减法、零指数幂、有理数的平方、绝对值的性质，依次计算每个选项的结果，判断结果的符号，即可选出正确答案． 【详解】解：对选项A，，结果为正数， A不符合要求． 对选项B， 任何非零数的次幂等于， ，结果为正数， B不符合要求． 对选项C，，结果为正数， C不符合要求． 对选项D，，结果为负数， D符合要求． 2. 如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（ ） A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. ∠1减少 【答案】B 【解析】 【分析】根据平角定义得出与的关系，根据直角定义得出与 的关系，进而根据变化量进行推导． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ． 增加， 减少． ， ． 减少， 增加． 综上所述，减少，增加． 3. 计算得（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先观察数轴得，再整理，，，，最后与各个选项进行比较，即可作答． 【详解】解：观察数轴得， ∴，故A选项不符合题意； ∴，故B选项符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴，故C选项不符合题意； 则，故D选项不符合题意 5. 如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从“正面、左面、上面”看，无法得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图，与选项进行对比即可得出答案． 【详解】解：从正面看，底层有3个正方形，上层中间有1个正方形，∴主视图为选项A； 从上面看，后排有3个正方形，前排左侧有2个正方形，俯视图为选项B； 从左面看，左列（对应后排）有2个正方形，右列（对应前排）有1个正方形，左视图为选项C； 无法得到的是选项D． 6. 化简的结果等于（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先统一分母，再合并分子，最后约分得到结果． 【详解】解： ． 7. 如图，嘉嘉利用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及数轴上两点间的距离，设点表示的数为，利用对应线段成比例列方程即可求解． 【详解】解：设点在数轴上表示的数为 点在数轴上表示的数是，数轴上另一点表示的数为 数轴上这两点间的距离为 由图可知，直尺上刻度对应点，刻度对应点，刻度对应数轴上表示的点 图中的虚线相互平行 根据平行线分线段成比例定理，可得即 解得 点在数轴上表示的数是． 8. 小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：，关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是3.5；③众数是5；④样本容量是5．正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先得到这组数据的所有数值和样本容量，再根据平均数、中位数、众数的定义逐一判断各个说法即可． 【详解】解：由方差公式可得，这组数据为2，4，5，5，样本容量为4． ①计算平均数： ，故①正确． ②将数据从小到大排列为2，4，5，5，中位数为，故②错误． ③5出现的次数最多，因此众数是5，故③正确． ④样本容量为4，不是5，故④错误． 综上，正确的是①③． 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，大于点到边的距离为半径画弧交边于点，点，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧交于点，点．作直线交于点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可知直线垂直于，垂足为，根据点到直线的距离定义可知点到直线的距离即为线段的长，利用勾股定理求出，再利用等积法求出，最后在 中利用勾股定理求出即可 【详解】解：由作图可知，直线是过点且垂直于的直线，交于点  ，即   点到直线的距离为线段的长   在中，，，      ， 解得  在 中，    点到直线的距离为 10. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系分情况讨论与的大小，即可判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴比例系数， ∴反比例函数图象在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小． ∵点横坐标为，点横坐标为， ∴，即． 当时，，可得，都在第一象限， ∵在第一象限内随增大而减小，∴，选项C正确． 对于其他选项，A，B未分情况，大小不确定，因此A，B错误， 当且时，，都在第三象限，可得，因此D错误． 11. 如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P在对角线上，，，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， 由图象可得， 当x从0到4时， ∴ ∵四边形是菱形 ∴点P在对角线上 ∴由图象可得，， ∴ ∵在菱形中，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴在中， ∴ 解得，负值舍去 ∴ ∴菱形的边长是． 12. 如图，正三角形的边长为2，D是线段上一点，过D作边的垂线，垂足为点G．下列结论：①当点D在线段上时，的长可以为；②当点D为线段中点时，；③点D在线段上有两个位置满足的面积为．正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、解直角三角形及一元二次方程的应用，设，利用直角三角形性质表示出、、，结合点位置确定的取值范围，逐一判断即可 ． 【详解】解：设， ∵是正三角形，边长为2， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ，， ∵是线段上一点， ∴ ，即，解得， ① ， ∵， ∴ ，即 ， ∵， ∴的长不可以为，故①错误； ②当点为线段中点时，， ∴，解得， ∴，， ∴，故②正确； ③的面积 ， 若的面积为，则， 整理得 ， 解得， ， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴点在线段上只有一个位置满足条件，故③错误； 综上所述，正确的结论只有②，共1个 ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系， 先求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解: ， 是方程的两个根， 由根与系数的关系得∶ ， ， 将，代入 得:． 14. 如图，正方形的边长为3，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题可通过连接辅助线，利用三角形与矩形、正方形的面积关系来求解．关键在于发现矩形的面积与正方形的面积相等，借助三角形面积作为中间桥梁建立联系． 【详解】解： 连接， 四边形是矩形，且经过点， 矩形的面积等于． 在正方形中，边长为，，．． ； 15. 在一个n边形中，和一个内角相邻的外角与其余内角度数的总和为，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】设多边形边数为，该外角的度数为，根据多边形内角和公式结合题意列出方程，再利用外角的取值范围得到关于的不等式，求解得到符合条件的正整数即可． 【详解】解：设多边形边数为，这个外角度数为，根据多边形外角的性质可得． 边形内角和为，与该外角相邻的内角度数为，根据题意得： 整理得： 解得：，即． 为正整数， 或 16. 如图，在中，，，以为直径作，交边于点D，交边于点E，则图中阴影部分的面积是______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．连接，根据等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质求出，过点作于点，求得，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 由条件可知， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，A，B，C三个乒乓球分别代表一种运算，利用这三个乒乓球设计一个数学游戏，我们可以将A，B，C的顺序重新排序，任意选择一个实数进行一次列式计算．例如：若实数2按的顺序运算，则可列算式为． （1）对于实数，经过的顺序运算后，求出计算结果； （2）对于实数P，经过顺序运算后，要使结果不超过，求出P的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）仿照示例，即可得到运算结果； （2）仿照示例，得到，解答即可得到结果． 【小问1详解】 解：， 由题意，得 ； 【小问2详解】 解：由题意，得， 解得， ∴的最小值为． 18. 如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． （1）计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； （2）发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； （3）运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 【答案】（1）64 （2）解：，理由如下： 由题意得，， ∴； （3）52 【解析】 【分析】（1）结合正方形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）结合正方形面积公式以及结合图形特征进行列式计算，即可作答． （3）由，得，因为，即，再解得，，结合正方形面积公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴； 【小问2详解】 解：，理由略； 【小问3详解】 解：由，得， 故， 化为， 又∵， ∴， 则， 得， 解得， 把代入，得， ∴， ∴这两个正方形的面积之和为． 19. 如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20. 嘉琪所在学校以“探航天奥秘，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩不低于B等级的学生人数； （3）学校在成绩为A等级里的2名男生、2名女生中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）400，补全条形统计图如图： （2）估计竞赛成绩不低于B等级的学生人数约为1050名； （3） 【解析】 【分析】（1）由C等级的人数除以其所占的百分比可得抽取人数，再由总人数减去已知等级人数求得D等级人数，进而补全条形统计图即可； （2）用样本估计总体即可解答； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取总人数为（名）， 等级D的人数为（名）， 补全条形统计图略； 【小问2详解】 解：（名） 答：估计竞赛成绩不低于B等级的学生人数约为1050名； 【小问3详解】 解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中1名男生和1名女生的结果有8种， ∴P（选中1名男生和1名女生）． 21. 如图1是一个闭合时的夹子，如图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，于点E，于点F，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动． （1）当E，F两点的距离最大时，求点A、B、C、D为顶点的四边形的周长； （2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，求A、B两点的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当，，三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形是矩形，可得，根据矩形的性质求出周长即可； （2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，连接交于，利用勾股定理求出的长，利用等积求得的长，证明，求出的长即可． 【小问1详解】 解：当，两点的距离最大时，，，共线，此时四边形是矩形， ， ， ， 此时四边形的周长为； 【小问2详解】 解：如图，连接交于． 由题意， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ． 22. 某数学小组成员利用探测气球探究气温与海拔高度的关系．甲气球从海拔5米处出发，以1米/分钟的速度匀速上升；与此同时，乙气球从海拔15米处出发，以0.5米/分钟的速度匀速上升．飞行a分钟后，两个气球到达同一高度．从两气球首次同高的时刻起，又经过t分钟后，甲气球的海拔高度比乙气球高5米，此时甲气球出现故障，停止上升并在当前高度进行维修．甲气球停止上升10分钟后，乙气球恰好上升至甲气球的维修高度；随即甲气球维修完成，立即匀速下降，经过40分钟后降落到出发点（海拔5米处）．设甲、乙气球在整个飞行过程中的海拔高度分别为（米）、（米），飞行时间为x（分钟），其函数图象如图所示． （1）求出a和t的值； （2）求出线段对应的关于x的函数解析式； （3）从两气球出发，到甲气球返回出发点的整个时间段内，两气球高度之差S不超过2米的总时长是多少分钟？请直接写出结果． 【答案】（1），； （2）； （3）分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意求出两个气球到达同一高度时的时间，即可求出a的值； （2）求出点D的坐标，点E的坐标为，再利用待定系数法求出的解析式即可； （3）根据题意求出两个气球高度之差s不超过2米时x的取值，即可求出总时长． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得， 由题意得， 解得； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点D的坐标为， 根据题意得点E的坐标为， 设对应的解析式为， ， 解得， ∴对应的解析式为； 【小问3详解】 解：两气球高度之差是2米时，满足，，，， 即，； ，； ，； ，； 两个气球高度之差s不超过2米时的总时长为分． 23. 如图1，为的外接圆，为的半径． （1）当所在的直线垂直于时，写出图中一对相等的量：_______； （2）若，，求的长； （3）随着点A在上方的圆弧上移动，与的和是否发生变化？请说明理由； （4）在图1中添加条件：，交于点E，于点H，得到图2．若，直接写出的长． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3）解：当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和不变，为定值， 证明如下： 连接，如图所示： 由圆周角定理知， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 则， ，即当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值； （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意，作出图形，结合垂径定理、中垂线的判定与性质及等腰三角形性质即可得到答案； （2）连接，如图所示，根据题意，由圆周角定理求出，再由弧长公式代值求解即可得到答案； （3）连接，如图所示，由圆周角定理、等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得证； （4）由两个三角形相似的判定定理得到，得到相似比；再由得到，联立代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：延长，交于点，如图所示： 当所在的直线垂直于时，即， 由垂径定理可知， 是线段的垂直平分线，则，则， 由等腰三角形三线合一性质可知，平分， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ，， 由圆周角定理可得， ， 的长为； 【小问3详解】 解：略； 【小问4详解】 解：连接，如图所示： 由圆周角定理可得， ，， 由等腰三角形三线合一性质可得平分，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 解得． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，E、F是y轴上两个动点，点E在点F的上方，且． ①当取得最大值时，求P点坐标； ②在①的条件下，求的最小值； （3）将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件点Q的横坐标． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由和可得，结合，利用交点式求抛物线解析式； （2）①先证明为等腰直角三角形，得，从而，转化为求最大值； ②利用直线与抛物线解析式设点坐标，表示长度，通过二次函数性质求最值；在取得最值的条件下，利用轴对称（将军饮马模型）求的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式；由，可构造平行线和等腰三角形，分点在轴上方或下方两种情况讨论，通过几何关系建立方程求解点横坐标． 【小问1详解】 解：由，令得， ，，故， 又在轴负半轴，则， 抛物线过， 设，代入： ，解得， 故抛物线解析式为 ； 【小问2详解】 解：①由，得直线， 设， ∵轴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴，即， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，为二次函数，开口向下， 当时，取最大值，此时，此时； ②此时在轴上，，点在上方， 要求最小值，为定值，即求最小值， 设，则， ， 将点向下平移1单位得，则， 故，，， 作关于轴的对称点，则， ， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：原抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位得： ， 设， 由得， 解得， 则， 由（1）得， ①当在轴上方， ∵， ∴， ∵直线与轴交点为点，直线与轴交点为点， ∴可以将直线看作直线向左平移个单位， 即向左平移个单位， 则， 联立， 解得，（舍）， ②过中点，作垂线与延长线交于， 由得，中点即， 设点，， ， ， ， 由勾股定理得： ， ， ，故点， 设， 解得，即， 联立： ，整理得， 或（舍） 则点的横坐标为． 综上所述，的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $