第05讲 有理数的加法与减法 （知识清单+9大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第05讲 有理数的加法与减法 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数加法运算律 题型五 有理数的减法运算 题型六 有理数减法的实际应用 题型七 有理数的加减混合运算 题型八 有理数加减中的简便运算 题型九 有理数加减混合运算的应用 知识清单 知识点1．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点2．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点3．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点4．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 题型方法 【题型一】有理数加法运算 【例1】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）数轴上的点M表示，将点M向右平移5个单位后，再向左平移7个单位到点N，那么点N表示的数是（   ） A．10 B．0 C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）比大3的数是 ． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：； 【题型二】有理数加法中的符号问题 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则 0．（用＞，＜或＝填空） 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，    (1)比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； (2)判断正负，用“>”或“<”填空：______0；______0；______0． (3)化简：． 【题型三】有理数加法在生活中的应用 【例3】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）一天早晨的气温是，中午的气温比早晨上升了，中午的气温是（   ）． A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）小艳家的冰箱冷冻室的温度是，调高后的温度是 ℃． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）日常生活中，人们经常面临需要排队的情形，某小组想要知道是否可以通过安排排队方式的方法让人们的排队时间更短． 实验研究：现有一个办事窗口，人们需要排队进行办公，每个人办事的时间称为他自身的办公时间，一个人除去自身办公以外所需消耗时间称为这个人的排队时间．如：若第一个人的办公时间为3，第二个人的办公时间为4，那么第一个人排队时间为0，第二个人排队时间为3，第三个人的排队时间为7． 不难发现，对每个人来说满足排队时间最短的方式是排在队伍的首位，这时排队时间为0，但这对每个人来说不能同时满足．于是小组希望研究出最合适的安排可以使所有人的总排队时间最短． 假设现在有甲、乙、丙三人需要排队办公，他们的办公时间分别为18、25、27． 数据计算：对三种排队方案进行计算比较． 方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为 ； 方案二：排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为 ； 方案三：排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为 ． 实验结论：对比可知，方案 的总排队时间最短．（填“一”、“二”、“三”） 推广证明：甲、乙、丙三人排队办公，他们的办公时间分别为a、b、c（其中），请给出所有的排队方式，从中选出总排队时间最短的方案并证明． 【题型四】有理数加法运算律 【例4】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 2．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 3．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：__________；__________；__________；__________； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【题型五】有理数的减法运算 【例5】（23-24七年级上·江苏南京·期中）计算：（    ） A．2 B． C．8 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）与的和是5的是（　　） A． B．0 C．5 D．10 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若四个有理数之和是10，其中三个数分别是4，，，则第四个数是 ． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素，一个集合中没有相同的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素m，使得也是这个集合的元素，这样的集合我们称为“条件集合”．例如集合，因为，而3恰好是这个集合的元素，所以就是一个“条件集合”． (1)集合_______（填“是”或“不是”）“条件集合”； (2)请说明集合化写身是“条件集合”； (3)已知集合是“条件集合”，求出所有符合条件的x的值； (4)集合是“条件集合”，________． 【题型六】有理数减法的实际应用 【例6】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图是我市一月份某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）某地连续四天的最高、最低气温如表所示，则气温日较差（当日最高气温减去当日最低气温）最大的是（   ） 日期 周一 周二 周三 周四 最高气温 最低气温 A．周一 B．周二 C．周三 D．周四 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是某市一月份某天的天气预报，则该市这一天的温差是 ． 晴 气温 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是沈阳市2024年春节前一周的天气预报，请根据图中信息回答 (1)该市周三的最高气温比最低气温高 度． (2)该市本周五天中，周几的温差最大？最大是多少？ 【题型七】有理数的加减混合运算 【例7】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把写成省略加号的代数和的形式是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为(   ) A．1 B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 ． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2) 【题型八】有理数加减中的简便运算 【例8】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D．50 【举一反三】 1．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（  ） A． B．c+d＞0 C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【题型九】有理数加减混合运算的应用 【例9】（24-25七年级上·江苏南通·期末）一架直升机从高度为的位置开始，先竖直上升，再竖直下降，这时直升机所在高度是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（  ） 微信红包——来自李某某 某平台商户 扫二维码付给某店 A．收入4元 B．支出2元 C．支出6元 D．支出9元 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）“深海一号”是由中国人自己设计、研发、建造的首个超深水油气生产作 业平台．假设该平台位于图1中的C处，在 A、B 两地分别有甲、乙两艘运输船定期向平台运送物资． (1)甲船航行速度为a 海里/小时，乙船航行速度为b 海里/小时，按照图1中的比例，可得a、 b的大小如图2所示，若甲、乙两船同时出发，你能用尺规作图说明哪艘船先到达C处吗？并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知长为90海里，长为120海里，甲船从A 处出发前往C处，速度为15海里/小时；乙船从B处出发前往C处，速度为20海里/小时、乙船航行1小时后，为了能和甲船同时到达C处，只能提速行驶，求乙船提速后的航行速度． 好题必刷 一、单选题 1．下列各数中，与相加等于0的数是（   ） A．2 B． C． D． 2．若，且，则的值是（　　） A．10或 B．3或4 C．4或10 D．3或 3．运用加法的运算律计算（+6）+（-18）+（+4）+（-6.8）+18+（-3.2）最适当的是（　　） A．[（+6）+（+4）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）] B．[（+6）+（-6.8）+（+4）]+[（-18）+18+（-3.2）] C．[（+6）+（-18）]+[（+4）+（-6.8）]+[18+（-3.2）] D．[（+6）+（+4）]+[（−18）+18]+[（−3.2）+（−6.8）] 4．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙两地2022年1月前5天的日平均气温如图所示，则两地温差最小的是（　　） A．1月1日 B．1月3日 C．1月4日 D．1月5日 6．如图，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为（    ） 4 a 2 1 3 b 5 c A． B． C．0 D．5 7．某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 8．在数轴上，一个点与表示的点相距个单位长度，这个点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．有无数个 9．设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 10．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 11．计算 ． 12．请你写出第②步的计算依据： ……① ……② ……③ ……④ ② ． 13．计算 ． 14．确定下列各式的符号：（填“＜”，“＞”或“＝”） （1）若，则 0；            （2）若，则 0； （3）若，，则 0；           （4）若，则 0； （5）若，则 0；      （6）若，则 0． 15．3与的和是 ，与的差的绝对值是 ． 16．若，且，则 ． 17．如果，，那么的值为 ． 18．如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则a－b＋c－d＋e－f的值为 ． 三、解答题 19．计算： 20．用字母表示有理数的加法运算律 （1）交换律；（2）结合律． 21．计算：． 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： （1） （2） 24．某自行车厂计划平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周（7天）的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划平均每天生 产数量的差值（单位：辆） (1)前三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆自行车？ (3)该厂实行每周（生产1400辆自行车）计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆再另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少心？ 25．某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后前5次表演的高度（单位：千米，规定上升为正，下降为负）为：． (1)这次表演过程中，直升机的最高高度是多少？ (2)当直升机A完成上述5个表演动作后，直升机A的高度是多少千米？ (3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前4次的高度为：．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 26．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4个台阶上数的和都相等． 尝试： （1）前4个台阶上数的和是多少？ （2）第5个台阶上的数是多少？ 应用（3）求从下到上前31个台阶上数的和． 发现（4）试用含（为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的加法与减法 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数加法运算律 题型五 有理数的减法运算 题型六 有理数减法的实际应用 题型七 有理数的加减混合运算 题型八 有理数加减中的简便运算 题型九 有理数加减混合运算的应用 知识清单 知识点1．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点2．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点3．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点4．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 题型方法 【题型一】有理数加法运算 【例1】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法，根据绝对值的定义求出x，y的值，根据，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）数轴上的点M表示，将点M向右平移5个单位后，再向左平移7个单位到点N，那么点N表示的数是（   ） A．10 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题．根据数轴上向右移动是加，计算即可得出答案． 【详解】解：由M为数轴上表示的点，将点M沿数轴向右平移5个单位，再向左平移7个单位到点N，此时点N所对应的数为， 因此点N所表示的数为． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）比大3的数是 ． 【答案】1 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法，根据题意可知，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：1． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：； 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，正确掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】解： ． 【题型二】有理数加法中的符号问题 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】此题主要考查了有理数的新定义运算，正确运用公式是解题关键． 根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则 0．（用＞，＜或＝填空） 【答案】 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，再结合，，可得答案. 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算中的符号确定，掌握“绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同”是解本题的关键. 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，    (1)比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； (2)判断正负，用“>”或“<”填空：______0；______0；______0． (3)化简：． 【答案】(1)； (2)>；<；< (3)． 【知识点】有理数加法中的符号问题、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了相反数的概念，数轴上点的大小关系，有理数的加减运算，绝对值的化简； （1）根据，与原点的距离判断其相反数在数轴上的位置即可； （2）根据数轴上右边的数比左边的数大；同号两数相加，取相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， 计算求值即可； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可； 【详解】（1）解：∵离原点的距离要大于离原点的距离， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，，， ∴的符号为负， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上可得：，，； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴ ； 【题型三】有理数加法在生活中的应用 【例3】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）一天早晨的气温是，中午的气温比早晨上升了，中午的气温是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法，本题中气温上升了，所以中午的气温是． 【详解】解：， 中午的气温是． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查有理数加法的计算，根据有理数的加法计算得出结论即可． 【详解】解：根据题意得，乙地的平均海拔为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）小艳家的冰箱冷冻室的温度是，调高后的温度是 ℃． 【答案】 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，原温度加上调高的温度进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）日常生活中，人们经常面临需要排队的情形，某小组想要知道是否可以通过安排排队方式的方法让人们的排队时间更短． 实验研究：现有一个办事窗口，人们需要排队进行办公，每个人办事的时间称为他自身的办公时间，一个人除去自身办公以外所需消耗时间称为这个人的排队时间．如：若第一个人的办公时间为3，第二个人的办公时间为4，那么第一个人排队时间为0，第二个人排队时间为3，第三个人的排队时间为7． 不难发现，对每个人来说满足排队时间最短的方式是排在队伍的首位，这时排队时间为0，但这对每个人来说不能同时满足．于是小组希望研究出最合适的安排可以使所有人的总排队时间最短． 假设现在有甲、乙、丙三人需要排队办公，他们的办公时间分别为18、25、27． 数据计算：对三种排队方案进行计算比较． 方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为 ； 方案二：排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为 ； 方案三：排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为 ． 实验结论：对比可知，方案 的总排队时间最短．（填“一”、“二”、“三”） 推广证明：甲、乙、丙三人排队办公，他们的办公时间分别为a、b、c（其中），请给出所有的排队方式，从中选出总排队时间最短的方案并证明． 【答案】数据计算：61，77，79； 实验结论：一； 推广证明：方案一的总排队时间最短，证明见解析 【知识点】整式加减的应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数加法的应用，整式加减法的应用，准确理解题意是解题的关键． 数据计算：分别计算每种方案的排队时间； 实验结论：进行比较即可； 推广证明：先分别计算每种方案的排队时间，再作差进行比较即可． 【详解】数据计算： 方案一：总排队时间为， 方案二：总排队时间为， 方案三：总排队时间为， 实验结论： ， 方案一的排队时间最短， 故答案为：61，77，79，一； 推广证明： 方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为； 方案二：排队方式顺次为甲、丙、乙，则总排队时间为； 方案三：排队方式顺次为乙、甲、丙，则总排队时间为； 方案四：排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为； 方案五：排队方式顺次为丙、甲、乙，则总排队时间为； 方案六：排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为． ∵， ∴方案一比方案二总排队时间短， ∵， ∴方案一比方案三总排队时间短， ∵， ∴方案一比方案四总排队时间短， ∵， ∴方案一比方案五总排队时间短， ∵， ∴方案一比方案六总排队时间短， 综上，方案一的总排队时间最短． 【题型四】有理数加法运算律 【例4】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 【答案】D 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】根据加法交换律和结合律凑整计算即可求解． 【详解】解：计算最好的方法是运用加法交换律和结合律变形为 计算． 故选∶ D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：__________；__________；__________；__________； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【答案】(1)；；12； (2)；加法的交换律仍然适用；结合律不适用；验证见解析 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加法运算律、绝对值的几何意义 【分析】（1）首先根据（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出（加乘）运算的运算法则，根据：；，可得：0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值，然后逐项进行计算即可； （2）根据（1）中总结出的（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．加法有交换律和结合律，交换律在有理数的（加乘）运算中还适用，结合律不适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， ∴； ； ； ； （2）解： ； 加法的交换律仍然适用， 例如：，， ∴， 故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，， ， ∴结合律不适用． 【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 【题型五】有理数的减法运算 【例5】（23-24七年级上·江苏南京·期中）计算：（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，掌握有理数减法法则是关键．根据有理数的减法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：D ． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）与的和是5的是（　　） A． B．0 C．5 D．10 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查有理数的减法，根据题意可知与-5的和是5的数． 【详解】 故选：D 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若四个有理数之和是10，其中三个数分别是4，，，则第四个数是 ． 【答案】14 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 根据题意列出算式，然后根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素，一个集合中没有相同的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素m，使得也是这个集合的元素，这样的集合我们称为“条件集合”．例如集合，因为，而3恰好是这个集合的元素，所以就是一个“条件集合”． (1)集合_______（填“是”或“不是”）“条件集合”； (2)请说明集合化写身是“条件集合”； (3)已知集合是“条件集合”，求出所有符合条件的x的值； (4)集合是“条件集合”，________． 【答案】(1)不是 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了实数的运算、新定义、一元一次方程的求解以及绝对值，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算． （1）根据一个集合满足：只要其中有一个元素，使得也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，即可得出结论； （2）根据新定义即可得出结论； （3）分情况讨论即可； （4）根据新定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 集合不是“条件集合”， 故答案为：不是； （2）， 集合是“条件集合”； （3）集合是“条件集合”， 当，解得：； 当，解得：或 故所有符合条件的的值是或或； （4）集合是“条件集合”， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故答案为：． 【题型六】有理数减法的实际应用 【例6】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图是我市一月份某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用最高气温减去最低气温计算即可． 【详解】解：； 故选A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）某地连续四天的最高、最低气温如表所示，则气温日较差（当日最高气温减去当日最低气温）最大的是（   ） 日期 周一 周二 周三 周四 最高气温 最低气温 A．周一 B．周二 C．周三 D．周四 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查的是有理数的减法，依据题意准确列出算式是解题的关键．求出每天的温差，然后比较即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴温差最大的是周三． 故选C． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是某市一月份某天的天气预报，则该市这一天的温差是 ． 晴 气温 【答案】7 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数减法运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：7． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是沈阳市2024年春节前一周的天气预报，请根据图中信息回答 (1)该市周三的最高气温比最低气温高 度． (2)该市本周五天中，周几的温差最大？最大是多少？ 【答案】(1)11 (2)周一温差最大，最大是． 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，准确理解题意并熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用这天的最高气温减去最低气温即可求解； （2）分别求得本周中每天最高气温与最低气温的差，比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得（度）， 故答案为：11； （2）解：周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：； ， 答：周一温差最大，最大是． 【题型七】有理数的加减混合运算 【例7】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把写成省略加号的代数和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数是解此题的关键， 根据有理数加减法的法则将括号去掉即可． 【详解】解：由题意知，把写成省略括号的和的形式是， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为(   ) A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意可知，每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等，观察九宫格，中间一行数是，，，则和为，由此可求，，的值，把，，的值分别代入计算即可． 【详解】解：， ，，， 解得：，，， ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了有理数的加减运算运算的应用，根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加减运算进行计算即可． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查的是加减混合运算； （1）先把互为相反数的两数相加，再计算即可； （2）先计算括号内的运算，再进一步计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【题型八】有理数加减中的简便运算 【例8】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D．50 【答案】C 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】根据每两项的和为进行简便运算即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查有理数的加减运算．解题技巧是：通过观察找到每两项的和相同，利用每两项的和×项数进行简便计算． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（  ） A． B．c+d＞0 C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加减中的简便运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】根据数轴上各数的位置判断其大小和绝对值大小，再按照选项进行计算即可． 【详解】由数轴可知大小关系为 选项A中，且，得，正确； 选项B中，且，得，正确； 选项C中，，，，错误； 选项D中， ，，，正确． 故选C． 【点睛】本题考查数轴上数的大小判断、绝对值的计算和有理数加减结果的符号判断，根据大小进行判断和正确的化简绝对值是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 【答案】1 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶ （1）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可； （2）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解∶ ． 【题型九】有理数加减混合运算的应用 【例9】（24-25七年级上·江苏南通·期末）一架直升机从高度为的位置开始，先竖直上升，再竖直下降，这时直升机所在高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了负数的意义，有理数的加减混合运算，属于基础题型． 根据题意的上升和下降列出算式，再进行运算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（  ） 微信红包——来自李某某 某平台商户 扫二维码付给某店 A．收入4元 B．支出2元 C．支出6元 D．支出9元 【答案】A 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．根据图片，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：（元）， 即王老师当天微信收支的最终结果是收入4元． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是 ． 【答案】0 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用，读懂题意，列出正确的式子是解题的关键． 根据题意列式子，进行有理数的加减运算即可． 【详解】解：半夜的气温是：． 故答案为：0． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）“深海一号”是由中国人自己设计、研发、建造的首个超深水油气生产作 业平台．假设该平台位于图1中的C处，在 A、B 两地分别有甲、乙两艘运输船定期向平台运送物资． (1)甲船航行速度为a 海里/小时，乙船航行速度为b 海里/小时，按照图1中的比例，可得a、 b的大小如图2所示，若甲、乙两船同时出发，你能用尺规作图说明哪艘船先到达C处吗？并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知长为90海里，长为120海里，甲船从A 处出发前往C处，速度为15海里/小时；乙船从B处出发前往C处，速度为20海里/小时、乙船航行1小时后，为了能和甲船同时到达C处，只能提速行驶，求乙船提速后的航行速度． 【答案】(1)乙船先到达C处，理由见解析． (2)乙船提速后的航行速度为25海里/小时． 【知识点】有理数加减混合运算的应用、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了作图——作线段，有理数混合运算的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）分别在、上截取线段、，即可得到答案； （2）由题意可知，乙船航行1小时后，甲船与C处的距离为海里，乙船与C处的距离为海里，进而得到甲船到达C处还需小时，再根据乙船4小时需行驶100海里，即可得到答案． 【详解】（1）解：观察图形可知，甲船到达C处的时间是大于2小时，小于3小时；乙船到达C处的时间是大于1小时，小于2小时， 即乙船先到达C处； （2）解：由题意可知，乙船航行1小时后，甲船与C处的距离为（海里），乙船与C处的距离为（海里）， 则甲船到达C处还需（小时）， 因为两船同时到达C处， 所以乙船4小时需行驶100海里， 即海里/小时， 答：乙船提速后的航行速度为25海里/小时． 好题必刷 一、单选题 1．下列各数中，与相加等于0的数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值，有理数的加法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质化简，再利用有理数的加法得出答案． 【详解】解：∵， ∴与相加等于0的数是． 故选：B． 2．若，且，则的值是（　　） A．10或 B．3或4 C．4或10 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，有理数的加法，解题的关键是确定m和n的值．根据可得，由此确定m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为4或10． 故选：C． 3．运用加法的运算律计算（+6）+（-18）+（+4）+（-6.8）+18+（-3.2）最适当的是（　　） A．[（+6）+（+4）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）] B．[（+6）+（-6.8）+（+4）]+[（-18）+18+（-3.2）] C．[（+6）+（-18）]+[（+4）+（-6.8）]+[18+（-3.2）] D．[（+6）+（+4）]+[（−18）+18]+[（−3.2）+（−6.8）] 【答案】D 【分析】根据互为相反数的两数之和为0以及同分母的分数相加、同号相加的原则进行计算即可． 【详解】解：（+6）+（−18）+（+4）+（−6.8）+18+（−3.2） ＝[（+6）+（+4）]+[（−18）+18]+[（−3.2）+（−6.8）]； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数加减法运算，熟练掌握有理数加法运算律是解题的关键． 4．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意图2中，红色的有三根，黑色的有六根可得答案． 【详解】解：由题知， 图2红色的有三根，黑色的有六根，故图2表示的算式是（+3）+ (-6) ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正负数的含义，解题的关键是理解正负数的含义． 5．甲、乙两地2022年1月前5天的日平均气温如图所示，则两地温差最小的是（　　） A．1月1日 B．1月3日 C．1月4日 D．1月5日 【答案】B 【分析】求出每天的温差，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：1月1日的温差：6﹣2＝4（℃）， 1月2日的温差：8﹣4＝4（℃）， 1月3日的温差：8﹣6＝2（℃）， 1月4日的温差：10﹣4＝6（℃）， 1月5日的温差：8﹣4＝4（℃）， 所以两地温差最小的是1月3日的温差2℃． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数减法的运用．解决问题的关键是掌握有理数减法的运算法则． 6．如图，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为（    ） 4 a 2 1 3 b 5 c A． B． C．0 D．5 【答案】A 【分析】根据第二行的三个数，结合所给规律求出a、b、c三个数，再代值求解即可． 【详解】解：由题意，每行、每列、每条对角线上的三个数之和为， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减法、代数式求值，要熟练掌握，解答此题的关键是求出a、b、c的值各是多少. 7．某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键．利用中午的气温减去凌晨的气温即可得． 【详解】解：从凌晨到中午气温上升了， 故选：B． 8．在数轴上，一个点与表示的点相距个单位长度，这个点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．有无数个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数的加减法运算，根据题意得出两种情况：当点在表示的点的左边时，当点在表示的点的右边时，列出算式求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分为两种情况： 当点在表示的点的左边时，这个数为； 当点在表示的点的右边时，这个数为， 综上可知：这个点表示的数是或， 故选：． 9．设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的减法，根据题意表示大于的最小整数，即可得出答案． 【详解】解：∵表示大于的最小整数， ． 故选：B． 10．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【详解】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 二、填空题 11．计算 ． 【答案】17 【分析】根据有理数减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查了有理数减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 12．请你写出第②步的计算依据： ……① ……② ……③ ……④ ② ． 【答案】加法的交换律和结合律 【分析】根据第二步交换了加数的位置，把分母相同的两个数放到一起先加，从而可得答案. 【详解】解：第二步交换了加数的位置，把分母相同的两个数放到一起先加， 使用了“加法的交换律与结合律”， 故答案为：加法的交换律和结合律 【点睛】本题考查的是加法的运算律，掌握加法的运算律的使用是解题的关键. 13．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．确定下列各式的符号：（填“＜”，“＞”或“＝”） （1）若，则 0；            （2）若，则 0； （3）若，，则 0；           （4）若，则 0； （5）若，则 0；      （6）若，则 0． 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＞ ＜ ＜ 【分析】根据大数减小数结果大于0，小数减大数结果小于0，相等两数相减等于0可得结果． 【详解】解：（1）若，则； （2）若，则； （3）若，，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则； 故答案为：＞；＝；＜；＞；＜；＜． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟知运算法则是解本题的关键． 15．3与的和是 ，与的差的绝对值是 ． 【答案】 1 6 【分析】本题考查了有理数的加减法、绝对值，熟练掌握有理数的加减运算法则和绝对值的性质是解题关键．根据有理数的加减法法则计算即可得，再根据正数的绝对值等于它本身即可得． 【详解】解：3与的和是． 与的差是， 则与的差的绝对值是， 故答案为：1；6． 16．若，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数减法和绝对值，解题关键是先根据绝对值的意义确定字母的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 故答案为：或． 17．如果，，那么的值为 ． 【答案】/4和/和4 【分析】本题考查绝对值的意义和化简，有理数的加减法，代数式求值，注意要分类讨论． 根据绝对值的定义可得，，分别代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时， 当，时， 当，时， 当，时， 即的值为， 故答案为：． 18．如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则a－b＋c－d＋e－f的值为 ． 【答案】7 【分析】先根据其每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，寻找具有已知量最多且含有公共未知量的行或列，只能是，此时可解得；再以为等式，可知，依此类推求出各字母代表的值即可解答． 【详解】解：依题意知：， 解得； 又， ． 又∵， ， ，，， ． 故答案为． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，本题的解决首先把求的值作为入手点，因，等式左右两边含有公共，可相互抵消，即可求得． 三、解答题 19．计算： 【答案】8 【分析】根据有理数加减法混合运算，将减法转化为加法，整理后直接计算即可． 【详解】原式 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握加减运算法则． 20．用字母表示有理数的加法运算律 （1）交换律；（2）结合律． 【答案】（1）a+b=b+a；（2）（a+b）+c=a+（b+c） 【分析】（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变；据此分别用字母表示出来即可． （2）加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再和第三个数相加，也可以先把后两个数相加，再和第一个数相加，结果不变；据此分别用字母表示出来即可． 【详解】解：根据有理数的加法运算律，可得， （1）交换律：a+b=b+a； （2）结合律：（a+b）+c=a+（b+c）． 【点睛】本题考查了加法交换律，解题关键是熟记加法交换律，会用字母表示． 21．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，加法的运算律．观察式子的规律，运用有理数加法运算法则及加法运算律，进行计算即可． 【详解】解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去绝对值和括号，再根据加法结合律简便计算即可； （2）先计算出绝对值内的结果，再去绝对值，最后通分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题关键． 23．计算： （1） （2） 【答案】（1）1.5；（2）-1 【分析】（1）先去括号，再计算加减法即可； （2）先去括号，再计算加减法即可． 【详解】解：（1） = = = =1.5； （2） = = =-1． 【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，正确掌握去括号法则及加减混合运算的法则是解题的关键． 24．某自行车厂计划平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周（7天）的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划平均每天生 产数量的差值（单位：辆） (1)前三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆自行车？ (3)该厂实行每周（生产1400辆自行车）计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆再另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少心？ 【答案】(1)599辆 (2)26辆 (3)84675元 【分析】（1）本题考查有理数的加法运算的应用，根据有理数的加法法则计算即可． （2）本题考查有理数的减法运算的应用，根据有理数的减法法则计算即可． （3）本题考查有理数的加减混合运算的应用，根据单价乘以数量，可得工资，根据超产的量乘以超产的奖励单价，可得奖励，根据工资奖励工资总额，即可解题． 【详解】（1）解： （辆）． 答：前三天共生产了599辆自行车． （2）解：（辆）． 答；产量最多的一天比产量最少的一天多生产了26辆自行车． （3）解： （辆）， （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是84675元． 25．某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后前5次表演的高度（单位：千米，规定上升为正，下降为负）为：． (1)这次表演过程中，直升机的最高高度是多少？ (2)当直升机A完成上述5个表演动作后，直升机A的高度是多少千米？ (3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前4次的高度为：．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1)直升机的最高高度是4千米 (2)千米 (3)直升机B第5个动作是下降，下降千米 【分析】（1）分别求出五次飞行后的高度即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）先求出直升机B前四次飞行后的高度，再用直升机A五次飞行后的高度减去B四次飞行后的高度即可得到答案． 【详解】（1）解：第一次飞行后的高度为：千米， 第二次飞行后的高度为：千米， 第三次飞行后的高度为：千米， 第四次飞行后的高度为：千米， 第五次飞行后的高度为：千米， ∴直升机的最高高度是4千米； （2）解：由（1）可知第五次飞行后的直升机的高度为千米； （3）解：（千米）， （千米）， ∴直升机B第5个动作是下降，下降千米． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算的实际应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 26．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4个台阶上数的和都相等． 尝试： （1）前4个台阶上数的和是多少？ （2）第5个台阶上的数是多少？ 应用（3）求从下到上前31个台阶上数的和． 发现（4）试用含（为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）数“1”所在的台阶数为 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数混合运算的应用,解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数． （1）将前4个数字相加可得； （2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”即可求解； （3）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得； （4）由循环规律即可知数“”所在的台阶数为． 【详解】解：（1）前4个台阶上数的和是； （2）因为任意相邻4个台阶上数的和都相等，所以第5个台阶上的数与第1个台阶上的数相同，即 （3）根据题意，得台阶上的数每4个一循环，且循环的4个数的和为3．因为，所以从下到上前31个台阶上数的和为； （4）数“1”所在的台阶数为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$