云南省2025-2026学年高二下学期期末模拟考试数学卷 (一)

**基本信息** 覆盖高考全部内容，通过分层设问与真实情境考查数学眼光、思维与语言，适配高二期末复习与高考衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数、向量、集合、双曲线、正三棱台体积等|基础概念与运算，如复数象限判断、向量投影| |多项选择|3/18|圆与圆位置关系、等差数列、抛物线|多维度辨析，如圆的公共弦长、等差数列性质| |填空题|3/15|数列通项、函数构造、正四棱锥外接球|开放与创新，如满足多条件的函数解析式| |解答题|5/77|统计与概率、立体几何、解三角形、椭圆、导数|真实情境与综合应用，如大学生学习工具使用调查（数据意识）、立体几何二面角计算（空间观念）、导数零点讨论（逻辑推理）|

2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（本题5分）（25-26高一下·黑龙江·期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先化简复数为代数形式，然后根据其几何意义写出对应点坐标，从而判断所在象限． 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 2．（本题5分）（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量投影向量的定义，并结合已知的向量的坐标与两向量的数量积计算即可得. 【详解】由，得，因此. 根据向量投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为： 将，，，代入得： . 因此，向量在向量上的投影向量为. 3．（本题5分）（山东潍坊市2025-2026学年高三下学期5月高考模拟考试数学试题（B卷））已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解出集合和，进而根据集合的交集运算即可求解． 【详解】由，解得或，所以或， 由，则，又，则，所以， 所以． 4．（本题5分）（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用离心率的定义可求出. 【详解】由的离心率为，可得，解得. 5．（本题5分）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正三棱台的上下底面的中心分别为，证得平面，得到为直线与底面所成的角，求得正三棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为, 分别连接，过作的垂线，垂足为，则， 因为平面，所以平面， 所以为直线与底面所成的角，所以， 因为正三棱台的上下底面的面积分别为和， 即等边的边长为，等边的边长为， 可得，所以， 因为，可得，所以， 即正三棱台的高， 所以正三棱台的体积为. 6．（本题5分）（山东潍坊市2025-2026学年高三下学期5月高考模拟考试数学试题（B卷））将5个相同的笔记本和5个相同的书签全部放入3个不同的文具袋，要求每个文具袋既有笔记本又有书签，则不同的放法种数为（     ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】D 【分析】相同元素问题利用隔板法计算即可得. 【详解】采用隔板法，在5个相同的笔记本之间可放入2个隔板，可将笔记本分3份， 从而放入3个不同的文具袋，共有种放法； 同理，书签的不同放法种数也为种； 此时每个文具袋既有笔记本又有书签， 故共有种不同的放法. 7．（本题5分）（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解. 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以 8．（本题5分）（2026·全国二卷·高考真题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（本题6分）（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 10．（本题6分）（25-26高二下·四川泸州·期中）已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】AD 【详解】对于A，设等差数列的公差为，因为，且， 所以，解得：，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，令，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 11．（本题6分）（25-26高二下·广东广州·期中）（多选题）已知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，过P作圆的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则以下说法正确的是（     ） A．抛物线的标准方程为 B．当P，A，B三点共线时， C．当时，直线的斜率为或 D．满足的点P有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据准线方程求出的值；对于选项B，根据P，A，B三点共线， 求出点坐标，再求的值；对于选项C，由，求出点的坐标求解；对于选项D，根据，得出点在的垂直平分线上，求出垂直平分线的方程与抛物线方程联立判断根的多少求解. 【详解】对于选项A，抛物线的准线方程为，所以，所以，抛物线的标准方程为，A选项正确； 对于选项B，由P，A，B三点共线,，，所以，又 所以，即， 又在上，解得，所以（-4舍去） 所以，，B选项正确； 对于选项C，当时，， ，由，解得或，此时或，选项C错误； 对于选项D，由，且，所以， 所以点在和的中垂线上，求得中垂线方程为， 与抛物线方程联立得，判别式，有两个实根，即满足的点P有且仅有2个，选项D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．（本题5分）（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 13．（本题5分）（2026·安徽合肥·二模）写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 【答案】（答案不唯一） 【分析】分别分析函数的奇偶性，单调性，凹凸性以及函数的运算性质，然后结合常见函数的特点来确定满足条件的函数解析式. 【详解】条件①，表明函数为偶函数，其图像关于轴对称； 条件②对任意正数，，，说明函数在上单调递增； 条件③，，表明函数在上是上凸函数； 条件④，这是对数函数的运算性质，即对数函数满足. 综合条件，首先考虑，（且），满足条件④， 当时，满足条件②，在上是上凸函数，满足条件③，为了满足条件①，需将函数变为， 因此，满足条件的函数的解析式可以为. 14．（本题5分）（2026·宁夏银川·三模）正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【分析】利用直角三角形求出外接球的半径，设中点为，连接，过作，则即为点到平面的距离，根据相似即可求出，得到外接球所得截面的面积. 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心， 设外接球半径为，则， 在中，，且， 所以，解得，即， 在中，， 过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心， 所以，则， 所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为， 所以截面的面积. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本题13分）（2026·河南郑州·模拟预测）为研究大学生使用学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用学习工具的情况是否与自主思考能力有关． (2)小余之前从未使用过学习工具，他计划开始尝试使用学习工具进行学习，他在第天使用学习工具的概率为，设每天是否使用学习工具进行学习相互独立．设小余前3天中使用学习工具进行学习的天数为，求的分布列与期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 【答案】(1)依据小概率值的独立性检验，认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关. (2)的分布列为： 0 1 2 3 期望. 【分析】（1）根据独立性检验计算值，再判断即可； （2）由题可知的可能取值为，再利用独立事件乘法公式得到对应概率，列出分布列求出期望即可. 【详解】（1）零假设为：大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关. （2）由题意，的可能取值为， ， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 . 16．（本题15分）（2026·山东烟台·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，分别为和的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接， 因为正三棱柱，所以底面， 为的中点，平面，所以， 又因为为正三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 所以平面，又平面，， 所以平面.    (2) 【分析】(1)根据线线垂直证明线面垂直； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）    因为两两相互垂直， 所以以为原点建立空间直角坐标系如图所示，设， 则 则，，， 在平面中，设法向量为， 则, 令，则， 因为平面在平面内， 可设， 设二面角的大小为， ， 所以. 17．（本题15分）（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得. （2）利用正弦定理表示，利用三角恒等变换化简，结合三角函数值域的求法求得的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，， 所以，， 由于，所以. （2）∵， ∴ . ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的取值范围为. 18．（本题17分）（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，根据列出表达式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 19．（本题17分）（山东潍坊市2025-2026学年高三下学期5月高考模拟考试数学试题（B卷））已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)若或，零点的个数为；若且，零点的个数为 【分析】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解； （2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数. 【详解】（1）由恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，恒成立，则恒成立， 故在上单调递减，又， 故当时，，不符合题意，故舍去； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故要使得恒成立，则有，即； （2）函数零点的个数等价于函数零点的个数， 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，故零点的个数为； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，有且仅有，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 综上所述：若或，零点的个数为； 若且，零点的个数为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知双曲线：（，）的离心率为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 5．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．将5个相同的笔记本和5个相同的书签全部放入3个不同的文具袋，要求每个文具袋既有笔记本又有书签，则不同的放法种数为（     ） A．18 B．24 C．32 D．36 7．已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 8．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 11．（多选题）已知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，过P作圆的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则以下说法正确的是（     ） A．抛物线的标准方程为 B．当P，A，B三点共线时， C．当时，直线的斜率为或 D．满足的点P有且仅有2个 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 13．写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 14．正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）为研究大学生使用学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用学习工具的情况是否与自主思考能力有关． (2)小余之前从未使用过学习工具，他计划开始尝试使用学习工具进行学习，他在第天使用学习工具的概率为，设每天是否使用学习工具进行学习相互独立．设小余前3天中使用学习工具进行学习的天数为，求的分布列与期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 16．（15分）如图，在正三棱柱中，，分别为和的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 17．（15分）在锐角中，角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若，求的取值范围. 18．（17分）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的倍，求的方程； （ii）求的最小值． 19．（17分）已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷数学答题卡 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写， 字体工整 由监考老师负 4、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [【A] [A] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] B] [B] Ic] [c] [C] [C] [C] [C] [c] Ic] I [D1 [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] ID] [D] [D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 C N A B M i A 6 17题、 18题、 19题、